2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納講練 21 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型 教師與學(xué)生版

21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么AFFB?BDDC?梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點(diǎn)，如果AFFB?BDDC?CE圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則AFFB注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點(diǎn)，而梅涅勞斯定理的特征是三點(diǎn)共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2023.浙江九年級期中）如圖，在△ABC中，AD為中線，過點(diǎn)C任作一直線交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，求證：AE:ED=2AF:FB．【解析】∵直線是的梅氏線，∴．而，∴，即．【點(diǎn)睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點(diǎn)，在于找梅氏線．例2.（2023.重慶九年級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．AM為BC邊上的中線，CD⊥AM于點(diǎn)D，CD的延長線交AB于點(diǎn)【解析】∵HFC是△ABD的梅氏線，由題設(shè)，在Rt△AMC中，CD由射影定理．對△ABM和截線EDC，由梅涅勞斯定理，，即．∴．【點(diǎn)睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點(diǎn)，在于找梅氏線．例3.（2023.湖北九年級期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，AE=EB，ADDC=23，BD與CE交于點(diǎn)F【解析】對△ECA和截線BFD，由梅氏定理得：EF即EFFC?32?21∴SAEFD【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．例4.（2023.江蘇九年級月考）已知AD是△ABC的高，點(diǎn)D在線段BC上，且BD=3，CD=1，作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)G【解析】如圖，設(shè)CG=x，EFG是△ABC的梅氏線．則由梅涅勞斯定理4+x顯然的CFFA=DC2AD【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅內(nèi)勞斯定理和射影模型的綜合．例5.（2023.廣東九年級專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖，在△ABC中，∠A的外角平分線與邊BC的延長線交于點(diǎn)P，∠B的平分線與邊CA交于點(diǎn)Q，∠C的平分線與邊AB交于點(diǎn)R，求證：P、Q【解析】AP是∠BAC的外角平分線，則BPPC=BQ是∠ABC的平分線，則CQQA=CR是∠ACB的平分線，則ARRB=①×②×因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延長線上，則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得：P、Q、R三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和角平分線定理的綜合應(yīng)用．例6．（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB,BC,CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有AF下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有AFFB=AG∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE，∴AF請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，△ABC三邊的延長線分別交直線l于X,Y,Z三點(diǎn)，證明：BXXC?請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊△ABC的邊長為3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且與AD交于點(diǎn)E，試求AE的長．（3）如圖5，△ABC的面積為4，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長BC至D，使CD=BC，連接FD交AC于E，求四邊形BCEF的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）AE=34【分析】(1)過點(diǎn)C作交AY于點(diǎn)N，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例，化簡計(jì)算即可．(2)根據(jù)定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(3)根據(jù)定理，計(jì)算比值，后解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)C作交AY于點(diǎn)N，則．故：．

（2）解：如圖，根據(jù)梅涅勞斯定理得：AFFB又∵BF=2AF，∴，∴DE=AE．在等邊△ABC中，∵AB=3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．∴由勾股定理知：．（3）解：∵線段DEF是△ABC∴由梅涅勞斯定理得，AFFB?BDDC?CEEA，于是=83．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．例7．（2023.山東九年級月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．例8.（2023.浙江九年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH?！驹斀狻孔C明：過點(diǎn)A作PQ//BC，與DF，DE的延長線分別交于點(diǎn)P、Q，則DA⊥PQ。對△ABC和點(diǎn)H應(yīng)用賽瓦定理可得：BDDC∵PQ//BC，∴AFBF=APBD,CEEA=根據(jù)垂直平分線，∴PD=QD，∴△PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。點(diǎn)評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例9.（2023.北京九年級月考如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點(diǎn)M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：KFLF對△DKL和點(diǎn)B應(yīng)用賽瓦定理可得：DAAK×對△DKL和截線ACG，由梅氏定理得：DAAK由①②得：KF點(diǎn)評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則BDDC數(shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若△ABC為等邊三角形（圖3），AB=12，AE=4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長，并直接寫出△BOF【答案】(1)證明見解析(2)BF=8；△BOF的面積為6【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，證明△COD～△CFG，可求出OD，從而求出△BOC的面積，然后根據(jù)AFBF=12【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴BD=CD，CE=AE．由賽瓦定理可得：BDDC×CEEA×AFBF=1．∴AF（2）解：∵△ABC為等邊三角形，AB=12，∴∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=DC=6，∵AE=4，∴CE=8．由賽瓦定理可得：BF=8；過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∴BG=BF?cos60°=4，F(xiàn)G=BF?sin60°=43∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD∥FG，∴△COD∴ODFG=CDCG，即OD43=∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴AFBF=1又S△ABC=34×122【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用塞瓦定理是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：法1：對△ABC和截線EMD，由梅氏定理得：AEEB∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，∴AEEB=∴13?BDCD?1=1，∴BD法2：如圖，過C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2.（2023.浙江九年級期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設(shè)S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．3．（廣東2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，則DF的長為

