中考數(shù)學(xué)幾何專項沖刺專題25軌跡、路徑類綜合練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

軌跡、路徑類綜合練習(xí)（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長為（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm2．半圓柱底面直徑BC是高AB的兩倍，甲蟲在半圓柱表面勻速爬行，若沿著最短路徑從B經(jīng)E到D（E是上底面半圓中點），則甲蟲爬行過程中離下底面的高度h與爬行t之間的關(guān)系用圖象表示最準(zhǔn)確的是（）A． B． C． D．3．棱長分別為8cm，6cm的兩個正方體如圖放置，點A，B，E在同一直線上，頂點G在棱BC上，點P是棱E1F1的中點．一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到點P，它爬行的最短距離是（）A．(35+10)cm B．513cm C．4．如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，點M在棱AB上，且AM＝2cm，點N是FG的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為（）A．10cm B．45cm C．62cm D．213cm5．一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）A．20 B．25 C．30 D．326．如圖，在矩形ABCD中，AB=33，AD＝9，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，將矩形ABCD沿BP折疊，得到△A1PB，連接A1C，取A1C的三等分點Q（CQ＜A1Q），當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿邊AD運動到點D時停止運動，點QA．π B．23π C．437．如圖，MN是⊙O的直徑，弦AB∥MN，點C是直徑MN上方半圓上的動點（包括端點M，N），∠ACB＝60°，∠ACB和∠CAB的平分線相交于點E，當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C，E兩點的運動路徑長的比值是（）A．2 B．32 C．2 D．8．如圖，正方形ABCD的邊長為3，將長為23的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動．如果點Q從點A出發(fā)，在AB上滑動，同時點F在BC上滑動，當(dāng)點F到達點C時，運動停止，那么在這個過程中，線段QF的中點M所經(jīng)過的路線長為（）A．62 B．32?62 二．填空題9．如圖，長方體的棱AB長為3，棱BC長為4，棱BF長為2，P為CG中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，在長方體表面爬到點P處吃食物，那么它爬行的路程是．10．如圖．長方體的底面是邊長2cm的正方形，高為6cm．如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達B，那么所用細線最短需要cm．11．如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高MN＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走m的路程．12．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為15cm的圓盤，如圖所示，AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么該小朋友將圓盤從A點滾動到D點，其圓心所經(jīng)過的路線長為cm．13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一個點從原點O出發(fā)，按向右→向上→向右→向下的順序依次不斷移動，每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移到點A1，第二次移到點A2，第三次移到點A3，…，第n次移到點An，則點A2019的坐標(biāo)是．14．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，點P為CD的中點，若點D在圓上逆時針運動的路徑長為53π，則點P運動的路徑長為15．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，作點A關(guān)于直線BP的對稱點A1，連接A1C，設(shè)A1C的中點為Q，當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿邊AD運動到點D時停止運動，點Q的運動路徑長為三．解答題16．如圖，長方體的長AB＝5cm，寬BC＝4cm，高AE＝6cm，三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度從點A出發(fā)到點G處．螞蟻甲的行走路徑S甲為：翻過棱EH后到達G處（即A→P→G），螞蟻乙的行走路徑S乙為：翻過棱EF后到達G處（即A→M→G），螞蟻丙的行走路徑S丙為：翻過棱BF后到達G處（即A→N→G）．（1）求三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是多少？（2）三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷哪只最先到達？哪只最后到達？17．（1）根據(jù)所給的條件，求圖1中BC邊的長度．（2）如圖2所示，圓柱形玻璃容器，高18cm，底面周長為60cm，在外側(cè)距下底1cm，點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度．（畫出相應(yīng)圖形，并解答）18．如圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖2的正方體，一個螞蟻在圖1中的A點，圍成圖2后，螞蟻從A點開始沿正方體的棱爬行，求爬到B點的最短距離是多少？19．如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5cm和7.5cm的圓，母線AB的長為15cm．