2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單：九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類（含解析）

備考2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單（上好課）專題05九種函數(shù)與抽象

函數(shù)模型歸類（含解析）專題05九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類

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目錄

題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對勾函數(shù)..................................................................1

題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù)..................................................2

題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）......................................................3

題型四：一元三次函數(shù)............................................................................3

題型五：高斯取整函數(shù)...........................................................................4

題型六：絕對值函數(shù)..............................................................................5

題型七：對數(shù)絕對值型...........................................................................7

題型八：對數(shù)無理型..............................................................................8

題型九：對數(shù)反比例型...........................................................................8

題型十：指數(shù)反比例型...........................................................................9

題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型...........................................................10

題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型.........................................................10

題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型.................................................................11

題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型.............................................................12

題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型.........................................................13

題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型...................................................13

英突圍?檐:住蝗分

題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對勾函數(shù)

指I點I迷I津

1.有“漸近線"：y=ax

2.“拐點”：解方程ax=B（即第一象限均值不等式取等處）

1.（2022秋?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若對任意的xe[l,5],不等式2<x+@+b<5恒成立，則

X

a-b的最大值是.

2.（2022?安徽合肥?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)=-3,關(guān)于x的不等式產(chǎn)（x）＜4（x）只有一個

X

整數(shù)解，則正數(shù)。的取值范圍是.

3..（2023?高三單元測試）已知函數(shù)〃月=?+5-1,若存在和馬…，七?，使得

/（%1）+/（X2）+則正整數(shù)”的最大值為.

4.（2022?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=x+@（a＞0）,若對任意的

X

相、小pe1,1,長為〃加）、/5）、/（。）的三條線段均可以構(gòu)成三角形，則正實數(shù)。的取值范圍是.

題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù)

指I點I迷I津

反比例與分式型函數(shù)

解分式不等式，一般是移項（一側(cè)為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿

線法求解

形如：y=――-o對稱中為P（x。，y）,其中

cx-d0

①CXQ—d=0;

③一、三或者二、四象限.通過x=0,l計算判斷

1.（2022?湖北武漢?高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)y=〃x+l）-3為奇函數(shù)，8⑴二3丫二一2^工⑴與g⑴的圖像

X-1

有8個交點，分別為（4%）,仁,為）…（玉,%），則（%+為+%+為+%+%+%+%）

一（再+九2+X3+/+毛+/+毛+/）=.

2.（2023?全國?高三對口高考）函數(shù)y=二^的值域是{yly＜。或＞24},則此函數(shù)的定義域為___.

x-3

11.1丫

3.（2023?全國局二專題練習(xí)）已知集合人=s,s+w+其中l(wèi)eA且S+：＜/,函數(shù)/（%）=,且

6J6九T

對任意aeA,都有則/的值是.

4.（2023?浙江?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)/。）=渭，若函數(shù)y=帆刷一|在［T2］的最大值為2,

則實數(shù)/的值為.

題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)(雙刀函數(shù))

是.

2.(2023春?湖北?高二統(tǒng)考期末)已知奇函數(shù)〃x)=e口-e'+2比。＞0),有三個零點，則f的取值范圍為.

3.(2023春?遼寧鐵嶺?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(X)=三士+3sinx+2若=1,則〃-。)=.

4…2023春?上海黃浦?高三上海市大同中學(xué)?？?已知函數(shù)”X)=2022A3+(X-3)3-20223T+2X,則不等式

/(尤2-4)+〃2-3無)412的解集為.