【答案】54【分析】過點(diǎn)F作于H，根據(jù)勾股定理求得AB的值，根據(jù)三角形的面積求得CD的值，根據(jù)勾股定理求得AD的值，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得FHAH=23，設(shè)FH=2k，AH=3k，CH=3?3k，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得k的值，即可求得CH和FH【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作于H．

在Rt△ABC中，AC=3，，則AB=∵CD⊥AB，∴S△ABC=12AC?BC=1在Rt△ACD中，AC=3，CD=12∵FH⊥AC，∠ACB=90°，∴FH∥EC，∴△AFH∽△AEC，∴FHEC∵EC=EB=2，AC=3，∴FHAH=ECAC=23∵，CD⊥AB，∠DCA=∠DCA，∴△CHF∽△∵FHAD=CHCD，∴2k95=3?3k12∴CF=CH2+FH2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，AC=4．AD是BC邊上的中線．將△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'與BC相交于點(diǎn)E，連接BA'并延長，與邊

【答案】9712/【分析】則E為A'C'的中點(diǎn)，得A'為AD的中點(diǎn)，證明△BEA'∽△BCF【詳解】解：∵由平移的性質(zhì)得A'C'∴E為A'C'的中點(diǎn)，DEEC=DA'A∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴△BEA'∽△BCF，∵AC=4，∴A'E=2，∴，F(xiàn)C=83，在Rt△ABF中，∵BA':BF=3:4，∴A【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．（2022年山西省太原市九年級下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，⊙O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，CE交AB的延長線于點(diǎn)F．若AC=4，OB=BF，則BD的長為．【答案】83/【分析】連接OC，BC，根據(jù)AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E為BD的中點(diǎn)，可得CE=BE=DE，從而得到∠BCE=∠CBE，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根據(jù)OB=BF，可得△OBC是等邊三角形，進(jìn)而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OC，BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E為BD的中點(diǎn)，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵BD是⊙O的切線，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵OB=BF，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵AC=4，∴BC=AC?tanA=4×33【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2023年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB⊥BD，，OB=2，∠ADC的平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．則線段OE的長為．【答案】13【分析】由平行四邊形的性質(zhì)求出BD，再由勾股定理分別求出AO，AD，再由角平分線與平行線的性質(zhì)得到∠CDF=∠CFD，最后由△ADE∽△CFE得AECE=AD【詳解】解：∵□ABCD，OB=2，AB=3，∴BD=2OB=4，AD∥BC，AD=BC，CD=AB=3，∵AB⊥BD，∴∠ABO=90°，∴AO=AB2+OB2=32+22=13，AD=AB2+B∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CFD，∴∠CDF=∠CFD，∴CF=CD=3，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CFE，∴AECE=ADCF，∴13+OE13【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，難度適中，解題關(guān)鍵是正確找出相似三角形．7．（2023下·浙江溫州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為5，D在BC延長線上，CD＝3，點(diǎn)E在線段AD上，且AE＝AB，連接BE交AC于F，則CF的長為．【答案】1【分析】過點(diǎn)A作AG⊥BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥AC，交BD于點(diǎn)H，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出BG的長，利用勾股定理求出AG的長，從而可得到DG的長，再利用勾股定理求出AD的長，由此可求出DE的長；再利用平行線分線段成比例定理求出EH，DH的長，再利用平行線分線段成比例定理求出CF的長．【詳解】解：過點(diǎn)A作AG⊥BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥AC，交BD于點(diǎn)H，∵△ABC是等邊三角形，∴BG=12BC=5∵DC＝3∴DG＝CG＋DC＝2.5＋3＝5.5在Rt△AGD中，AD=AG2+D∵EH∥AC，∴DEAD=EHAC=∵CF∥EH，∴CFEH=BC【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，平行線分線段成比例，掌握勾股定理求出線段長度，運(yùn)用好平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．8．（2023·重慶·八年級期中）如圖，ΔABC的面積為10，D、E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且AD=CD,AE:BE=2:1．連接BD,CE交于點(diǎn)F,連接并延長交BC于點(diǎn)．則四邊形BEFH的面積為．【答案】53【分析】先畫出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面積即可．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，設(shè)JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，∵AE=2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，∵BE=AB，∴S△BEC=S△ABC=103，∵EG=14EC，∴S△BEF=14S△BEC=56,S△BFC=∵BH=BC，∴S△BHF=×52=56，∴S四邊形BEFH=56+56=【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等及輔助線的做法,關(guān)鍵在于通過輔助線將面積分成兩個(gè)三角形面積求證．9.（2023.湖北.九年級月考）如圖所示，△ABC被通過它的三個(gè)頂點(diǎn)與三角形內(nèi)一點(diǎn)O的三條直線分為6個(gè)小三角形，其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示，則△ABC的面積為【解析】有題意知：AFFB=對△ABD和截線COF，由梅氏定理得：AFFB?BCCD?DOOA=1∴S【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．10．（2023上·河南洛陽·九年級期末）小明在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個(gè)題，請你解答．已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC．取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E．(1)求AEAC的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝AE，求AC【答案】(1)(2)AC的長為34a．【分析】（1）過點(diǎn)F作FM∥AC，交BC于點(diǎn)M．根據(jù)平行線分線段成比例定理分別找到AE，CE與FM之間的關(guān)系，得到它們的比值；（2）結(jié)合（1）中的線段之間的關(guān)系，進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)F作FM∥AC，交BC于點(diǎn)M，∵F為AB的中點(diǎn)，∴M為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)M=12AC．