2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第一章 集合、常用邏輯用語與不等式

第一章

集合、常用邏輯用語與不等式

第一節(jié)集合

［學(xué)習(xí)要求］1.通過實(shí)例了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.理解集合之間

包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含

義，能用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.

雪必備知識E瑞在?

［知個(gè)梳理］

知識點(diǎn)集合

1.集合的含義與表示

元素與一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總述叫做集合

集合的含義（簡稱為集）

集合中元素

確定性、互異性、無序性

的特征

集合的

列舉法、描述法和圖示法

表示方法

特定集合

正整數(shù)集N*或N+，自然數(shù)集N,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實(shí)數(shù)集R

的記法

元素與集合

“屬于”或“不屬于”，記為“旦”或“生”

之間的關(guān)系

2.集合間的基本關(guān)系

關(guān)系自然語言符號語言記法Venn圖

集合”中任意一個(gè)元素都是

AJB或

子集集合3中的元素，就稱集合

xGB

/為集合3的子集或

A之B,

集合/是集合2的子集，且

A麋B

(&)

真子集集合B中至少有一個(gè)元素不且為金

在集合/中或阻/

B,x^A

續(xù)表

關(guān)系自然語言符號語言記法Venn圖

集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的

A7B,

元素，同時(shí)集合8的任何一個(gè)元素都

集合相等

A=B

是集合/的元素，那么集合/與集合

且3R4

2相等

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)(/Cig)QA,(/H3)QB,AC\B=B^A,AQB^A^A^B,/Cl0=0.

(2)(NUB),B三(4U8),A'JB=B^A,AUB=B=4三B,ALl0=A.

(3)CuU=0,C?=U,Cu(CuA)=A,AU(C4)=U,AH(C4)=0,Cu?？?)

=(QM)u(C㈤，CuC4U2)=(CM)c(C㈤.

學(xué)生用書I第2頁

[小敢馀曲]

1.（多選）已知集合4={x|x￡R},b=2則（）

A.q￡AB.Q+4C.b^AD.b^A

答案：BC

解析：由g>，n=2平，可得a生/;由2避<24，可得6G4

2.（2024?北京模擬）己知全集。=&|-3<x<3},集合/={x|0<尤<2},則（:必=

（）

A.（0,2）

B.（_3,0）U（2,3）

C.（—2,0）

D.（_3,O]U[2；3）

答案：D

解析：全集U={x|-3<x<3},集合/={x|0<x<2},

由補(bǔ)集定義可知：C〃={xI—3<xW0或2Wx<3},即C/=（一3,0]U[2,3）.

3.已知集合/={0},3={-1,0,1}.若則符合條件的集合C的個(gè)數(shù)為

（）

A.lB.2C.4D.8

答案：C

解析：由題意知含有元素0且是集合2的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-

1,1）,即符合條件的集合C共有4個(gè).

4.（2021?全國乙卷）已知集合S={s|s=2"+l,〃ez},T={t\t=4n+lf〃GZ},則

snr=（）

A.0B.S

C.TD.Z

答案：c

解析：依題知在S,則SC7=7.

國關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一集合的含義與表示

［例1］(1)(2024?海南海口模擬)已知集合4=卜卜62,六ez),則集合4中的元

素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

(2)(多選)已知集合〃={1,m+2,加2+4},且5G",則加的可能取值為(

A.lB.-lC.3D.2

［答案］(1)c(2)AC

3

［解析］(1)因?yàn)閤GZ,且二ez,所以2-X的取值有-3,-1,1,3,所以X的值分

別為5,3,1,-1,故集合力中的元素個(gè)數(shù)為4.

(2)因?yàn)?G所以加+2=5或加2+4=5,解得加=3,或加=1,加=一1.當(dāng)"2=3

時(shí)，M={\,5,13),符合題意；當(dāng)加=1時(shí)，M={1,3,5),符合題意；當(dāng)加=—1時(shí)，

M=［1,1,5},不滿足集合中元素的互異性，不成立，所以加=3或%=1.

I方法總結(jié)I

確定集合的注意點(diǎn)

1.研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看

集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.

2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的

元素是否滿足互異性.