題型四：一元三次函數(shù)

:指I點I迷I津

：一元三次函數(shù)：

:所有的三次函數(shù)/(x)=涼+加+cx+d("0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(尤)的圖像的對稱中心，

；設(shè)尸(力是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，廣⑺是尸⑺的導(dǎo)數(shù)，若方程/(x)=0有實數(shù)解%,則稱點(%,/(%))為函數(shù)

f^x)=ax?+Zzx2+cx+d(aw0)的“拐點

?_________________________________________________________________________________________________________

1.?給出定義:設(shè)廣⑺是函數(shù)y=〃力的導(dǎo)函數(shù),廣⑺是函數(shù)y的導(dǎo)函數(shù),若方程/(力=0有實

數(shù)解X=X°,則稱(玉,/(i))為函數(shù)y=/(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函

〃力=加+涼+6+44片0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(x)的圖像的對稱中心.若函數(shù)

f(x)=x3-3x2,則++上］+…+/［些］+/［照］=()

J')U022)\2022){2022JU022J{2022)

A.-8086B.-8082C.8084D.8088

2.已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2+1,若至少存在兩個實數(shù)m,使得/（-m）,/（I）,f（m+2）成等差數(shù)列，

則過坐標(biāo)原點作曲線y=/（%）的切線可以作（）

A.3條B.2條C.1條D.0條

3.（多選）（全國名校大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）對于三次函數(shù)

〃力=加+加+5+d（"0）,給出定義：設(shè)廣⑺是函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)，/⑺是函數(shù)尸⑺的導(dǎo)數(shù),

若方程產(chǎn)（0=0有實數(shù)解.%,則稱（為"宙））為函數(shù)y=/（x）的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三

次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)

?49

/（力=；7尤3一尤2-12》+則下列說法正確的是（）

36

A.〃力的極大值點為12,浮J

B.〃尤）有且僅有3個零點

C.點］；,21是“X）的對稱中心

1232021

D.=4042

2022202220222022

4.（多選）（江蘇省蘇州市常熟市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月抽測二數(shù)學(xué)試題）對于三次函數(shù)

/（2=加+加+u+d（aw0）,給出定義設(shè)廣⑺是函數(shù)）=/（犬）的導(dǎo)數(shù),尸（可是廣⑺的導(dǎo)數(shù)，若方程

產(chǎn)（%）=0有實數(shù)解/，則稱點&,/（%））為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何

一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)〃=—尤2+辦—〃,則以下說法正確的是

（）

4

A./（x）+/（2-x）=--

B.當(dāng)a<0時,/（力有三個零點

C./（-2019）+f（-2020）+/（2021）+/（2022）=4

D.當(dāng)有兩個極值點對三時，過4（王"（%））,4務(wù),“々））的直線必過點

題型五：高斯取整函數(shù)

指I點I迷I津

取整函數(shù)，=［司'［可表示不超過工的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”,

1.（黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2022-2023學(xué)年高三月考數(shù)學(xué)試題）符號[可表示不超過x的最大整數(shù)，如

[2,3]=2,團(tuán)=3,[-2』=-3,定義函數(shù)〃x）=龍-國則下列說法正確的個數(shù)是（）

①函數(shù)〃x）的定義域為R

②函數(shù)〃x）的值域為[0』

③函數(shù)是增函數(shù)

④函數(shù)是奇函數(shù)

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（廣東省廣州市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）高斯（1777-1855）是德國著名數(shù)學(xué)

家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"之稱，高斯一生的數(shù)

學(xué)成就很多，其中：設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則丫=[可稱為高斯函數(shù)，例如：[2.3]=2,

[-2.1]=-3,已知函數(shù)/（力=2/_彳_2,XG（O,2）,設(shè)函數(shù)y=[〃x）]的值域為集合O,則。中所有負(fù)整

數(shù)元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（百師聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（四）全國卷I理科數(shù)學(xué)試題）高斯（1777-1855）是

德國著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.高斯被認(rèn)為是歷史上最重要

的數(shù)學(xué)家之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"之稱，用其名字命名的高斯函數(shù)為：設(shè)xe氏用[司表示不超過x的最大

整數(shù),則'=國稱為高斯函數(shù)，例如：[2.3]=2,[—2』=—3,已知函數(shù)/（力=2/_》_2,x?0,2）.設(shè)函數(shù)

>=[/（尤）]的值域為集合。，則。中所有正整數(shù)元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

4.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)xeR,用印表示不超過x的

最大整數(shù)，》=[幻也被稱為“高斯函數(shù)"，例如：[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函數(shù)7■（尤）=q+1]-無，下列說法