∵CD=BC，∴CM=12CD，∴∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴．∴．∴；（2）解：∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AB=a，∴FB=12AB=12∵FB=AE，∴AE=12a．由（1）知，AEAC=23，∴AC=32AE=32×12a=【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出平行線構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級?？计谀┤鐖D，△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點(diǎn)，證明：BXXC【答案】見解析【分析】連接CY、AX，設(shè)A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2，再根據(jù)“兩個(gè)三角形等高時(shí)面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)，分別列出CZZA、AYYB、【詳解】證明：如圖，連接CY、AX設(shè)A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2CZZA=S△XZC∴BXXC?AY【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積計(jì)算，作出輔助線，通過面積寫出線段比是解題關(guān)鍵.12．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與ΔABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有AFFB下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作AG//BC，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF=2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE=________．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）由題意可得CEAE=CDAG，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可進(jìn)行求證；（2）由（1）可得AFBF?BCDC?【詳解】解：（1）補(bǔ)充的證明過程如下：∵AG//BD，∴CE（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得AFBF∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BF=2AF，∴AFBF=12∵AB=AC=13，BC=10，∴AD⊥BC，BD=5，∴在RtΔABD中，AD=A【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2021·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則BDDC如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴AFBF同理可得△NOA∽△COD．∴ANDC任務(wù)一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識(shí)已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)MOBO=MA任務(wù)二：證明見解析；任務(wù)三：12548【分析】任務(wù)一：可直接通過“8”字型相似得出答案；任務(wù)二：通過相似之間的對應(yīng)邊比例轉(zhuǎn)換得出結(jié)論；任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二得出BFFC?CGGA?ADDB=1，可得出的值，再由△ECG和【詳解】（1）解：任務(wù)一：∵M(jìn)N//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）MOBO任務(wù)二：證明：如圖所示：由任務(wù)一可得：BDAM同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴ODOA=DCAN；AFFB任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二可得：在△ABC中，BFFC∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB=3∴cos∠BAC=ACAB=ADAC；∴45=AD4；∴AD；∵BFFC?CGGA?AD過點(diǎn)E作EH⊥AC于H；∴S【點(diǎn)睛】本題主要是根據(jù)“8”字型的相似得出對應(yīng)的邊之比，任務(wù)二的重難點(diǎn)在于各邊比例之間的轉(zhuǎn)換，任務(wù)三中兩個(gè)三角形同高，故面積比等于底邊比；本題屬于中等偏.上類題．14．（重慶2022-2023學(xué)年八年級月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，延長BC至點(diǎn)E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，再延長EF交AB于點(diǎn)M．（1）若D為BC的中點(diǎn)，AB＝4，求AD的長；（2）求證：BM＝2CD．【答案】（1）10；（2）詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC＝BC＝22，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）過M作MH⊥BC于H，連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AME＝∠EAM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝MH，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，∴AC＝BC＝22，∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝12BC＝2，∴AD＝（2）過M做MH⊥BC于H，連接AE，∵AC⊥BE，CD＝CE，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC，∵EF⊥AD，∴∠EFD＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，∴∠CAD＝∠DEF，∴∠EAC＝∠DEF，∴∠EAC＝∠DEF，∵∠AME＝∠B+∠BEM，∠EAM＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，∴∠AME＝∠EAM，∴AE＝EM，∴AD＝EM，∵∠ACD＝∠EHM＝90°，∴△ACD≌△EHM（AAS），∴CD＝MH，∴BM＝2MH＝2CD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明△ACD≌△EHM是解題的關(guān)鍵．15．（2023年湖北省襄陽市襄州區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，⊙O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，連接CE并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AC=33，OB=BF【答案】(1)證明見解析(2)15【分析】（1）連接OC，BC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠DCB=90°，求得∠D=∠DCE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABD=90°（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠F=30°，求得∠COB=60°，得到∠A=30°，過O作OH⊥AC于H，求得OH=1【詳解】（1）證明：連接OC，BC，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∵E為BD的中點(diǎn)，∴CE=DE，∴∠D=∵BD是⊙O的切線，∴∠ABD=90°，∴∠A+∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO+∠DCE=90°，∴∠OCF=90°∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O（2）解：∵OB=BF，OC=OB，∴OC=1∵OC⊥CF，∴∠F=30°，∴∠COB=60°，∴∠A=30°∵AC=33，