（1）求杯子的側(cè)面積．（2）從點B出發(fā)，繞著杯子兩圈畫一條裝飾線，終點為A，求裝飾線的最短長度．20．如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形，點C，D在邊AB上，且AC＝DB＝1，點P是線段CD上的動點，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F(xiàn)分別為MN，QR的中點，連接EF，設(shè)EF的中點為G，求當(dāng)點P從點C運動到點D時，點G移動的路徑長．21．如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部．（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC＝9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長．22．如圖，AB是⊙O的直徑，M，N是AB（異于點A，B）上的兩點，點C是MN上的一動點，∠ACB的平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．（1）試探究DE與AB的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)點C在⊙O從點M運動到點N時，點C的運動路徑長為l1，點E的運動路徑長為l2，求l123．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線L上，按順時針方向在L上轉(zhuǎn)動兩次使它轉(zhuǎn)到△DEF的位置，設(shè)BC=3，AC＝1，則點A運動到點D的位置時，點A經(jīng)過的路線長是多少？點A經(jīng)過的路線與直線L24．如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點（不與點C重合），過P點作PE⊥OC于點E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為M，連接OM、PM．（1）求∠OMP的度數(shù)；（2）當(dāng)點P在半圓上從點B運動到點A時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長．25．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6cm，點K在AB上，AK＝2cm，點D、E分別從點K、點A同時出發(fā)，都以1cm/s的速度沿△ABC的邊按順時針方向運動，當(dāng)D點到達A處時，D，E兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為ts．（1）已知點F在AB邊上，點G在BC邊上，且BF＝BG＝1cm，求證：當(dāng)4＜t＜5時，在D，E兩點的運動過程中，線段DE始終被線段FG平分；（2）求D，E兩點從出發(fā)到停止時，線段DE的中點R所經(jīng)過的路徑長．軌跡、路徑類綜合練習(xí)（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長為（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EG的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半，作A關(guān)于E的對稱點A'，連接A'B交EG于F，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF的長，即AF+BF＝A'B＝20cm，延長BG，過A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202∴則該圓柱底面周長為24cm．故選：D．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．2．半圓柱底面直徑BC是高AB的兩倍，甲蟲在半圓柱表面勻速爬行，若沿著最短路徑從B經(jīng)E到D（E是上底面半圓中點），則甲蟲爬行過程中離下底面的高度h與爬行t之間的關(guān)系用圖象表示最準(zhǔn)確的是（）A． B． C． D．【分析】平面展開圖如圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短可知，甲蟲的最短路線是B→E，然后在圓柱的上底面上，沿線段DE行走即可，此時甲蟲離下底面的高度h不變．由此即可判斷．【解答】解：平面展開圖如圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短可知，甲蟲的最短路線是B→E，然后在圓柱的上底面上，沿線段DE行走即可，此時甲蟲離下底面的高度h不變．由題意AE＞AB，所以在甲蟲到達E之前，離下底面的高度h是逐漸升高，圖形比較緩，故選：D．【點評】本題考查平面展開﹣最短路徑問題，函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．3．棱長分別為8cm，6cm的兩個正方體如圖放置，點A，B，E在同一直線上，頂點G在棱BC上，點P是棱E1F1的中點．一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到點P，它爬行的最短距離是（）A．(35+10)cm B．513cm C．【分析】求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷．【解答】解：如圖，有兩種展開方法：方法一：PA=14方法二：PA=17故需要爬行的最短距離是277cm．故選：C．【點評】本題考查平面展開﹣最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，點M在棱AB上，且AM＝2cm，點N是FG的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為（）A．10cm B．45cm C．62cm D．213cm【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【解答】解：如圖1中，MN=FN2+FM如圖2中，MN=MB2如圖3中，MN=PM2∵10＜237∴一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為10cm，故選：A．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有3種情況分析得出是解題關(guān)鍵．