2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納講練 02 三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型 教師與學(xué)生版

專題02三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風箏模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”進去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請你直接寫出∠C的大?。敬鸢浮?1)三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）；(2)見解析；(3)70°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，從而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求證；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，從而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，可得150°-∠C=2（110°-∠C），即可求解．【詳解】（1）解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）（2）證明：連接CD并延長至F，∵∠1和∠2分別是△ACD和△BCD的一個外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠C），解得：∠C=70°．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東河源·八年級?？计谀?）模型探究：如圖1所示的“鏢形”圖中，請?zhí)骄颗c、、的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分，平分，，，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）=++，理由見詳解；（2）21°【分析】（1）連接CD并延長到點E，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可知：∠ADB-∠C=∠A+∠B=90°，從而得∠EDO-∠BCO=×90°=45°，結(jié)合∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，即可求解．【詳解】解：（1）=++，理由如下：連接CD并延長到點E，∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B，∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++．（2）由第（1）題可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°，∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°，∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°．【點睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·廣西八年級期中）如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：延長PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，根據(jù)PB、PC是角平分線得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A?∠D，代入即可求出∠P．法二：延長DC，與AB交于點E．設(shè)AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入計算即可．【詳解】解：法一：延長PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD?∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A?∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分線∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A?∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延長DC，與AB交于點E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD?∠ABD＝58°．設(shè)AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°?（∠ACD?∠ABD）＝19°．故選A.【點睛】本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．例4.（2023·廣東·八年級期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點，連結(jié)AP，并延長交BC于點D.求證：（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過點作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即（幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論）例5．（2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號——箭號．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；應(yīng)用：（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【答案】（1），理由見詳解；（2）①30；②95°；（3）【分析】（1）連接AD并延長至點E，利用三角形外角的性質(zhì)得出左右兩邊相加即可得出結(jié)論；（2）①直接利用（1）中的結(jié)論有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根據(jù)求出，然后結(jié)合角平分線的定義再利用即可求解；（3）先根據(jù)求出，再求出的度數(shù)，最后利用求解即可．【詳解】（1）如圖，連接AD并延長至點E

∵又∵∴（2）①由（1）可知∵，∴②由（1）可知∵，∴平分，CF平分（3）由（1）可知∵，∴∵，分別是、的2020等分線（）∴∴【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．模型2、風箏模型（鷹爪模型）圖1圖21）風箏（鷹爪）模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）風箏（鷹爪）模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。例1．（2023·四川達州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）【答案】①【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，故①正確，②不正確；∵多邊形的外角和是，∴，故③④不正確，故答案為：①．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1，銳角內(nèi)部有一點D，在其兩邊和上各取任意一點E，F(xiàn)，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長至點M，，（

依據(jù)

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測量所得），∴，（計算所得）．∴（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點D在的內(nèi)部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理(3)如圖，若點D在銳角外部，與相交于點G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請?zhí)剿髦g的關(guān)系．【答案】(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)A(3)不成立，【分析】（1）連接并延長至點M，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；（2）按照定理的證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測量，計算，證明，即可得答案；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，，整理可得答案【詳解】（1）小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）根據(jù)定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測量，計算，證明，故A正確；（3）不成立，是的一個外角，，為的一個外角，，（或）．【點睛】本題考查了三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．例3．（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個內(nèi)角的和等于如何證明這個定理呢？我們知道，平角是，要證明這個定理就是把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個平角中去，請根據(jù)如下條件，證明定理．（1）【定理證明】

已知：如圖①，求證：．（2）【定理推論】如圖②，在中，有，點D是延長線上一點，由平角的定義可得，所以_______，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【初步運用】如圖③，點D、E分別是的邊延長線上一點．（3）若，，則_______．（4）若，則_______．【拓展延伸】如圖④，點D、E分別是四邊形的邊延長線上一點．（5）若，，則_________．（6）分別作和的平分線，如圖⑤，若，則和的關(guān)系為__________．（7）分別作和的平分線，交于點O，如圖⑥，求出，和的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由見解析【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義解決．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義即可解答．（3）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可解答；（4）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，以此即可求解．（5）連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論即可解答．（6）過點作，由（1）可知，，則，根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可得，則，以此即可求解．（7）由（1）可知，，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，