□跟蹤訓(xùn)練

1.(2024?江蘇泰州模擬)已知集合/={0,1,2,3,4},B={(x,y)|x^A,y^A,x

-y^A},則8中所含元素的個(gè)數(shù)為（)

A.5B.6C.10D.15

答案：D

角翠析：因?yàn)閤G/,y^A,x-y^A,

所以分以下5種情況:

①X—y=l,有四個(gè),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3);

②x—>=2,有三個(gè),(2,0),(3,1),(4,2);

@x—y=3,有兩個(gè),(4,1),(3,0);

④x—y=4,有一個(gè),(4,0);

⑤x—y=0,有五個(gè),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

綜上，2中所含元素的個(gè)數(shù)為15.

2.（2024?山東濟(jì)南模擬）已知集合/={.X,了+1,一1}中的最大元素為2,則實(shí)數(shù)X

答案：1

'1\23

解析：因?yàn)?+1一%―2)+,>0,所以N+i>x,所以N+I=2,解得％=1或1

1,

顯然工=—1不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗(yàn)X=1符合題意.

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

[例2]（1）己知集合/={0,1,網(wǎng)，2={i,o,3“一2},若4=2,則。等于（）

A.1或2B.-1或一2

C.2D.1

(2)(2023?新高考H卷)設(shè)集合/={0,-a],3={1,a-2,2a—2}.若415,則a

2

A.2B.lC.3D.-l

(3)已知集合4=仕|—2WxW5},5={x|加+1WXW2加一1}.若則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為.

［答案］(1)C(2)B(3)(—8,3］

［解析］(1),?,A=B,

???3q—2=q2,解得a—1或a=2.

當(dāng)q=l時(shí)，集合4={0,1,1),不滿足集合中元素的互異性，故舍去；

當(dāng)q=2時(shí)，集合/={0,1,4),集合5={1,0,4),符合題意，所以〃=2.

(2)若〃一2=0,貝I|Q=2,此時(shí)Z={0,-2),B=［l,0,2},不滿足ZR5;若2Q—2

=0,則〃=1,此時(shí)Z={0,-1},B={1,-1,0},滿足所以〃=1.

(3)因?yàn)?&4,所以分以下兩種情況：

①若B=。,則2冽一1〈冽+1,此時(shí)加V2;

f2m_l>m+1

②若8W0,則，爪+12-2,解得2W"?W3.

2m-1<5，

由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(一8,3］.

I方法總結(jié)I

1.子集個(gè)數(shù)的求解方法

將集合的子集一一列舉出來，從而得到子1集的個(gè)數(shù)，適用于集合中元素個(gè)數(shù)

窮舉法

較少的情況

含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是211,真子集的個(gè)數(shù)是2n—1,非空真子集的

公式法

個(gè)數(shù)是2匚2

2.已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

參數(shù)滿足的條件，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖或圖象幫助分析，同時(shí)還要

注意空集分類討論等情況.

學(xué)生用書1第3頁

內(nèi)跟蹤訓(xùn)練

3.已知集合幺={1,2,3,5,10},8={x|x為質(zhì)數(shù)},則的非空子集的個(gè)數(shù)為

()

A.4B.7C.8D.16

答案：B

解析：法一：因?yàn)?="，2,3,5,10},2={x|x為質(zhì)數(shù)},所以/^2={2,3,5),

/A3的非空子集為⑵，{3},⑸，{2,3},{2,5},{3,5},{2,3,5},共7個(gè).

法二：因?yàn)?={1,2,3,5,10},2={x|x為質(zhì)數(shù)},所以/C3={2,3,5),共有3個(gè)

元素.故非空子集的個(gè)數(shù)為23—1=7.

4.已知集合/=卜卜=2k+1,kEzj,5=^x|x=—^―；kez},貝［j()

A.AJBB/C8=0

C.A=BD.ADB

答案：A

AT,?,6n+1

解析：當(dāng)左=3〃時(shí)，,?ez.

2(3n+l)+16n+3_

當(dāng)k=3n-\-1時(shí)，x=2=-3—,

2(3n+2)+16n+5_

當(dāng)左=3〃+2時(shí)，x=2=~~§,nGZ,

所以“

6n+16n+36n+5)

Wx=-3一,或%=―3-,或%=—3—,

,(I6fc+1)_

因?yàn)?="卜=-3

5.(2024?九省聯(lián)考測試)已知集合/={—2,0,2,4},B={x\\x-3\W加}.若AG5=

A,則別的最小值為.

答案：5

解析：已知?jiǎng)tN=

,:B={x||x—3|,

■-B—{x|3—mW無W3+m},

f3+m>4,

■J3—m<-2；

二加》5,.,?〃?min=5.