5．一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）A．20 B．25 C．30 D．32【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=B只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=BD2只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=AC2∵25＜529＜537∴螞蟻爬行的最短距離是25，故選：B．【點評】本題考查的是平面展開﹣最短路徑問題，勾股定理，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形ABCD中，AB=33，AD＝9，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，將矩形ABCD沿BP折疊，得到△A1PB，連接A1C，取A1C的三等分點Q（CQ＜A1Q），當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿邊AD運動到點D時停止運動，點QA．π B．23π C．43【分析】如圖，連接AA1，在BC取一點O，使得OC=13BC，連接OQ，BD．利用三角形的中位線定理證明OQ=3=定值，推出點Q的運動軌跡是以【解答】解：如圖，連接AA1，在BC取一點O，使得OC=13BC，連接OQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴tan∠ABD=9∴∠ABD＝60°，∵A1Q＝2QC，BO＝2OC，∵CQC∴OQ∥BA1，∴△COQ∽△CBA1，∴OQA∴OQ=13BA1=1∴點Q的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓弧，圓心角為180°﹣2∠COQ＝120°，∴點Q的運動路徑長=120?π?3故選：D．【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，MN是⊙O的直徑，弦AB∥MN，點C是直徑MN上方半圓上的動點（包括端點M，N），∠ACB＝60°，∠ACB和∠CAB的平分線相交于點E，當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C，E兩點的運動路徑長的比值是（）A．2 B．32 C．2 D．【分析】如圖，連接OB，EB．設(shè)OM＝r．證明∠AEB＝120°，利用弧長公式計算即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OB，EB．設(shè)OM＝r，∵∠ACB＝60°，作△AEB的外接圓⊙J，連接JA，JB，OJ交AB于H．當(dāng)點C在點M的位置時，∠AMB＝60°，點E在點E'的位置處，而點E'在MJ上，當(dāng)點C到點N的位置時，∠ANB＝60°，點E在點E''的位置處，而點E''在NJ上，而MG＝NJ，OM＝ON＝OJ，∴∠MJN＝90°∴點E在⊙J上運動，運動路徑的長=90?π?r180=∵點C的運動路徑的長＝πr，∴C，E兩點的運動路徑長的比值＝πr：12πr故選：C．【點評】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找點的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．8．如圖，正方形ABCD的邊長為3，將長為23的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動．如果點Q從點A出發(fā)，在AB上滑動，同時點F在BC上滑動，當(dāng)點F到達點C時，運動停止，那么在這個過程中，線段QF的中點M所經(jīng)過的路線長為（）A．62 B．32?62 【分析】求出兩種特殊位置時，∠ABM，∠CBM1的值，利用弧長公式求解即可．【解答】解：如圖，連接BM．當(dāng)點Q與A重合時，在Rt△ABF中，∵cos∠BAF=AB∴∠BAF＝30°，∵AM＝MF，∴BM＝AM＝MF=3∴∠ABM＝∠BAM＝30°，當(dāng)F1與C重合時，同法可得∠M1BC＝∠M1CB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠MBM1＝90°﹣30°﹣30°＝30°，∵BM＝BM1=3∴線段QF的中點M所經(jīng)過的路線長=30?π?3故選：C．【點評】本題考查軌跡，正方形的性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．二．填空題9．如圖，長方體的棱AB長為3，棱BC長為4，棱BF長為2，P為CG中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，在長方體表面爬到點P處吃食物，那么它爬行的路程是52．【分析】畫出圖形，利用勾股定理求出AP的長即可．【解答】解：如圖1，AP=AC2故它爬行的路程是52．故答案為：52．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，畫出圖形是解題關(guān)鍵．10．如圖．長方體的底面是邊長2cm的正方形，高為6cm．如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達B，那么所用細線最短需要273cm．【分析】如果從點如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達點B，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8和3，再根據(jù)勾股定理求出斜邊長即可．【解答】解：將長方體的側(cè)面沿AB展開，取A′B′的中點C，取AB的中點C′，連接B′C′，AC，則AC+B′C′為所求的最短細線長，∵AC2＝AA′2+A′C2，AC=73cm∴B′C′2＝BB′2+C′B2＝73，∴B′C′=73（cm∴AC+B′C′＝273（cm），答：所用細線最短長度是273cm，故答案為：273．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，用了數(shù)形結(jié)合思想．11．如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高MN＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走26m的路程．