中正確的是（）

A.Ax）是周期函數(shù)B./(x)的值域是[0,1]

C.Ax）在（0,1）上是減函數(shù)D.VxeR,[/(%)]=0

題型六：絕對值函數(shù)

指I點I迷I津

絕對值函數(shù)：

(1)分類討論去掉絕對值；(2)大部分絕對值函數(shù)，可以遵循翻折變換

翻折變換：x軸翻折，y軸翻折，y=x翻折

1、f(x)n|f(x)|x軸翻折：x軸下方(負(fù)的)翻上去

2、f(x)nf(|x|)y軸翻折：y軸左側(cè)擦除。右側(cè)翻到左側(cè)，成為偶函數(shù)

1.(2023春,湖南長沙?高二長沙一中?？茧A段練習(xí))定義網(wǎng)(xeR)為與x距離最近的整數(shù),令函數(shù)尸(x)=||x||,

111111

如:-----1--------1-------1-----…+--------1------

玳1）F網(wǎng)F網(wǎng)尸⑵F（回）廠（⑼

2.(2023?天津和平?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(尤)=*(彳*。)，若關(guān)于x的方程_f(〃x))=2恰有三個不相等

X—CL

的實數(shù)解，則實數(shù)。的取值集合為.

Y

3.(2022?浙江?高三模擬)已知函數(shù)/(x)=7^(xe(-2,2)),有下列結(jié)論：

_2-|尤|

①V無e(-2,2),等式〃一x)+/(x)=0恒成立;

(2)Vme[0,+oo),方程l/(x)|=機(jī)有兩個不等實根；

③X/%、々€(-2,2),若尤產(chǎn)馬，則一定有/(西)可(尤2)；

④存在無數(shù)多個實數(shù)k,使得方程f(x)=近在(-2,2)上有三個不同的實數(shù)根.

則其中正確結(jié)論序號為.

4.(2023春?上海松江?高三上海市松江一中?？茧A段練習(xí))已知/(x)=x+若存在

西,和三,…e42],使得")+/⑷+…+/(%?_,)=/(%?)成立的最大正整數(shù)”為6,貝U。的取值范圍

為.

題型七：對數(shù)絕對值型

指I點I迷I津

對數(shù)絕對值型函數(shù)

對于f（X）=|lOgaX|,U°gaX|二a若有兩個零點，則滿足

10<x1<l<x2

2.X]X2=1

3：要注意上述結(jié)論在對稱軸作用下的“變與不變”

k+MX<o

r-

1.（2022?吉林白山?撫松縣第一中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)/（》）=Rm>O若方程〃力=上有4個不同

10g4

4，、一

的根4，巧，W,x4,且芯<%<當(dāng)<匕，則一^一匕（占+尤2）的取值范圍是（）

義344

A.[4A/2,6）B.[2,4應(yīng)）C.（2,40]D.[472,9]

—12+4xYv4

2.（2023春?江蘇蘇州?高二星海實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃同=?_八一,若關(guān)于x的方程

[lOg21%-44，尤>4

1有四個實根%,々，%3，%4（%<々<%3<兀4），貝也+兀2+2玉+；%4的最小值為（）

3133

A.—B.16C.—D.17

22

ho%>0

3.（2020秋?陜西延安?高三?？寄M）已知/（%）=；7'，則函數(shù)y=2/（x）-3〃x）+l的零點個數(shù)是

211,x<0

（）

A.5B.4C.3D.2

兀？兀<]

4.（2023春?安徽安慶?高三統(tǒng)考模擬）設(shè)函數(shù)/（x）=；'1若/㈤=〃3=/（玉）=〃匕）（其

|log2（x-l）|,x>1

4（c、

中西<%2<%3<Z），則一1+（再+々+2）%3的取值范圍是（）

A.（3,學(xué)B.（4,y）C.（3,y]D.[4,y）

題型八：對數(shù)無理型

指I點I迷I津

對數(shù)與無理式復(fù)合是奇函數(shù)：y=log”（“Ax）?+1土區(qū)］,如y=log”（“x上+1+%］

1.（2023春?黑龍江綏化?高二?？计谀┮阎瘮?shù)〃x）=log2（V?W-x）,若任意的正數(shù)。，b均滿足

71

/（a）+/（3^-2）=0,則女+；的最小值為______.

ab

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)“力二川^^+目+%，若”2尤-1）+/（2-力>0,則x的取值

范圍是.