考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

⑥角度(一)集合的基本運(yùn)算

［例3］(1)(2023?新高考倦)己知集合加={-2,-1,0,1,2},N={尤|N—工一

620},則MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

(2)(2023?全國甲卷)設(shè)全集U=Z,集合M={xIx=3bH,左GZ},N={x\x=3k+

2,左GZ},貝(IC。(MUN)=()

A.{xIx—3k,左ez}B.{xIx—3k~1,左ez}

C.{xIx=3k——2,左GZ}D.0

［答案］(1)C(2)A

［解析］(1)由x2—x—620,得x23或無W—2,；.N={xIx>3,或xW—2},因此

MCN={-2}.

(2)???〃={xIx=3左+1,左GZ},N={x|x=3左+2,k^Z］,

.?.MUN={xIx=3左+1,或x=3左+2,左GZ}.

又U為整數(shù)集，

???Cu(MUN)={xIx=3k,左GZ}.

I方法總結(jié)I

解集合運(yùn)算問題的三個(gè)注意點(diǎn)

_看元素構(gòu)成，集合中元素是數(shù)還是有

一序數(shù)對,是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值

—對集合進(jìn)行化簡，通過化簡可以使問

「題變得簡單明了_______________

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，集合運(yùn)算

匚常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系

和Venn圖

⑥角度(二)利用集合運(yùn)算求參數(shù)或參數(shù)的范圍

［例4］(1)(2020?全國I卷)設(shè)集合4=a|N—4W0},B={x\2x+a^0},且

(x|—2WxWl},則〃=()

A.-4B.-2

C.2D.4

(2)設(shè)2={-4,2a~1,a2},B={a~5,l-a,9}.已知/G5={9},則a

=,AUB=.

［答案］(1)B(2)-3{-7,-4,-8,4,9}

［解析］(1)A={x|—2WxW2},

8=卜卜<—胃.

由/G3={x|—,知一5=1,所以a=12.

(2)因?yàn)?n5={9},所以9￡4,

所以a2=9或2a~1=9,解得a—±3或q=5.

當(dāng)a=3時(shí)，A={—4,5,9},B={-2,—2,9),3中元素不滿足集合元素的互異性，舍

去.

當(dāng)a=—3時(shí)，/={—4,-7,9},B={—8,4,9},/AB={9}滿足題意，故/U8={—

4,-7,-8,4,9).

當(dāng)q=5時(shí)，4={—4,9,25},B=［0,—4,9),此時(shí)4G5={-4,9},與405={9}

矛盾，故舍去.

綜上所述，a=—3,NU3={—7,-4,-8,4,9}.

I方法總結(jié)I

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法

1.與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值的取舍.

2.若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程

（組）求解.

注意：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證（滿足集合中元素的互異性

國跟蹤訓(xùn)練

6.（2022?新高考II卷）6知集合1,2,4},B={x\\x-l\W1},則/03=

（）

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案：B

解析：由Ix—1|得0WxW2,則8={x|0WxW2},

：.A^B={1,2}.

7.（2024?河南焦作模擬）若集合/={xI2N—9x>0},B={x\x>2},則（CR/）U5=

（）

A[2,f]B.0

C.[0,+8）D.（0,+8）

答案：c

解析：因?yàn)閆={x|2%2—9x>0}=卜卜>[,或％<0}，

所以CR/=1%[O<%<3.又8={xIx22},所以（CR/）UB=[O,+°°）.

8.(多選)已知集合4={x|x+lWO},3={x|X2Q}.若ZU8=R,則實(shí)數(shù)a的值可以為

()

A.2B.-l

C.OD.-2

答案:BD

解析：??,/={x|xW—l},B=[x|x^a},且/U5=R,"W—l,.?,實(shí)數(shù)Q的值可以為一

1,—2.

考點(diǎn)四與集合有關(guān)的新定義問題

[例5](1)(2024?云南保山模擬)定義集合運(yùn)算：4+5={z|z=%+y,xEAfyeB},

設(shè)Z={1,2},5={1,2,3},則集合Z+5的所有元素之和為()

A.14B.15

C.16D.18

(2)(多選)(2024?湖南邵陽模擬)若對任意xe/,則稱/為“影子關(guān)系”集

合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是()

A.{—1,1}B.g,2)

C.[x|x2>1}D.{x|x>0]

[答案](1)A(2)ABD

[解析](1)由題設(shè)知/+8={2,3,45),

.?.所有元素之和為2+3+4+5=14.