∵，，，，．（2），，．故答案為：．（3），，，；故答案為：；（4），，，，，．故答案為：．（5）如圖，連接，，，，，，．故答案為：．（6）如圖，過點作，則，由（1）知，，，，，，，、分別是和，，，．故答案為：．（7），理由如下：由（1）知，，，、分別為和的角平分線，，，，，，即．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題干作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．模型3、角內(nèi)翻模型圖1圖2條件：如圖1，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；條件：如圖2，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處，如果，那么的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得，，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．例2．（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出結(jié)果．【詳解】解：將沿直線m翻折，交于點E、F，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可知：，根據(jù)外角的性質(zhì)可知：，，，，故選：C．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、翻折變換的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，中，，，．點是邊上的定點，點在邊上運動，沿折疊，折疊后點落在點處．下面我們來研究折疊后的有一邊與原三角形的一邊平行時的值．

(1)首先我們來研究邊．因為和的、相交，所以只有一種可能的情況（如圖2），，此時．(2)其次，我們來研究邊．因為點在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當時（如下圖），則．

當時（如下圖），則．(3)最后，我們來研究邊．因為點在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當時，．當時，．【答案】(1)(2)或；(3)或；【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，再根據(jù)外角的性質(zhì)得出計算得出結(jié)論即可；（2）當時，分情況求出的度數(shù)，當時，根據(jù)平行線的性質(zhì)直接得出的度數(shù)即可；（3）當時，分情況求出的度數(shù)，當時，根據(jù)平行線的性質(zhì)直接得出的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：由題意知，，∴，故答案為：；（2）解：當（1）時（如圖3），

∵，，∴，∴；當（2）時，∵，∴，故答案為：或；當時，，故答案為：；（3）解：當時，或，故答案為：或；當時，，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是等知識是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將沿折疊，使點A落在的內(nèi)部的點M處，當，時，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點A落在的外部的點M處．求圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點A、點B的對應(yīng)點M、N分別落在射線的左右兩側(cè)，，，、的數(shù)量關(guān)系．(直接寫結(jié)果，不需要過程）【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得，問題隨之得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出、，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：（1）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，，，∴，整理得，，∵，，∴，即；（2）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即；故答案為：；（3）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折的性質(zhì)，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內(nèi)角和是，是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023·四川綿陽·八年級校考期中）如圖，中，，將沿折疊，使得點B落在邊上的點F處，若且，則的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】平角的定義，求出的度數(shù)，翻折，得到，等邊對等角，得到，三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】解：∵中，，∴，∵將沿折疊，使得點B落在邊上的點F處，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，等邊對等角．解題關(guān)鍵是理清角度之間的等量關(guān)系．2．（2023·河南安陽·八年級校考期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED的外部時，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得到，，然后列式整理即可得解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得．在中，，在中，，∴，即．故選A．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)把角與角之間聯(lián)系起來是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿翻折交于點，又將沿翻折，點落在上的處，其中，，則原三角形中的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由翻折得，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)，由翻折得∵，∴解得，∴∴∴故選：A．【點睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程，正確掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則．【答案】【分析】根據(jù)折疊得出∠D=∠B=28°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，求出∠1=∠B+∠2+∠D即可．【詳解】解：如圖，∵∠B=28°，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，∴∠D=∠B=28°，∵∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，∴∠1=∠B+∠2+∠D，∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，能熟記三角形的外角性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．5．（2023·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接，若，則．【答案】/260度【分析】連接，利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】如圖，連接，則，，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，點E，F(xiàn)分別是，邊上的點，連接，將沿著翻折，使點A與邊上的點G重合，若，，則的度數(shù)為．