【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度不變，求出新矩形的對角線長即可．【解答】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2MN，原圖長度增加4米，則AB＝20+4＝24m，連接AC，∵四邊形ABCD是長方形，AB＝24m，寬AD＝10m，∴AC=AB2+∴螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程．故答案為：26m．【點評】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．12．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為15cm的圓盤，如圖所示，AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么該小朋友將圓盤從A點滾動到D點，其圓心所經(jīng)過的路線長為（140﹣103+5π）cm【分析】根據(jù)題意，知圓心所經(jīng)過的路線的長度為線段OO1的長度+線段O1O2的長度+圓弧O2O3的長度+線段O3【解答】解：如下圖，畫出圓盤滾動過程中圓心移動路線的分解圖象．可以得出圓盤滾動過程中圓心走過的路線由線段OO1，線段O1O2，圓弧O2O3，線段O3其中O1E⊥AB，O1F⊥BC，O2C⊥BC，O3C⊥CD，O4D⊥CD．由（1）知OO1＝AE＝（60﹣53）cm，易得Rt△O1BE和Rt△O1BF全等，∴BF＝BE＝53cm，∴O1O2＝BC﹣BF＝（40﹣53）cm．∵AB∥CD，BC與水平夾角為60°，∴∠BCD＝120°．又∵∠O2CB＝∠O3CD＝90°，∴∠O2CO3＝60°．則圓盤在C點處滾動，其圓心所經(jīng)過的路線為圓心角為60°且半徑為15cm的圓弧O2∴O2O3的長=60?π?15∵四邊形O3O4DC是矩形，∴O3O4＝CD＝40cm．綜上所述，圓盤從A點滾動到D點，其圓心經(jīng)過的路線長度是（60﹣53）+（40﹣53）+5π+40＝（140﹣103+5π）cm故答案為（140﹣103+5π【點評】本題考查了弧長公式，切線的性質(zhì)，切線長定理，解直角三角形等知識，綜合性較強．解題的關(guān)鍵是畫圓心的軌跡圖，進而理解圓心所走的路線是由哪幾段組成的．13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一個點從原點O出發(fā)，按向右→向上→向右→向下的順序依次不斷移動，每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移到點A1，第二次移到點A2，第三次移到點A3，…，第n次移到點An，則點A2019的坐標(biāo)是（1010，1）．【分析】根據(jù)圖象可得移動4次圖象完成一個循環(huán)，可先得下標(biāo)為4的倍數(shù)的點的坐標(biāo)：A4（2，0），A8（4，0）…，發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，從而可得出點A2019的坐標(biāo)．【解答】解：A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），…，∴A2019的坐標(biāo)為（2019+12即點A2019的坐標(biāo)為（1010，1），故答案為：（1010，1）．【點評】本題主要考查點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出下標(biāo)為4的倍數(shù)時對應(yīng)長度即為下標(biāo)的一半，據(jù)此可得．14．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，點P為CD的中點，若點D在圓上逆時針運動的路徑長為53π，則點P運動的路徑長為π【分析】如圖，連接OA，OB，AD，OP，OD，過點O作OH⊥AB于H．證明△OHA≌△CPO（AAS），推出OP＝AH＝3，推出點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓，求出點D旋轉(zhuǎn)的角度即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OA，OB，AD，OP，OD，過點O作OH⊥AB于H．∵AC⊥BD，∴∠DAC+∠ADB＝90°，∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，∴∠DOC+∠AOB＝180°，∵OH⊥AB，DP＝PC，∴OP⊥CD，AH＝HB=12∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，∴∠AOH+∠COP＝90°，∵∠AOH+∠OAH＝90°，∴∠COP＝∠OAH，∵∠AHO＝∠CPO＝90°，OA＝OC，∴△OHA≌△CPO（AAS），∴OP＝AH＝3，∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓，∵點D在圓上逆時針運動的路徑長為53π，設(shè)圓心角為n∴n?π?5180=∴n＝60°，∵OD，OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，∴點P的運動路徑的長=60?π?3180故答案為：π．【點評】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，作點A關(guān)于直線BP的對稱點A1，連接A1C，設(shè)A1C的中點為Q，當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿邊AD運動到點D時停止運動，點Q的運動路徑長為33π【分析】如圖，連接BA1，取BC使得中點O，連接OQ，BD．利用三角形的中位線定理證明OQ=32=定值，推出點Q的運動軌跡是以O(shè)【解答】解：如圖，連接BA1，取BC使得中點O，連接OQ，BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴tan∠ABD=AD∴∠ABD＝60°，∵A1Q＝QC，BO＝OC，∴OQ=12BA1=1∴點Q的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓弧，圓心角為120°，∴點Q的運動路徑長=120?