(2)根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，

可知{—1,1},2),{x|x>0}為“影子關(guān)系”集合，

由>1},得{%,<_1或X>1},當(dāng)X=2時(shí)，>1],故不是"影子關(guān)系"集合.

學(xué)生用書1第4頁

I方法總結(jié)I

解“新定義”題的方法

“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后

根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定

義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”

不一定是“難題”，掌握好基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.對于新定義問題，可恰當(dāng)

選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.

自跟蹤訓(xùn)統(tǒng)

9.(2024?湖南長沙模擬)定義集合/+3=印=親xeX”時(shí).己知集合/={4,8),B

={1,2；4),則4+8的元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

答案：B

解析：因?yàn)?={4,8),3={1,2,4),

所以/+8={1,2,4,8},故N4-8的元素的個(gè)數(shù)為4.

10.(2024?安徽蚌埠模擬)對于數(shù)集/,B,定義N+5={x|x=a+'a6力，beB),

A^B={x^x=l，a^A,beg}.若集合/={1,2),則集合(4+4)+/中所有元素之和為

()

1015

A-TBT

2123

C.-YD.^~

答案：D

解析：根據(jù)新定義，數(shù)集4,B,定義4+5={%]%=a+b,aEZ,beB},A-i-B={x

卜=石，a^A,bGB},集合/={1,2},4+4={2,3,4},+/)4~4={1,2,3,4,,

23

,則可知所有元素的和為彳.

［例］(1)(多選)圖中陰影部分所表示的集合是()

A.MDQJN

B.NGCW

C.MGQ/(NnM)

D.&MW&N)

(2)(2024?湖北黃岡模擬)已知全集為U,集合M,N滿足則下列運(yùn)算結(jié)果

為。的是(

A.MUNB.(C^)U(CyM)

C.MU?N)D.NU(C?M)

［答案］(1)AC(2)D

［解析］(1)如圖，

對于A,④,則A/nc〃V=④，故A正確;

對于B,(:的二①十②，則NCCW=②，故B錯(cuò)誤;

對于C,③，Cu（MnN）=①+②+④，故MnCu（NnM）=④，故C正確;

對于D,（（:/加（（：m）=①，故D錯(cuò)誤.

（2）全集U,集合M,N漏RMJN三U,繪制Venn圖，如圖所示.

對于A:MUN=N,A錯(cuò)誤;

對于B：(CUN)U(CUM=C",B錯(cuò)誤;

對于C:MU（Cy/V）cu,C錯(cuò)誤；

對于D:NU&M）=U,D正確.

I方法總結(jié)I

利用Venn圖可以迅速地解決多個(gè)集合之間的關(guān)系及運(yùn)算問題，需要引起重視.

門跟蹤訓(xùn)練

1.（2024?江西南昌模擬）已知全集。=11,集合/={1,2,3},集合8={0,2,3,4）,

則圖中的陰影部分表示的集合為（）

A.{2,3}B.{0}

C.{4}D.{0,4}

答案：D

解析：根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義，圖中的陰影部分表示的集合為8n（C牌），即8c（ca）=

{o,2,3,4}n{x|x^15X豐2,x13}={o,4）.

2.調(diào)查了100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對于

既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說法正確的是（）

A.最多人數(shù)是55B.最少人數(shù)是55

C.最少人數(shù)是75D.最多人數(shù)是80

答案：B

解析：設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集/,其中帶感冒藥的人組成集合帶胃藥

的人組成集合A

又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x,則xd[0,20],以上兩種藥都帶的人數(shù)

為y.

根據(jù)題意畫出Venn圖，如圖所示，由圖可知，》+75+80—>=100,

?,少=55+x.：0W無W20,

；.55WyW75,故最少人數(shù)是55.

學(xué)生用書1第269頁

用課時(shí)作業(yè)面匕

[A組基礎(chǔ)保分練]

1.設(shè)集合4={0},B={2,加},且4UB={—1,0,2},則實(shí)數(shù)加=()

A.-lB.1

C.OD.2

答案:A

解析：以=⑻，B={2,m],且4U5={-1,0,2),

—1e5,：.m=-l.