3.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考模擬）已知函數(shù)〃尤）=x+ln（77W-xj-5

（xe［-2016,2016］）的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)”無）=1111+77工）+1,若正實數(shù)《6滿足/（4“）+/（4b-1）=2,

則工+，的最小值為________.

ab

題型九：對數(shù)反比例型

指I點I迷I津

形如對數(shù)與反比例復(fù)合型，是奇函數(shù)：

1m-nx1m+nx3〔1-x11-kx,x-1

y=loga-----，y=loga------，如：1og--，log——,log--

m+nxm-nxa1+xa1+kxax+1

1.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃無尸地?［”4［+b,若函數(shù)的圖象關(guān)于點（1,0）對稱，則

log，=（）

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

2.（21-22高三上?云南曲靖?階段練習(xí)）設(shè)定義在區(qū)間［-k陽上的函數(shù)/（x）=lg?竺是奇函數(shù)，且

.若印表示不超過X的最大整數(shù)，X。是函數(shù)g（x）=lnx+2x+”6的零點，則［尤。］=

A.1B.1或2C.2D.3

3.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）=111且￡^-2m>0）是定義在區(qū)間（。㈤上的奇函數(shù)，則實

數(shù)b的取值范圍是（）

A.(0,9]B.(0,3]c-H]d-H.

4.（23-24高三上?浙江寧波?模擬）已知=是奇函數(shù)，貝!]〃+/=)

35_

A.1B.-C.2D.

22

題型十：指數(shù)反比例型

指I點I迷I津

指數(shù)型”反比例函數(shù)”：

1優(yōu)+1ax-ll—ax1+/

1?y=^-r，y=^--，y=--r，y=------

Cl—1Cl+11+。l-ax

2以上幾個類型都是奇函數(shù)

變化

指數(shù)型”反比例函數(shù)”：

1優(yōu)+t優(yōu)+tt—優(yōu)t+優(yōu)

1?y=^~7，y=^7，y="；r，y二----

ci—la+ll+a\-ax

2以上幾個類型都是對稱中心函數(shù)，對稱中心在y軸上

怎么找中心？

1.如果x=0有意義，直接（0,f（0））就是中心

2.如果x=0無意義，則（0」（T）+f⑴）是中心，即特殊值法

2

?%+l_m

I.（23-24高三上?河南?模擬）已知函數(shù)/（工）=彳"^是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意工￡[1,2],不等式

高/('心3工+。40恒成立，則實數(shù)〃有（

2323

A.最大值一人B.最小值一二C.最小值-￡D.最大值一：^

91610

2.（23-24高三上?安徽銅陵階段練習(xí)）已知函數(shù)〃到=/+乙，若實數(shù)〃,6滿足/（/）+4262-3）=2,

則6/1+萬的最大值為（）

A.巫B.0C.述D.述

444

,X+1

3.（21-22高三上?遼寧錦州?模擬）已知函數(shù)=的圖像與過點的直線有3個不同的交點

（冷人），（々，外），（三，%）,貝！1（玉+%+W）2+（%+%+%）2=（）

A.8B.10C.13D.18

4.(2024?河北衡水?模擬預(yù)測)設(shè)。若函數(shù)+x)是偶函數(shù)，則。=()

13

A.-B.-C.2D.3

22

題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型

指I點I迷I津

〃x+y)=〃x)+〃y)一過原點直線型f(x)=kx

有以下性質(zhì)：

l.f(0)=0

2.奇函數(shù)：y=-x,則〃x-x)=〃x)+〃-x)=0

3.可能具有單調(diào)性(結(jié)合其他條件)