【答案】/49度【分析】利用三角形內(nèi)角和求出，結(jié)合已知得到，可求得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，進一步求出，再利用三角形內(nèi)角和求出結(jié)果．【詳解】解：∵是邊上的高，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可得：，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形的高，圖中線段較多，解題的關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系，根據(jù)折疊得到相等的角．7．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處，如果，那么的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得，，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．8．（2023·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，若≌，且，，則．【答案】100°/100度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵≌，∴．故答案為：100°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解全等三角形的對應(yīng)角相等．9．（2023春·四川·七年級統(tǒng)考期末）在四邊形中，，．

(1)如圖1，若，則__________度；(2)如圖2，作的平分線交與點E，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，作和的平分線交于點E，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和，，求出的值即可求解；（2）根據(jù)平行的性質(zhì)及角平分線求出，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）根據(jù)角平分線求出，再利用三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】（1）解：在四邊形中，，，，，，；（2）解：，，，，平分，，在中，，；（3）解：由（1）可知，平分，平分，，，，．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，平行性質(zhì)，掌握相關(guān)定理性質(zhì)是關(guān)鍵．10．（2023·浙江杭州·八年級專題練習(xí)）（2018十三中開學(xué)考）已知，在中，∠A=60°，（1）如圖①，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，則∠BOC=；（2）如圖②，∠ABC和∠ACB的三等分線分別對應(yīng)交于點O1，O2，則；（3）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于點O1，O2，…，（內(nèi)部有個點），則；（4）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于點O1，O2，…，，若，求n的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）；（4）n=4【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出∠OBC＋∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根據(jù)三等分線的定義即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根據(jù)n等分線的定義即可求出∠On－1BC＋∠On－1CB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB∴∠OBC＋∠OCB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=60°∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120°故答案為：120°．（2）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別對應(yīng)交于點O1，O2，∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB∴∠O2BC＋∠O2CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=80°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=100°故答案為：100°．（3）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于點O1，O2，……，∴∠On－1BC=∠ABC，∠On－1CB=∠ACB∴∠On－1BC＋∠On－1CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=故答案為：（4）由（3）知：∴解得：n=4經(jīng)檢驗：n=4是原方程的解．【點睛】本題考查了n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，掌握n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵．11．（2023·北京·一模）在課外活動中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗，對燕尾四邊形的性質(zhì)進行了探究.下面是小潔的探究過程，請補充完整：（2）通過觀察、測量、折疊等操作活動，寫出兩條對燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）①；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)凹四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）由燕尾四邊形的定義可以得出燕尾四邊形的性質(zhì)；（3）連接BD，根據(jù)SΔABD-SΔBCD即可求出燕尾四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）由凹四邊形的定義得出，圖①是凹四邊形．故答案是①；（2）①一組對角相等；②它是一個軸對稱圖形；①已知：如圖1，在凹四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求證：∠B=∠D．證明：連接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直線是燕尾四邊形的對稱軸；（3）如圖2，連接AC，過點B作BE⊥AC交AC的延長線于E；由（2）知，燕尾四邊形ABCD是軸對稱圖形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根據(jù)勾股定理得，AE=，∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=BE?AE-BE?CE=BE（AE-CE）=×2×（2-2）=6-2∴燕尾四邊形ABCD的面積為2S△ABC=12?4．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．12．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）240°【分析】（1）延長CD交AB于點E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證，，運用角的等量轉(zhuǎn)換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運用第（1）題的方法可證，，和是對頂角，可推出的度數(shù)等于2倍的度數(shù)，計算得出答案．【詳解】（1）證明：延長CD交AB于點E，如圖：∵是的外角，∴．∵是的外角，∴，∴．（2）解：∵和是對頂角，∴．由（1）的結(jié)論可知，，∴．【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，靈活運用三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2023·四川達州·中考模擬）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1，延長CO交AB于點D，則．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用:（1）直接應(yīng)用：①如圖2，．②如圖3，的2等分線（即角平分線）交于點F，已知，則③如圖4，分別為的2019等分線．它們的交點從上到下依次為．已知，則度【答案】（1）①，②，③；【分析】（1）①由可得答案；②由且知，從而得，代入計算可得；③由，知，代入得，據(jù)此得出，代入可得答案；（2）由知，結(jié)合得，連接OC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可．【詳解】解：（1）①如圖2，在凹四邊形ABOC中，，在凹四邊形DOEF中，，②如圖3，，且，，；③如圖4，由題意知,則代入得解得：，；故答案為①；②；③（）；14．（2022秋·浙江·八年級期末）如圖（1）是一個三角形的紙片，點D、E分別是邊上的兩點，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由見解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由見解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由見解析【分析】（1）翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，遇到折疊的問題，一定要找準相等的量，結(jié)合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．15．（2022秋·河北唐山·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，在四邊形ABCD中，．