2.(2022?全國甲卷)設(shè)集合/={-2,-1,0,1,2),5=(%|0<%<|},則/ng=

()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}

C.{0,1}D.{1,2}

答案：A

解析：集合/中的元素只有0,1,2屬于集合8,

所以/C8={0,1,2}.

3.(2022?北京卷)已知全集。=氏|-3<x<3},集合/={無|一2<啟耳,則C〃=

()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

答案：D

解析：法一：因?yàn)槿疷=(—3,3),A=(-2,1],

所以CV=（—3,-2]U(1,3).

法二：因?yàn)?G/,所以1生C4，可排除A選項(xiàng)和B選項(xiàng)；0GN,所以0缸以，可排除C

選項(xiàng).

4.(2023?北京卷)已知集合〃=仕Ix+220},N={x|x-l<0},則()

A.{x|—2Wx<1)B.{x|—2<xWl}

C.{x|龍》一2}D.{x|x<1}

答案：A

解析：由題意,M={x|x+2^0]=[x|x^—2],N={x|x—1<0}={x\x<l},

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，M^N={x|—2Wx<l}.

5.已知集合/={xdN*|N—3x—4<0},則集合力的真子集有（）

A.7個(gè)B.8個(gè)

C.15個(gè)D.16個(gè)

答案：A

解析：,?,集合/={xGN*|.d一3x—4<0}={xGN*|—l<x<4}={1,2,3},

集合力中共有3個(gè)元素，

.,.真子集有23—1=7（個(gè)）.

6.（2023?天津卷）已知集合。={1,2,3,4,5},/={1,3},8={1,2,4）,則

（S）UN=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}

C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

答案：A

解析：由題意知C#={3,5},二/U（CuB）={1,3,5}.

7.（多選）滿足{1,3}U4={1,3,5}的集合N可能是（）

A.{5}B.{1,5}

C.{3}D.{1,3}

答案：AB

解析：由{1,3}U/={1,3,5}知，AQ[1,3,5],且/中至少有1個(gè)元素5.

8.（多選）已知集合/={x|x>—l,x￡R},8={x|x2-x-220,xGR},則下列關(guān)系

中錯(cuò)誤的是（）

A.A^BB.CR/UCRB

C./n2=0D./U5=R

答案：ABC

解析：?；/=（—1,+°°）,B=（——1]U[2,+°°）,

.?./U8=R,D正確，其余選項(xiàng)均錯(cuò)誤.

9.(2024?浙江臺州模擬)若全集。={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},則Cu

(MUN)=.

答案：{4}

解析：?.?全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},2,3),

：.Qu(MUN)={4}.

10.已知集合{1,a,§={0，a2,a+b],則.2023+62024=,

答案：一1

b

角星析：易知Q#0,-=0,即6=0,

所以。2=1,即。=±1.

又由集合中元素的互異性，知QWI,所以。=一1,

故。2。23+爐024=(-1)2023+02024=-le

1L已知集合4={X|N+2辦+2a〈o},若4中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的值為.

答案：0或2

解析：???集合4={x|N+2qx+2qW0},4中只有一個(gè)元素，.必=442—8Q=0,解得Q=0

或q=2,.?.實(shí)數(shù)q的值為0或2.

12.已知集合/={%|x—aWO},B={1,2,3}.若4G5W。，則a的取值范圍為.

答案:[1,+8)

解析：集合Z={X|XWQ},集合B={1,2,3},若則1,2,3這三個(gè)元素至

少有一個(gè)在集合力中，若2或3在集合4中，則1一定在集合4中，因此只要保證

即可，所以QEL

13.(2024?河南鄭州模擬)已知集合4={%EN1%=?,1<m<105m,nEN}有15個(gè)

真子集，則m的一個(gè)值為.

答案：6(或8,或10,填其中一個(gè)即可)

解析：由集合4={%EN1%=?,1<m<10?m,nEN}

有15個(gè)真子集，

得集合4中含有4個(gè)元素，則加有4個(gè)因數(shù)，則除1和它本身加外，還有2個(gè)因數(shù)，

所以冽的值可以為6,8,10,故機(jī)的一個(gè)值為6(或8,或10).

14.已知集合Z={x|N=4,x￡R},B={x\kx=4,x￡R}.若B&Z,則實(shí)數(shù)左=.

答案：0,2,—2

解析：4={x|N=4,x￡R}={-2,2}.因?yàn)樗?=0,或5={2},或5={—

2],或5={—2,2).