∴AB=ACcos3∴BD=33AB=23，過O作OH⊥AC于H∵AO=BO，∴OH=1∴S陰影【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

專題21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點(diǎn)，如果，則F、D、E三點(diǎn)共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點(diǎn)，而梅涅勞斯定理的特征是三點(diǎn)共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2023.浙江九年級期中）如圖，在中，AD為中線，過點(diǎn)C任作一直線交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，求證：．例2.（2023.重慶九年級月考）如圖，在中，，．AM為BC邊上的中線，于點(diǎn)D，CD的延長線交AB于點(diǎn)E．求．例3.（2023.湖北九年級期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊AC、AB上，，，BD與CE交于點(diǎn)F，．求．例4.（2023.江蘇九年級月考）已知AD是的高，點(diǎn)D在線段BC上，且，，作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接EF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)G，求CG．例5.（2023.廣東九年級專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖，在中，的外角平分線與邊BC的延長線交于點(diǎn)P，的平分線與邊CA交于點(diǎn)Q，的平分線與邊AB交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線．例6．（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則有，，∴，．請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點(diǎn)，證明：．請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．例7．（2023.山東九年級月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．例8.（2023.浙江九年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。例9.（2023.北京九年級月考如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點(diǎn)M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長，并直接寫出的面積．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．2.（2023.浙江九年級期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．3．（廣東2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，則的長為．

4．（2022年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點(diǎn)，連接并延長，與邊相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，的長為．

5．（2022年山西省太原市九年級下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線交的延長線于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長為．6．（2023年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，，的平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．則線段OE的長為．7．（2023下·浙江溫州·八年級