（1）求證：．（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明．（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明見詳解；（2）DE⊥BF，證明見詳解；（3）DE∥BF，證明見詳解【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計算即可得解；（2）如圖1，延長DE交BF于G，易證∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，則可證得DE⊥BF；（3）如圖2，連接BD，易證∠NDC+∠MBC=180゜，則可得∠EDC+∠CBF=90゜，繼而可證得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，則可得DE∥BF．【詳解】（1）證明：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；（2）DE⊥BF延長DE交BF于點G∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°∴∠ABC+∠ADC=180°∵∠ABC+∠MBC=180°∴∠ADC=∠MBC∵DE、BF分別平分∠ADC、∠MBC∴∠EDC=∠ADC，∠EBG=∠MBC∴∠EDC=∠EBG∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90°∴DE⊥BF（3）DE∥BF連接BD∵DE、BF分別平分∠NDC、∠MBC∴∠EDC=∠NDC，∠FBC=∠MBC∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC∴∠MBC+∠NDC=180°∴∠EDC+∠FBC=90°∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°∴DE∥BF．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）我們知道：光線反射時，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如圖1，為一鏡面,為入射光線，入射點為點O，為法線（過入射點O且垂直于鏡面的直線），為反射光線,此時反射角等于入射角，由此可知等于．（1）兩平面鏡、相交于點O，一束光線從點A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡兩次反射后，恰好經(jīng)過點B．①如圖2，當為多少度時，光線？請說明理由．②如圖3，若兩條光線、所在的直線相交于點E，延長發(fā)現(xiàn)和分別為一個內(nèi)角和一個外角的平分線，則與之間滿足的等量關(guān)系是_______．（直接寫出結(jié)果）（2）三個平面鏡、、相交于點M、N，一束光線從點A出發(fā),經(jīng)過平面鏡三次反射后，恰好經(jīng)過點E，請直接寫出、、與之間滿足的等量關(guān)系．【答案】（1）①90°，理由見解析；②∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD【分析】（1）①設(shè)∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根據(jù)∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行計算即可；②設(shè)∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠MEN=2（β-α），再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠POQ=β-α，進而得出∠MEN=2∠POQ；（2）分別表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四邊形內(nèi)角和表示出∠BFD，再將∠M，∠N，∠BCD進行運算，變形得到∠BFD，即可得到關(guān)系式．【詳解】解：（1）①設(shè)∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，當AM∥BN時，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∴180°=2（α+β），∴α+β=90°，∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∴當∠POQ為90度時，光線AM∥NB；②設(shè)∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∵∠AMN是△MEN的外角，∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∵∠MNQ是△MNO的外角，∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∴∠MEN=2∠POQ；（2）設(shè)∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，∵∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°又∵2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD∴2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．17．（2023·江西新余·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，P為第四象限一動點，Q為x軸負半軸上一動點，R在下方且為y軸負半軸上一動點．(1)如圖①，若，，，求；(2)如圖②，若、分別平分，P、Q、R在運動過程中，是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在．請說明理由；(3)如圖③，若將R點改為y軸正半軸上一動點，且在P、Q及（2）中的條件不變的前提下，又有何數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)(2)存在，(3)【分析】（1）利用割補法，將梯形面積減去兩個三角形面積即可求解．（2）利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義對角之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化后即可完成求解．（3）利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義進行角之間的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過P點作y軸的平行線，與x軸交于點E，與過R點作的x軸的平行線交于點F，∵，，，∴，，∴==；∴．（2）解：存在，；∵，∴，∵，，∴，∵、分別平分，∴，，∴，∴．（3）；∵、分別平分，∴，，連接，∴∴，∴，同理可得：，∵，∴．【點睛】本題考查了利用割補法求三角形的面積、三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用和角平分線的定義，解題關(guān)鍵是正確進行角之間的轉(zhuǎn)化．18．（2023·山東·八年級假期作業(yè)）模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用：（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計算即可；③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計算可得；④根據(jù)兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì)．19．（2023春·山東·七年級校聯(lián)考期中）實驗探究：（1）動手操作：①如圖1，將一塊直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的兩條直角邊DE、分別經(jīng)過點、，且，已知，則；②如圖2，若直角三角板不動，改變等腰直角三角板的位置，使三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過點、，那么；（2）猜想證明：如圖3，與、、之間存在著什么關(guān)系，并說明理由；（3）靈活應(yīng)用：請你直接利用以上結(jié)論，解決下列問題：①如圖4，平分，平分，若，，求度數(shù)．②如圖5，，的等分線相交于點，若，，則的度數(shù)為．