π?3故答案為33π【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．三．解答題16．如圖，長方體的長AB＝5cm，寬BC＝4cm，高AE＝6cm，三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度從點A出發(fā)到點G處．螞蟻甲的行走路徑S甲為：翻過棱EH后到達G處（即A→P→G），螞蟻乙的行走路徑S乙為：翻過棱EF后到達G處（即A→M→G），螞蟻丙的行走路徑S丙為：翻過棱BF后到達G處（即A→N→G）．（1）求三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是多少？（2）三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷哪只最先到達？哪只最后到達？【分析】（1）將長方體展開，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，比較三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的大小，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵長AB＝5cm，寬BC＝4cm，高AE＝6cm，∴EF＝AB＝5cm，CF＝BC＝EH＝4cm，AE＝BF＝CG＝6cm，∴S甲=(AE+EF)2S乙=(AE+EH)2+GHS丙=(AB+BC)2答：三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是137cm，52cm，117cm；（2）由（1）知，S甲=137（cm），S乙＝52（cm），S丙=117（∵137＞∴螞蟻丙最先到達，螞蟻甲最后到達．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．17．（1）根據(jù)所給的條件，求圖1中BC邊的長度．（2）如圖2所示，圓柱形玻璃容器，高18cm，底面周長為60cm，在外側(cè)距下底1cm，點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度．（畫出相應(yīng)圖形，并解答）【分析】（1）利用勾股定理進行計算，即可得出BC的長；（2）把立體圖形展開為平面圖形，根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）由題可得，Rt△ABC中，BC=A（2）如圖是圓柱的側(cè)面展開圖，線段ST就是蒼蠅走的最短路線，在Rt△SFN中，∵∠SNF＝90°，F(xiàn)N＝18﹣2＝16，SN=1∴SF=SN2∴蜘蛛所走的最短路線的長度為34cm．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．18．如圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖2的正方體，一個螞蟻在圖1中的A點，圍成圖2后，螞蟻從A點開始沿正方體的棱爬行，求爬到B點的最短距離是多少？【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖與正方形的關(guān)系，正確找到點A、B的位置即可解決問題．【解答】解：將圖1中的小正方形圍成圖2的正方形后，點A、B對應(yīng)的位置如圖，所以螞蟻從點A開始沿正方體的棱爬行，爬到B點的最短距離是1．【點評】本題考查正方體平面展開圖，最短問題等知識，把展開圖圍成正方體是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．19．如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5cm和7.5cm的圓，母線AB的長為15cm．（1）求杯子的側(cè)面積．（2）從點B出發(fā)，繞著杯子兩圈畫一條裝飾線，終點為A，求裝飾線的最短長度．【分析】（1）將紙杯的側(cè)面展開，設(shè)∠O的度數(shù)是n，則根據(jù)弧長的計算公式，可得7.5π=nπ?OA180，5π=nπ?(OA?15)180，解得OA＝45（2）將兩個紙杯的側(cè)面展開圖拼接在一起，根據(jù)兩點之間線段最短，并運用勾股定理，求得裝飾線的最短長度即可．【解答】解：（1）紙杯的側(cè)面展開如圖所示：延長AB，A'B'交于點O，設(shè)∠O的度數(shù)是n，則7.5π=nπ?OA180，5π解得：OA＝45cm，n＝30°，∴BO＝45﹣15＝30cm，∴紙杯的側(cè)面展開圖的面積為：30π?452360?（2）如圖所示，將兩個紙杯的側(cè)面展開圖拼接在一起，連接BD，則BD的長度是裝飾線的最短長度．過B作BE⊥OD于E，則Rt△BOE中，OB＝30，∠BOE＝60°，∴OE＝15cm，BE＝153cm，∴DE＝45﹣15＝30（cm），∴在Rt△BDE中，BD=BE2+DE故裝飾線的最短長度為157cm．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用，畫出平面展開圖，作輔助線構(gòu)造扇形是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形，點C，D在邊AB上，且AC＝DB＝1，點P是線段CD上的動點，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F(xiàn)分別為MN，QR的中點，連接EF，設(shè)EF的中點為G，求當(dāng)點P從點C運動到點D時，點G移動的路徑長．【分析】取KH的中點H，連接AE，ET，AT，PE，PF，PT，BF，TF．想辦法證明四邊形PETF是平行四邊形，推出GP＝GT，推出G的運動軌跡是△TCD的中位線，由此即可解決問題．【解答】解：取KH的中點H，連接AE，ET，AT，PE，PF，PT，BF，TF．∵四邊形AMNP是正方形，∴AM＝MN，∠AMN＝90°∵ME＝EN，∴AMME∵四邊形AKHB是正方形，∴AK＝KH，∠K＝90°，∵KT＝TH，∴AKKT∴AMME∴AMAK∵∠AME＝∠K＝90°，∴△AME∽△AKT，∴∠MAE＝∠KAT，∴A．E．