模考中的歐拉函數(shù)題（學(xué)生版）

一、單選題112024·山東·二模）歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如φ=2.已知bn=，n∈N*，是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn<M恒成立，則M的最小值二、多選題222024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)n，φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)φ(n)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如φ(9)=6（1,2,4,5,7,8與9互質(zhì)則()A．若n為質(zhì)數(shù)，則φ(n)=n-1B．?dāng)?shù)列{φ(n)}單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列的最大值為1D．?dāng)?shù)列{φ(3n)}為等比數(shù)列332024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)φ(n)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說(shuō)，φ(n)是所有不超過(guò)n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：φ(5)=4，A.φ(n)的定義域?yàn)镹*，其值域也是N*B.φ(n)在其定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)C．不存在n0∈N*，使得方程φ(n)=n0有D.φ(n)≤n-1，當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)三、填空題442024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)n，φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)φ(n)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：④φ(2n+2)>φ(2n)，n是552024·貴州黔南·二模）歐拉函數(shù)φ(n)表示不大于正整數(shù)n且與n互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).已知φ,其中p1，p2，?,pr是n的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如φ=100×=40.若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，3662024·河北·三模）歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出偉大貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)用到了幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域，為紀(jì)念歐拉的成就，函數(shù)φ(n)就是以其名字命名的，稱為歐拉函數(shù).人教A版新教材選擇性必修二第8頁(yè)指出：歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)．歐拉函數(shù)有很多性質(zhì)，比如歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m,n互素，則φ(mn)=φ(m)φ(n).請(qǐng)計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=.772024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)例如：φ(3)=2，φ(四、解答題82024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為φ(n).n(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)．試求φ(3)，φ(pq)與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；n(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p，q；②計(jì)算n=pq，歐拉函數(shù)φ(n)；③求正整數(shù)k，使得kq除以φ(n)的余數(shù)是1；④其中(n,q)稱為公鑰，(n,k)稱為私鑰.已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17)．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列{bn}，數(shù)列{cn}滿足80cn=bn+47，求數(shù)列{tancn.tancn+1}的前n項(xiàng)和Tn.992024·浙江·二模）歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，(1)求a1，a2，a3，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；記bn=求數(shù)列{bn}的前n和Sn.10102024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合Xn={1,2,...,n-1}，歐拉函數(shù)φ(n)的值等于集合Xn中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記M(x,y)表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)(1)求φ(6)和φ(15)；試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)(2)(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q，e(p<q<e)，n=pq，存在正整數(shù)d滿足M(de,φ(n))=1；已知對(duì)素