【答案】（1）①；②；（2）；理由見解析；（3）①；②【分析】（1）在△DBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，然后把∠D=90°代入計算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°-（180°-∠BDC）=∠BDC，（3）應(yīng)用（2）的結(jié)論即可解決問題①②．【詳解】解：（1）動手操作：①如圖1中，

∵,∴，∴，，∴；故答案為：；②如圖2中，在中，∵，而，∴；在Rt中，∵，即，而，∴．故答案為；（2）猜想：；證明：如圖3中，連接，

在中，∵，∴；在中，∵，即，而，∴，即：．（3）靈活應(yīng)用：①如圖4中，由（2）可知，，∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴；②如圖5中，由（2）可知：，，∵,,∴，,∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，準確識別圖形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形解決問題，學(xué)會利用新的結(jié)論解決問題．20．（2023·廣東清遠·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形中，，，．直接寫出與，，之間的關(guān)系．（2）根據(jù)圖②中的條件，利用（1）中你得出的結(jié)論計算的度數(shù)．（3）如圖③，在中，設(shè)，和的平分線，交于點O，過B作的平行線交的延長線于點，試用含的代數(shù)式表示的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）（3）【分析】（1）延長交于點D，利用外角的性質(zhì)可得，，從而得到；（2）連接，利用（1）中得出的結(jié)論可知：，，兩式相加即可得解；（3）利用角平分線得到，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：延長交于點D，如圖①：

∵是的外角，∴．∵是的外角，∴，∴，即與之間的關(guān)系為；（2）連接，如圖②：根據(jù)圖②中的條件，利用（1）中得出的結(jié)論可知：，，∴，即；（3）在中，，∵和的平分線、交于點O，∴，∴．∵，∴，∴即用含的代數(shù)式表示的度數(shù)為【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，直線分別交的邊、和的延長線于點D、E、F．(1)若，則．(2)、、有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）在中利用三角形內(nèi)角和求出，再在中利用三角形內(nèi)角和即可得出答案；（2）在中利用三角形內(nèi)角和表示出，再在中利用三角形內(nèi)角和即可得出答案.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：；（2），理由：∵，∴，∵∴，∵，∴．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三個內(nèi)角的和等于．22．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）Rt△ABC中，∠C＝90°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．(1)若點P在線段AB上，如圖1所示，且∠α＝50°，則∠1+∠2＝°；(2)若點P在邊AB上運動，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；(3)如圖3，若點P在斜邊BA的延長線上運動(CE＜CD)，請寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系式，并說明理由．【答案】(1)140(2)∠1+∠2=90+∠α(3)∠2-∠1=90°-∠α或∠2-∠1=90°+∠α．理由見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補角的定義得出∠1+∠2=∠C+∠α，進而得出即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角外角的性質(zhì)分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠C=90°，∠α=50°，∴∠1+∠2=140°；故答案為：140；（2）解：由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，∴∠1+∠2=90°+α；（3）解：如圖，分三種情況：連接ED交BA的延長線于P點，如圖1，由三角形的外角性質(zhì)，∠2=∠C+∠1+∠α，∴∠2-∠1=90°+∠α；如圖2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；如圖3，∠2=∠1-∠α+∠C，∴∠2-∠1=90°-∠α．綜上，∠2-∠1=90°-∠α或∠2-∠1=90°+∠α．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)，熟練利用三角形外角的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