T共線，同理可證：B，F(xiàn)，T共線，∵AMME∴AMPQ∵∠AME＝∠PQF＝90°，∴△AME∽△PQF，∴∠AEM＝∠PFQ，∵AB∥MN∥QR，∴∠PAE＝∠MEA，∠BPF＝∠QFP，∴∠BPF＝∠PAE，∴PF∥AT，同法可證：PE∥BT，∴四邊形PETF是平行四邊形，∴EF與PT互相平分，即TG＝GP，∴G的運動軌跡是△TCD的中位線，軌跡的長=12CD【點評】本題考查軌跡，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．21．如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部．（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC＝9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長．【分析】（1）作∠ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O，作射線CO即可；（2）添加如圖所示輔助線，圓心O的運動路徑長為C△OO1O2，先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出∠OO1O2＝60°＝∠ABC、∠O1OO2＝90°，從而知△OO1【解答】解：（1）如圖①所示，射線CO即為所求；（2）如圖，圓心O的運動路徑長為C△O過點O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分別為點D、F、G，過點O作OE⊥BC，垂足為點E，連接O2B，過點O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分別為點H、I，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°、∠A＝30°，∴AC=BCtan30°=933=93∴C△ABC＝9+93+18＝27+93∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，∴D、G為切點，∴BD＝BG，在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，∵BD=BGO∴△O1BD≌△O1BG（HL），∴∠O1BG＝∠O1BD＝30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB＝90°，∠O1BD＝30°，∴BD=O1D∴OO1＝9﹣2﹣23=7﹣23∵O1D＝OE＝2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D＝OE，∴四邊形OEDO1為平行四邊形，∵∠OED＝90°，∴四邊形OEDO1為矩形，同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，又OE＝OF，∴四邊形OECF為正方形，∵∠O1GH＝∠CDO1＝90°，∠ABC＝60°，∴∠GO1D＝120°，又∵∠FO1D＝∠O2O1G＝90°，∴∠OO1O2＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°＝∠ABC，同理，∠O1OO2＝90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴C△OO1∴C△OO1O2=15【點評】本題主要考查作圖﹣復(fù)雜作圖、切線的判定與性質(zhì)、矩形和正方形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、矩形和正方形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，AB是⊙O的直徑，M，N是AB（異于點A，B）上的兩點，點C是MN上的一動點，∠ACB的平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．（1）試探究DE與AB的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)點C在⊙O從點M運動到點N時，點C的運動路徑長為l1，點E的運動路徑長為l2，求l1【分析】（1）結(jié)論：AB=2DE．想辦法證明DE＝AD（2）如圖2中，設(shè)⊙O的半徑為r，∠MON＝α．連接OM，ON，OD．由DA＝DE，推出點E的運動軌跡是圖中E'E″，證明∠MON=12【解答】解：（1）如圖1中，結(jié)論：AB=2DE理由：連接AD，BD．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD=∴AD＝BD，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AED＝∠CAE+∠ACE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=2AD∴AB=2DE（2）如圖2中，設(shè)⊙O的半徑為r，∠MON＝α．連接OM，ON，OD．∵DA＝DE，∴點E的運動軌跡是圖中E'E″，∵OM＝ON＝OD，∴∠ODM＝∠OMD，∠ODN＝∠OND，∴∠MON＝∠OMD+∠ODM+∠ODN+∠OND＝2（∠ODN+∠ODM）＝2∠MON，∴∠MON=12∴l(xiāng)1=απ?r180，l2∴l(xiāng)1【點評】本題考查軌跡，圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．23．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線L上，按順時針方向在L上轉(zhuǎn)動兩次使它轉(zhuǎn)到△DEF的位置，設(shè)BC=3，AC＝1，則點A運動到點D的位置時，點A經(jīng)過的路線長是多少？點A經(jīng)過的路線與直線L【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出∠ABC的度數(shù)，進而可得出∠CBF的度數(shù)，由勾股定理求出AB的長，根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵BC=3，AC∴tan∠ABC=ACBC=1∴∠ABC＝30°，∴∠CBF＝150°，∴點A經(jīng)過的路線長=150π×2∴點A經(jīng)過的路線與直線L所圍成的面積=150π×4【點評】本題考查的是軌跡，熟記弧長公式和扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．24．如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，