山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何課時(shí)作業(yè)53雙曲線含解析

課時(shí)作業(yè)53雙曲線一、選擇題1．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，則其焦距為(D)A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C.eq\r(13) D．2eq\r(13)解析：由雙曲線方程知c2＝9＋4＝13，∴c＝eq\r(13)，∴焦距為2eq\r(13)，故選D.2．(2024·北京卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的離心率是eq\r(5)，則a＝(D)A.eq\r(6) B．4C．2 D.eq\f(1,2)解析：解法1：由雙曲線方程可知b2＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a2＋1)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋1),a)＝eq\r(5)，解得a＝eq\f(1,2)，故選D.解法2：由e＝eq\r(5)，e2＝1＋eq\f(b2,a2)，b2＝1，得5＝1＋eq\f(1,a2)，得a＝eq\f(1,2)，故選D.3．已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(D)A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1解析：由題意，得2eq\r(m)＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1，故選D.4．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝2x，且經(jīng)過點(diǎn)P(eq\r(6)，4)，則雙曲線的方程是(C)A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,32)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1解析：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y＝2x，所以eq\f(b,a)＝2①.又雙曲線過點(diǎn)P(eq\r(6)，4)，所以eq\f(6,a2)－eq\f(16,b2)＝1②.①②聯(lián)立，解得a＝eq\r(2)，b＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1，故選C.5．已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線解析：因?yàn)镹為線段F1M的中點(diǎn)，O為線段F1F2的中點(diǎn)，所以|F2M|＝2|ON|＝2.因?yàn)镻在線段F1M的中垂線上，所以|PF1|＝|PM|，所以||PF1|－|PF22|ON|＝2<|F1F2|，所以點(diǎn)P6．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(A)A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，依據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).7．經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)A.eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(y2,\f(11,3))－eq\f(x2,11)＝1 D.eq\f(y2,11)－eq\f(x2,\f(11,3))＝1解析：設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1，由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3).因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，將點(diǎn)(2,1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1.故選A.8．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，eq\r(2))，則△APF周長(zhǎng)l的最小值為(B)A．4＋eq\r(2) B．4(1＋eq\r(2))C．2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′.雙曲線的右焦點(diǎn)為F(eq\r(6)，0)，△APF的周長(zhǎng)l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a＋|PF′|，要使△APF周長(zhǎng)最小，只需|AP|＋|PF′|最小，如圖，當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)|AP|＋|PF′|取得最小值，此時(shí)l＝2|AF|＋2a＝4(1＋eq\r(2))，故選B.9．(多選題)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若∠MAN＝60°，則有(AC)A．漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)xB．e＝eq\f(3\r(2),2)C．e＝eq\f(2\r(3),3)D．漸近線方程為y＝±eq\r(3)x解析：雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx＋ay＝0的距離為：bcos30°＝eq\f(\r(3),2)b，可得：eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(a,c)＝eq\f(\r(3),2)，故e＝eq\f(2\r(3),3).且eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)＝eq\f(\r(3),3)，故漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x.故選AC.10．(多選題)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1，橢圓C1的上頂點(diǎn)為M，且eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝0，雙曲線C2和橢圓C1有相同焦點(diǎn)，且雙曲線C2的離心率為e2，P為曲線C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn)，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則正確的是(BD)A.eq\f(e2,e1)＝2 B．e1·e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1解析：因?yàn)閑q\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝0且|eq\o(MF1,\s\up16(→))|＝|eq\o(MF2,\s\up16(→))|，故三角形MF1F2為等腰直角三角形，設(shè)橢圓的半焦距為c，則c＝b＝eq\f(\r(2),2)a，所以e1＝eq\f(\r(2),2).在焦點(diǎn)三角形PF1F2中，設(shè)∠F1PF2＝eq\f(π,3)，|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a′，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－xy＝4c2,x＋y＝2\r(2)c,|x－y|＝2a′))，故xy＝eq\f(4,3)c2，從而(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝eq\f(8c2,3)，所以(a′)2＝eq\f(2c2,3)即e2＝eq\f(\r(6),2)，故eq\f(e2,e1)＝eq\r(3)，e2e1＝eq\f(\r(3),2)，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2，eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1，故選BD.二、填空題11．(多填題)已知雙曲線的漸近線方程為4x±3y＝0，它的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,10)＝1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則此雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，離心率為eq\f(5,3).解析：由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,10)＝1可得其長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(5,0)，(－5,0)，由雙曲線的漸近線為：4x±3y＝0，所以可設(shè)雙曲線的方程為：eq\f(x2,9λ)－eq\f(y2,16λ)＝1(λ>0)，依據(jù)題意可得：9λ＋16λ＝25，即λ＝1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，其離心率為e＝eq\f(5,3).12．已知雙曲線C：x2－4y2＝1，過點(diǎn)P(2,0)的直線l與C有唯一公共點(diǎn)，則直線l的方程為y＝±eq\f(1,2)(x－2)．解析：∵雙曲線C的方程為x2－4y2＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，∴漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.∵P(2,0)在雙曲線內(nèi)部且直線l與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，∴直線l與雙曲線的漸近線平行，∴直線l的斜率為±eq\f(1,2)，∴直線l的方程為y＝±eq\f(1,2)(x－2)．13．已知點(diǎn)P(1，eq\r(3))在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線上，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若∠FPO＝90°，則C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.解析：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，由漸近線過點(diǎn)P(1，eq\r(3))，得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，且|OP|＝2.焦點(diǎn)到漸近線的距離是b，即|PF|＝b，在Rt△OPF中，|OF|2＝|OP|2＋|PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.14．(多填題)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程是2eq\r(2)x－y＝0，則雙曲線E的離心率e＝3；若雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為2，過雙曲線E的右焦點(diǎn)F可作兩條直線與圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－3,5)．解析：因?yàn)殡p曲線E的一條漸近線的方程是2eq\r(2)x－y＝0，所以eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋2\r(2)2)＝3.因?yàn)殡p曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(xiàn)(3,0)．由題意得右焦點(diǎn)F在圓C外，所以需滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32＋02－2×3＋4×0＋m>0，,x－12＋y＋22＝5－m>0，))解得－3<m<5，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－3,5)．15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記截了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置(兩圓錐的軸重合)，已知兩個(gè)圓錐的底面半徑均為1，母線長(zhǎng)均為2，記過圓錐軸的平面ABCD為平面α(α與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為AC，BD)，用平行于α的平面截圓錐，該平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線即雙曲線Γ的一部分，且雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC，BD，則雙曲線Γ的離心率為(A)A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：設(shè)與平面α平行的平面為β，以AC，BD的交點(diǎn)在平面β內(nèi)的射影為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩圓錐的軸在平面β內(nèi)的射影為x軸，在平面β內(nèi)與x軸垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．依據(jù)題意可設(shè)雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題意可得雙曲線Γ的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\f(2\r(3),3).16．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，漸近線方程是y＝±eq\f(2\r(5),5)x，點(diǎn)A(0，b)，且△AF1F2的面積為6.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于