第7講-數(shù)列求通項(累乘法)(解析版)

第7講數(shù)列求通項（累乘法）一、必備秘籍累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：二、例題講解1．（2021·湖北武漢市·高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項公式；【詳解】（1）當時，，即，當時，，即，因此，所以，經(jīng)檢驗，時成立，所以；2．（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）由，得，利用累乘法即可求得的通項公式；【詳解】（1）由，得，當時，，得，當時，，則.易得，符合，所以；感悟升華（核心秘籍）使用累乘法標準：或者可以通過換元化成這個形式。例如第1題可以直接使用累乘法；第2題通過換元也可以化成從而也可以使用累乘法；三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·浙江溫州市·高三其他模擬）已知正項數(shù)列滿足，且求的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）通過因式分解可得，由累乘法可得的通項公式，由等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果；【詳解】（1）由已知，得，因為數(shù)列是正項數(shù)列，所以，即，累乘得，，又也滿足上式故的通項2．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，，求的通項公式；【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得，利用累乘法求出，再由裂項相消法求和可得，裂項求和可得，即可求解.【詳解】當且時，，整理可得：，，…，，當時，符合3．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，由累乘法即可求解.【詳解】（1）由，得，∴，∵，∴．4（2020·浙江溫州市·高三月考）已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）將化為，然后利用累乘法求通項公式；【詳解】解：（1）因為，所以，則當時，滿足上式，所以.5．（2020·云南（理））已知數(shù)列的前項和為，，.求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】(1)根據(jù)時，化簡得，再利用累乘法求解即可；【詳解】解：（1）由題意知，當時，①，②，由①-②得，即，所以，，…，，以上各式累乘得，故，又也適合，故；6．（2020·山西省長治市第二中學(xué)校高三月考（理））已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項公式；【答案】（1）()；()；（2）().【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，結(jié)合已知條件求、即可得通項公式，由數(shù)列的遞推式得及，即可得的通項公式；（2）根據(jù)（1）所得通項公式，應(yīng)用錯位相減法求其前項和.【詳解】（1）數(shù)列的首項為，公差為，由題意:，解得：，，，又，所以，；7．（2020·浙江高三二模）已知數(shù)列，，且．（1）若的前項和為，求和的通項公式；【答案】（1），；【分析】（1）設(shè)的前項和為，分時，時，即可得的通項公式，將代入遞推關(guān)系式利用累乘法即