因?yàn)榉匠藺x=4最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根，因此分類討論如下：當(dāng)5=0時(shí)，方程b=

4無實(shí)根，所以左=0;

當(dāng)5=⑵時(shí)，2是方程6=4的實(shí)根，故2左=40左=2;

當(dāng)5={—2}時(shí)，一2是方程h=4的實(shí)根，故一2左=4=左=一2.綜上可知，實(shí)數(shù)左=0,2,

-2.

[B組能力提升練]

15.已知集合〃={(x,歹)|y=3x2},N={(x,y)\y=5x},則AfGN中的元素個(gè)數(shù)為

()

A.OB.1

C.2D.3

答案：C

=3x'x=0,

解析：由因此MGN中的元素個(gè)數(shù)為2.

=5%

16.已知集合/=￡,1；2,3),則具有性質(zhì)“若xe/,貝葉e/”的/的所有非空子集

的個(gè)數(shù)為()

C.15D.31

答案：B

1

解析：滿足且或￡4”的力的非空子集為{1},

（I,4（I,3},L1.2},1,3},12,3},L1.2,3）,共7個(gè).

17.已知全集。=/U3中有加個(gè)元素，（QuA）U（C〃）中有〃個(gè)元素.若/C2是非空集

合，則NC8的元素個(gè)數(shù)為（）

K.mnB."z+"

C.n—mD.加一〃

答案：D

解析：因?yàn)椋–u4）U（CuB）中有〃個(gè)元素，如圖中陰影部分所示，又。=

4U5中有冽個(gè)元素，故4r15中有（冽一〃）個(gè)元素.

18.（多選）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14,10,8.若這三天中至

少有一天開車上班的職工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)可能是（）

A.5B.6

C.7D.8

答案：AB

解析：如圖所示，（Q+6+C+X）表示周一開車上班的職工人數(shù)，（b+d+e+x）表示周

二開車上班的職工人數(shù)，（c+e+f+x）表示周三開車上班的職工人數(shù)，x表示這三天都開

車上班的職工人數(shù).

周三

。+5+。+%=14

b_|_d+e_|_x=10,

則c+e+f+%=8,

a+b+c+d+e+/+%=20

?，

(a+2b+2。+d+2e+/+3%=32

得|a+b+c+d+e+f+x=20,'得6+c+e+2x=12,當(dāng)b=c=e=0時(shí)，x取得最

大值6,則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是6.

19.設(shè)集合U={(x,y)|xGR,yGR},A={(x,y)\2x~y+m^0},B={(x,

y)|x+y—">0}.若點(diǎn)P(2,3)GNC(C〃)，則機(jī)+〃的最小值為.

答案：4

解析：A={(x,y)|2x~y+m^Q],QuB={(x,y)|x+y—〃W0},

由于P(2,3)G/C(CuB),所以

[2x2_3+m>0(m>-1

[2+3_n<0；解得[nN5,'

所以加+〃24,即加+〃的最小值為4?

20.定義尸OQ={z|z=必+1xEP,已知尸={0,-2},0={L2},則尸00

答案：［1,-1,-1}

解析：X,y取不同值時(shí)z的值如下表所示.

學(xué)生用書1第5頁

第二節(jié)常用邏輯用語

［學(xué)習(xí)要求］1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件、必要條件、充要條件的意

義，理解性質(zhì)定理與必要條件、判定定理與充分條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.通

過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確使用全稱量詞命題、存在

量詞命題進(jìn)行否定.

國必備知識■望不壽普

［加銅梳理］

知識點(diǎn)一充分條件、必要條件與充要條件

t己p：xGN,q-.xGB,貝!J

p是q的充分條件PMA￡B

p是q的必要條件qnpA=B

p是q的充要條件p=>q且q0PA=B

p是q的充分不必要條件p=q且q=>/pA^B

p是q的必要不充分條件p=>/q且q0PA吆B

p是q的既不充分也不必要條件p=>/q且/p

q=/不包含于3且4不包含B

知識點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞

量詞名稱常見量詞表示符號

全稱量詞所有、一切、任給、全部、每一個(gè)等V

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、對某些、有的等3

2.全稱量詞命題、存在量詞命題及含一個(gè)量詞的命題的否定

命題

語言表示符號表示命題的否定

名稱

全稱

對Af中任意一個(gè)％,p

量詞YxGM,p(x)3x￡(x)

