人教版八年級數(shù)學(xué)上冊全等三角形《角平分線的性質(zhì)》示范教學(xué)課件

12.3角的平分線的性質(zhì)12.3.1角的平分線的性質(zhì)

人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第十二章

全等三角形

小明家剛好位于兩條公路所成角的平分線上，現(xiàn)在小明要步行到公路上坐車去兩條公路交匯處的超市。問題1：他該怎樣走到公路1最節(jié)省時(shí)間呢？到公路2呢？助人為樂公路2公路1問題2：你知道走哪條路最

近嗎？超市

用紙剪一個(gè)角，把紙片對折，使角的兩邊疊合在一起，把對折后的紙片繼續(xù)折一次，折出一個(gè)直三角形（使第一次的折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕.動手與操作趣味折紙公路2公路1超市=數(shù)據(jù)收集PDPE第一位同學(xué)第二位同學(xué)第三位同學(xué)…觀察表格中的數(shù)據(jù)說說你有什么發(fā)現(xiàn)？重大發(fā)現(xiàn)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

當(dāng)真如此嗎？公路2公路1超市驗(yàn)證猜想幾何模型21OABP你能用所學(xué)過的方法證明PA=PB嗎？證明：∵

OP是∠AOB的平分線∴∠1=∠2在△OAP和△OBP中∠1=∠2（已證）∴△OAP≌△OBP（AAS）∴PA=PB（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵

PA⊥OA于A，PB⊥OB于B∴∠OAP=∠OBP=90°∠OAP=∠OBP（已證）OP=OP（公共邊）探究結(jié)果角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∵OP平分∠AOB∴PD=PE.幾何語言：

一平分兩垂直得相等（角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）AOBPED例1已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.BAEDCF【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再根據(jù)HL證△BED≌△CFD,從而得到EB=FC.證明：∵AD是∠BAC的平分線，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.BAEDCF直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處【解析】由于沒有限制在何處選址,根據(jù)題目要求到三條公路的距離相等，中轉(zhuǎn)站需在內(nèi)、外角的平分線的交點(diǎn)處，即A、B、C、D處各有一個(gè).ADCB例2DABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面積；D（2）求?PDB的周長.·AB·PD=28.解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD

⊥AB,由角平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，.例3（2）在Rt△APC和Rt△APD中，

PC=PD，AP=AP，∴Rt△APC≌Rt△APD(HL)，∴AC＝

AD=

BC.隨堂訓(xùn)練1.

用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等AABONMC2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

∵AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，

解得AC＝3.F3.如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等.ABCPEFGMN證明：過點(diǎn)P作PF、PE、PG分別垂直于AB、

BC、CA，垂足分別為F、E、G,∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，

∴PF=PE.（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PG.∴PF=PE=PG.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等.變式：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ4.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