1.(23-24高三上?山東泰安?模擬)已知函數(shù)〃尤)對于任意的都有/(彳+)0=/(力+『(封成立，則

(多選)

A./(0)=0

B.7'(X)是R上的偶函數(shù)

C.若〃2)=2,則"1)=1

D.當(dāng)x>0時，/(%)<0,則f(x)在R上單調(diào)遞增

2.(23-24高三上?江蘇?階段練習(xí))已知函數(shù)>=/(》)，xeR,對于任意x,yeR,/(x+y)=/(%)+/(j),

且當(dāng)x>0時，均有“x)>0,則(多選)

A./(0)=1

B./(3x)=3/(x)

C.f(-無)+/(尤)=0

3

D.若J'O+l)+/(〃?+2)<0,則租<-'

2

3.(23-24高二下廣東深圳?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)〃力滿足/(x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)x<0時，

/(x)>0,則函數(shù)〃尤)滿足()

A./(0)=1B.y=/(x)是偶函數(shù)

C./(犬)在［根,〃］上有最小值〃“)D./(%-1)>。的解集為(1,+℃)

4.(2023,廣西玉林?三模)函數(shù)”尤)對任意尤，yeR總有/(x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)尤<0時，〃尤)<。，

/(1)=1,則下列命題中正確的是()

A.“X)是偶函數(shù)B.〃尤)是R上的減函數(shù)

C.〃x)在［F6］上的最小值為-2D.若/(x)+〃x—3)2—l,則實數(shù)x的取值范圍為［3,+s)

題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型

;指I點I迷I津

'/(x+y)=/(x)+/(y)+b(b帶正負(fù),即是+b或者-b)

―/(x)=kx-b

；證明如下：

/(x+y)+b=/(x)+b+/(y)+b

一■"同構(gòu)"：h(x)=/(x)+b

：<->h(x+y)=h(x)+h(y)---------h(x)是過原點的直線

753五謫三石應(yīng)力展葩礪葭臻萬丁麗藪，而稀山一需演荽藪「1中就有?

〃x+y)=/(x)+/(y)—4且當(dāng)尤>0時，“X)>4.設(shè)g(x)=/(*)-4.則下列命題正確的是()

A./(-2023)+/(2023)=8B.函數(shù)有對稱中心(。,4)

C.函數(shù)g(x)為奇函數(shù)D.函數(shù)g(x)為減函數(shù)

2.(多選)(23-24高三上?遼寧朝陽?模擬)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足〃x+y)=〃x)+〃y)+2,且

當(dāng)x>0時，/(x)>-2,貝lj()

A.〃0)=-2

B./(力+2為奇函數(shù)

C.在R上是減函數(shù)

D.若"1)=2,則不等式/(x2+x)+〃l-2x)>8的解集為

3.(23-24高三上?湖南株洲?模擬)已知函數(shù)/(x)對Vx,yeR,都有/(x+y)=〃x)+7(y)-2,若

/(x)=］2x---|_/(尤)在［-2022,2022］上存在最大值加和最小值《1,則Af+m=()

A.8B.4C.2D.0

4.(23-24高三下?河南周口?開學(xué)考試)已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足

Vx,yeR,/(x+^)=/(x)+/(y)-2024,若函數(shù)g")=筆崇f+f(x)

的最大值和最小值分別為M，：力，則知+機(jī)=.