專題02三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風箏模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”進去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請你直接寫出∠C的大?。?．（2023·廣東河源·八年級?？计谀?）模型探究：如圖1所示的“鏢形”圖中，請?zhí)骄颗c、、的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分，平分，，，請直接寫出的度數(shù)．例3．（2022秋·廣西八年級期中）如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．例4.（2023·廣東·八年級期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點，連結(jié)AP，并延長交BC于點D.求證：（1）；（2）.例5．（2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號——箭號．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；應(yīng)用：（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．模型2、風箏模型（鷹爪模型）圖1圖21）風箏（鷹爪）模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）風箏（鷹爪）模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。例1．（2023·四川達州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）例2．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1，銳角內(nèi)部有一點D，在其兩邊和上各取任意一點E，F(xiàn)，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長至點M，，（

依據(jù)

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測量所得），∴，（計算所得）．∴（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點D在的內(nèi)部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理(3)如圖，若點D在銳角外部，與相交于點G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請?zhí)剿髦g的關(guān)系．例3．（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個內(nèi)角的和等于如何證明這個定理呢？我們知道，平角是，要證明這個定理就是把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個平角中去，請根據(jù)如下條件，證明定理．（1）【定理證明】

已知：如圖①，求證：．（2）【定理推論】如圖②，在中，有，點D是延長線上一點，由平角的定義可得，所以_______，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【初步運用】如圖③，點D、E分別是的邊延長線上一點．（3）若，，則_______．（4）若，則_______．【拓展延伸】如圖④，點D、E分別是四邊形的邊延長線上一點．（5）若，，則_________．（6）分別作和的平分線，如圖⑤，若，則和的關(guān)系為__________．（7）分別作和的平分線，交于點O，如圖⑥，求出，和的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

模型3、角內(nèi)翻模型圖1圖2條件：如圖1，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；條件：如圖2，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處，如果，那么的度數(shù)為．

例2．（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．例3．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，中，，，．點是邊上的定點，點在邊上運動，沿折疊，折疊后點落在點處．下面我們來研究折疊后的有一邊與原三角形的一邊平行時的值．

(1)首先我們來研究邊．因為和的、相交，所以只有一種可能的情況（如圖2），，此時．(2)其次，我們來研究邊．因為點在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當時（如下圖），則．

當時（如下圖），則．(3)最后，我們來研究邊．因為點在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當時，．當時，．例4．（2023·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將沿折疊，使點A落在的內(nèi)部的點M處，當，時，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點A落在的外部的點M處．求圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點A、點B的對應(yīng)點M、N分別落在射線的左右兩側(cè)，，，、的數(shù)量關(guān)系．(直接寫結(jié)果，不需要過程）課后專項訓(xùn)練1．（2023·四川綿陽·八年級校考期中）如圖，中，，將沿折疊，使得點B落在邊上的點F處，若且，則的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2023·河南安陽·八年級?？计谥校┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED的外部時，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠23．（2023秋·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿翻折交于點，又將沿翻折，點落在上的處，其中，，則原三角形中的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則．5．（2023·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接，若，則．6．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，點E，F(xiàn)分別是，邊上的點，連接，將沿著翻折，使點A與邊上的點G重合，若，，則的度數(shù)為．

7．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處，如果，那么的度數(shù)為．

8．（2023·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，若≌，且，，則．9．（2023春·四川·七年級統(tǒng)考期末）在四邊形中，，．

(1)如圖1，若，則__________度；(2)如圖2，作的平分線交與點E，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，作和的平分線交于點E，求的度數(shù)．10．（2023·浙江杭州·八年級專題練習(xí)）（2018十三中開學(xué)考）已知，在中，∠A=60°，（1）如圖①，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，則∠BOC=；（2）如圖