2024年中考數(shù)學二輪題型突破題型9 二次函數(shù)綜合題 類型11 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（專題訓練）（學生版）

類型十一二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（專題訓練）1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數(shù)表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．3．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．

(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．4．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點A時停止，以為邊作正方形設(shè)點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當點P由點C運動到點B時，①當時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應的正方形的面積均相等．①_______；②當時，求正方形的面積．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．6.（2022·浙江湖州）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．(1)①求點A，B，C的坐標；②求b，c的值．(2)若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．8.（2022·山東泰安）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，其對稱軸為直線，與x軸的另一交點為C．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點M在直線上，且在第四象限，過點M作軸于點N．①若點N在線段上，且，求點M的坐標；②以為對角線作正方形（點P在右側(cè)），當點P在拋物線上時，求點M的坐標．9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點，且點的坐標為，過點作垂直于軸的直線．是該拋物線上的任意一點，其橫坐標為，過點作于點；是直線上的一點，其縱坐標為，以，為邊作矩形．（1）求的值．（2）當點與點重合時，求的值．（3）當矩形是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求的值．（4）當拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應的函數(shù)值隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．10.如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為D，連接與拋物線的對稱軸l交于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接，當時，求點P的坐標；（3）點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點，在射線上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．11.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?23x2+bx+c，經(jīng)過A（0，﹣4），B（x（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．12.如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）問在軸上是否存在一點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點，滿足，過作軸于點，設(shè)的內(nèi)心為，試求的最小值．13.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點．點P為拋物線的頂點．（1）當時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù)．（2）當時，求該拋物線上的好點坐標．（3）若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．14.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（﹣2，0），點P是線段CB上的動點，設(shè)CP=t（0＜t＜