題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型

指I點I迷I津

/U)+/(y)于邛)

f(x+y)=?/(?0=

1-1-以吟以

所以復(fù)合f(x)=tan(kx)。(k根據(jù)其余條件待定系數(shù))

1.(20-21高三上?浙江寧波?模擬)己知函數(shù)〃x)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域為(-M),滿足：當(dāng)x>0

時，〃x)>0；任意的x,ye(-1,1),均有/'(x+y)[l-4x)”y)]=7'(x)+y(y).若貝I]x

的取值范圍是()(e是自然對數(shù)的底數(shù))

2.(山東?高考真題)給出下列三個等式：/㈤)=/(尤)+/(y)，/(x+y)=/(x)/(y),

/(x+y)="2+(?)下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是()

X

A.f(x)=3B.f(x)=sinxC./(x)=log2xD./(x)=tanx

3.(多選)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)的定義域為{x|xw4左+2,丘Z},且〃元+y)=

"1)=1,則(多選)

A."0)=0

B.〃尤)為偶函數(shù)

C.”力為周期函數(shù)，且4為f(x)的周期

D.f(2023)=-l

4.(20-21高三上?浙江寧波?模擬)己知函數(shù)〃x)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域為(-M),滿足：當(dāng)x>0

時，/(^)>0；任意的x,ye(-l,l),均有“x+y)[l-/(x)/(y)]="x)+/(y).若則x

的取值范圍是()(e是自然對數(shù)的底數(shù))

題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型

:指I點I迷I津

/(x+y)=/(x)+/(y)+2a^-c

；則/(X)=ax?+bx+c.

f(x+y)=a(x+y)2+b(x+j)+c=ax2+bx+ay2+by+c+2axy

=ax2+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=f(x)+/(y)+2a.xy-c

；此模型，b的值無法推導(dǎo)，多依賴其他條件來待定系數(shù)確認(rèn)。

1.(23-24高三上?上海普陀?模擬)已知對于任意的整數(shù)x、八〃,〃>0,有〃x+y)=〃x)+〃y)+2個+1

成立，且〃-2)=1,則”2〃)=

2.(23-24高三上?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試)己知函數(shù)/(X)的定義域為R,/(%+y)+2xy=/(%)+/(y),/(1)=2,

則下列說法不正確的是()

A./(0)=0B./(-2)=-10

c.y=〃x)+x2是奇函數(shù)D.y=/(x)-x2是偶函數(shù)

3.(23-24高三上?吉林長春?模擬)函數(shù)〃x)滿足：任意〃eN*,了⑺“〃.且〃x+y)=f(x)+f(y)+10町.

10

則⑺的最小值是()

Z=1

A.1775B.1850C.1925D.2000

4.(23-24高三上?河北保定,模擬)已知函數(shù)/(x)滿足：Vx,yeZ,/(x+y)=/(x)+/(y)+2孫+1成立，

且八一2)=1,貝取〃eN*)=()

A.4/7+6B.8〃-lC.W+2/1-1D.8/72+2H-5

題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型

"旨I點I迷I津

/(%+y)=/(x)+/(y)+3axy(x+y),

;則f(x)=ax3+bx,(其中b可以借助其他條件待定系數(shù))

————————0———————————————————————————————————0——————————————————.

1.(多選)(2024?福建莆田?二模)已知定義在R上的函數(shù)/'(X)滿足：/■(x+y)=/(x)+/(y)-3孫(x+y),

貝U()

A.y=/(無)是奇函數(shù)

B.若〃1)=1,則/(-2)=4

C.若"1)=—1,貝獨=/(可+丁為增函數(shù)

D.^Vx>0,/(x)+x3>0,貝打=/(力+/為增函數(shù)

2.（多選）（2024?貴州三模）已知定義域為R的函數(shù)“X）滿足=〃尤）+〃y）+fy+孫2,尸（無）為

“X）的導(dǎo)函數(shù)，且/"）=2,則（）

A./（0）=0

B.7（尤）為奇函數(shù)

C.尸（-2）=7

D.設(shè)6“=r（〃）（“eN*）,則%24=2023x2025+2

3.（多選）（2024?遼寧大連?一模）已知函數(shù)是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，若

f（x+y）=f（x）+f（y）+?>xy[x+y）,且/'（0）=-3,則（）

A.是奇函數(shù)B.“X）是減函數(shù)

C./（V3）=0D.x=l是的極小值點

題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型

指I點I迷I津

于(X+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),或</(x)+/(y)=2/(亨)"(寧)