（X）成立M,

命題

續(xù)表

命題

語言表示符號表示命題的否定

名稱

存在

存在”中的某個(gè)元素

(x)

量詞pVx￡M,(x)

X,p（X）成立

命題

[a強(qiáng)珍斯]

1.命題“VaGR,一元二次方程x2—ax—1=0有實(shí)根”的否定是（）

A.Wa生R,一元二次方程N(yùn)—ax—1=0沒有實(shí)根

B.3aeR,一元二次方程x2—ax—1=0沒有實(shí)根

C.3a￡R,一元二次方程x2—ax—1=0沒有實(shí)根

D.maGR,一元二次方程爐一辦一1W0沒有實(shí)根

答案：C

解析：根據(jù)全稱量詞命題的否定形式可知，命題“V°eR,一■元二次方程無2一辦一1=0有

實(shí)根”的否定是'勺aGR,一元二次方程/一?一1=0沒有實(shí)根”.

2.已知條件p：x>l,條件q：x22,則/是1的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C,充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：B

解析：■{尤Ix22}5{x|x>l},卬是q的必要不充分條件.

3.（2024?天津模擬）命題px<-l,則命題〃的一個(gè)充分不必要條件為（）

A.x<—1

B.x<2

C.-8<x<2

D.-10<x<-3

答案：D

解析：由于一3=x<—1,反之不成立，所以命題。的一■個(gè)充分不必要條件為一

10<x<-3,其他選項(xiàng)均不符合.

學(xué)生用書1第6頁

，關(guān)鍵能力鼎相融1

考點(diǎn)一充分條件、必要條件及充要條件的判斷

⑥角度（一）定義法判斷充分、必要條件

[例1]（1）（2023?天津卷）“層=〃”是。2+62=2"”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列｛四｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S,”設(shè)甲：q>0,乙：｛S,,｝

是遞增數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

［答案］(1)B(2)B

［解析］(1)由。2=〃，得|°|=|6|；

由a2+b2—2ab,得(a-b)2—0,??a—b.

a=bn\a\=\b\,而由|a|=|6|不能推出a=b,

二"&2=按”是".2+62=2"”的必要不充分條件.

(2)當(dāng)g=l,的<0時(shí)，等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和S“=〃ai<0,可知｛S”｝是單調(diào)遞減數(shù)

列，因此甲不是乙的充分條件；

若｛&｝是遞增數(shù)列，則當(dāng)"22時(shí)，a“=S"—S〃—1>0,即0口”-1>0恒成立，而只有當(dāng)白>

0,?>0時(shí)，°口"-1>0恒成立，所以可得4>0,因此甲是乙的必要條件.綜上，甲是乙的

必要條件但不是充分條件.

⑥角度(二)集合法判斷充分、必要條件

［例2］設(shè)XGR,則“無2—5x<0”是“l(fā)x—1|<1"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］由N一5x<0可得0cx<5.由|x—1|<1可得0<x<2.由于區(qū)間(0,2)是

(0,5)的真子集，故“N—5》<0”是“|x—1|<1"的必要不充分條件.

I方法總結(jié)I

1.充分、必要條件的判斷方法

直接判斷“若P，則q”“若q,則力”的真假.在時(shí)，確定條件是

利用定義判斷

什么、結(jié)論判斷是什么

從集合的角度判斷利用集合中包含關(guān)系判定，即可解決充分、必要性的問題

2.不能將“若p,貝Uq”與“p-q"混為一談，只有“若力，則為真命題時(shí)，才有“力

一q"，即“。一一“若力，則為真命題.

日跟蹤訓(xùn)練

1.若集合/={》|N—5x+4<0},B={x\|x-a\<1},則（2,3）”是“BIN”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：A=[x|l<x<4},B={x|a-\<x<a+\].

fa_1>1

■■BQA,.-.L+x<4即2WaW3.

（2,3）72,3],

:“aG（2,3）”是“BEA”的充分不必要條件.

2.如果x,y是實(shí)數(shù)，那么"xWy"是"cosxWcosy”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案：C

解析：設(shè)集合/={(x,y)|x壬y},B—{(x,y)IcosxWcosy},則/的補(bǔ)集C=

{(x,y)|x—y］,2的補(bǔ)集。={(x,>)|cosx=cosy},顯然C￡D,所以.于是

"x壬y"是''cosxWcosy”的必要不充分條件.

3.(