⑴模型一：/(x)=coskx

特征：函數(shù)值有上下確界

證明：/(x+y)+f(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)

=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy

=2/(x)/(y)

(2)模型二：雙曲余弦函數(shù)〃x)=cosh(6==；e'

特征：/(x)=cosh(x)=>2^，g=1

[(金選)(23-24高三上?浙江湖州?模擬)已知函數(shù)y=對任意實數(shù)無，，都滿足

=+且/=則下列說法正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)B.f(0)=0

C./(x)+/(l-x)=0D.『⑴+42)+〃3)+…+/(2023)=—1

2.（多選）（23-24高三上?河南許昌?模擬）已知函數(shù)滿足Vx,yeR,〃x+y）+/（x-y）=2〃x）〃y）,

且/⑴=0,則下列命題正確的是（）

A./（2）=1B./（x+1）為奇函數(shù)

C.〃x）為周期函數(shù)D.叫eR,使得〃x°）+2=0成立

3.（多選）（2024?河南?模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)〃x）,滿足2〃x+y）/（x7）=f（2x）+〃2y）,

且『（1）=-1,則下列說法正確的是（）

A./（0）=1B./（元）為偶函數(shù)

C./（2x）=/（x）D.2是函數(shù)/?（%）的一個周期

4.（多選）（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為R,且滿足〃龍+y）+〃x-y）=2/（x）/（y）,

/（4）=-1,則下列結(jié)論正確的有（）

A./（0）=0B.42）=0

C.〃x）為偶函數(shù)D.””的圖象關(guān)于（1,0）對稱

備考2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單（上好課）專題05九種函數(shù)與抽象

函數(shù)模型歸類（含解析）專題05九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類

更盤點?置擊看等

錄

題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對勾函數(shù).................................................................1

題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù)..................................................2

題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）......................................................3

題型四：一元三次函數(shù)............................................................................3

題型五：高斯取整函數(shù)...........................................................................4

題型六：絕對值函數(shù)..............................................................................5

題型七：對數(shù)絕對值型...........................................................................7

題型八：對數(shù)無理型..............................................................................8

題型九：對數(shù)反比例型...........................................................................8

題型十：指數(shù)反比例型...........................................................................9

題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型...........................................................10

題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型.........................................................10

題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型.................................................................11

題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型.............................................................12

題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型.........................................................13

題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型...................................................13

^突圍?檐誰蝗分

題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對勾函數(shù)

指點迷津

IIAI

1.有“漸近線"：y=ax

2.“拐點”：解方程ax=2（即第一象限均值不等式取等處）

1.（2022秋?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若對任意的不等式2Vx+（+6V5恒成立，則

a-人的最大值是.

【答案】4+4A/3

【分析】令/（同=尤+3+6,彳?1,5],討論。的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大

X

值與最小值，使“可儂22且/'（x）1mxW5恒成立，進(jìn)而確定。的取值范圍以及b的取值范圍，即求.

【詳解】令〃彳）=尤+3+。,彳?1,5]

X

I.當(dāng)。＜0時，函數(shù)尤）顯然單調(diào)遞增，

所以+〃無LX=5+]+8,

1+Q+Z?N2a+b>1

rTa5

由題意可得5+—na=>1—?<b<——a>—,

-+b<054

15

這與。矛盾，故舍去；

IL當(dāng)〃>0時，/(%)=x+4+b在僅,單調(diào)遞減，1份,+8)單調(diào)遞增,

①.當(dāng)a>25時，即&>5,所以1mx=〃l)=l+a+6,1nhi=/(5)=5+\+6

1+Q+Z?W5a+b<4

由題意可得a,°=>—3-—一

5+—+b>2-+b>-354

515

這與。>25矛盾(舍去).

②.當(dāng)10〃《25時，即

所以〃x)max=max{/(l),/(5))=max^l+a+b,5+^+b

1+a+Z?W5b<4-a

=2^fa+b,由題意得<5+—+Z?<5^><b^——,a.當(dāng)5vaK25時，止匕時4—a<—,，

5