第三章(3)非周期信號(hào)的頻譜

1、周期信號(hào)的頻譜2、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)3、周期信號(hào)的功率譜2021/6/2713.4非周期信號(hào)的頻譜

前已指出，當(dāng)周期趨于無(wú)限大時(shí)，相鄰譜線(xiàn)的間隔趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜密集成為連續(xù)頻譜。同時(shí)，各頻率分量的幅度也都趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍保持一定的比例關(guān)系。

為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。

令稱(chēng)

為頻譜密度函數(shù)。一、傅里葉變換2021/6/272.當(dāng)周期

趨近于無(wú)限大時(shí)，

趨近于無(wú)窮小，取其為

，而

將趨近于

，

是變量，當(dāng)

時(shí)，它是離散值，當(dāng)

趨近于無(wú)限小時(shí)，它就成為連續(xù)變量，取為

，求和符號(hào)改為積分。

由式

，

可得如何求頻譜密度函數(shù)？2021/6/273于是當(dāng)

時(shí)，式成為（1）式稱(chēng)為函數(shù)

的傅里葉變換

。（2）式稱(chēng)為函數(shù)

的傅里葉逆變換。

稱(chēng)為

的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù).

稱(chēng)為

的原函數(shù)。

簡(jiǎn)記為

?2021/6/274

與周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)相類(lèi)似，在f(t)是實(shí)函數(shù)時(shí)，

F(ω)、φ(ω)與R(ω)、

X(ω)相互之間存在下列關(guān)系：

是

的偶函數(shù)。是

的奇函數(shù)。2021/6/275

在f(t)是實(shí)函數(shù)時(shí)：

(1)若f(t)為t的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的實(shí)函數(shù)，

且為ω的偶函數(shù)。

(2)若f(t)為t的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的虛函數(shù)，且為ω的奇函數(shù)。

與周期信號(hào)類(lèi)似，也可將非周期信號(hào)的傅里葉變換表示式改寫(xiě)成三角函數(shù)的形式，即

結(jié)論：2021/6/2762021/6/277上式表明，非周期信號(hào)可看作是由不同頻率的余弦“分量”所組成，它包含了頻率從零到無(wú)限大的一切頻率“分量”。由式可見(jiàn)，

相當(dāng)于各“分量”的振幅，它是無(wú)窮小量。

所以信號(hào)的頻譜不能再用幅度表示，而改用密度函數(shù)來(lái)表示。類(lèi)似于物質(zhì)的密度是單位體積的質(zhì)量，函數(shù)

可看作是單位頻率的振幅，稱(chēng)

為頻譜密度函數(shù)。2021/6/278例3.4-1下圖所示為門(mén)函數(shù)（或稱(chēng)矩形脈沖），用符號(hào)

表示，其寬度為

，幅度為

。求其頻譜函數(shù)。0二、典型信號(hào)的傅里葉變換2021/6/279解：

如圖所示的門(mén)函數(shù)可表示為其頻譜函數(shù)為2021/6/2710圖

3.4-1門(mén)函數(shù)及其頻譜一般而言，信號(hào)的頻譜函數(shù)需要用幅度譜

和相位譜

兩個(gè)圖形才能將它完全表示出來(lái)。但如果頻譜函數(shù)是實(shí)函數(shù)或虛函數(shù)，那么只用一條曲線(xiàn)即可。

為負(fù)代表相位為

，

為正代表相位為

。00實(shí)偶實(shí)偶2021/6/2711由圖可見(jiàn)，第一個(gè)零值的角頻率為

（頻率

）。

當(dāng)脈沖寬度減小時(shí)，第一個(gè)零值頻率也相應(yīng)增高。對(duì)于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個(gè)零值頻率

之間的頻段為信號(hào)的頻帶寬度。

這樣，門(mén)函數(shù)的帶寬

，脈沖寬度越窄，其占有的頻帶越寬。0(時(shí)域越窄,頻域越寬)2021/6/2712例3.4-2求下圖所示的單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù).0t圖

3.4-2單邊指數(shù)函數(shù)解:將單邊指數(shù)函數(shù)的表示式

代入到式

中得：2021/6/2713這是一復(fù)函數(shù),將它分為模和相角兩部分：2021/6/2714幅度譜和相位譜分別為：頻譜圖如下圖所示：

(

)

0-

/2

/2(b)相位頻譜圖

3.4-3單邊指數(shù)函數(shù)

01/

(a)振幅頻譜2021/6/2715例

3.4-3求下圖所示雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜函數(shù)。

e

t10tf1(t)e-

t解：上圖所示的信號(hào)可表示為：或者寫(xiě)為2021/6/2716將

代入到式

，可得其頻譜函數(shù)為：2021/6/2717其頻譜圖如下所示

：F1(j

)

02/

實(shí)偶實(shí)偶e

t10tf1(t)e-

t2021/6/2718例3.4-4求下圖所示信號(hào)的頻譜函數(shù)。-e

t10tf2(t)e-

t-1解:上圖所示的信號(hào)可寫(xiě)為

：（其中

)2021/6/2719-e

t10tf2(t)e-

t-12021/6/2720其頻譜圖如下圖所示：X2(

)

01/

-1/

實(shí)奇虛奇-e

t10tf2(t)e-

t-12021/6/2721例3.4-5求沖激函數(shù)的頻譜

?即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)

，如下圖所示。其頻譜密度在區(qū)間

處處相等，常稱(chēng)為“均勻譜”或“白色頻譜”。

0t

(t)0

1F(j

)(a)(b)圖

3.4-6單位沖激函數(shù)的頻譜2021/6/2722沖激函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的頻譜函數(shù)為

：?按沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義

：可知即

?同理可得?2021/6/2723例3.4-6求單位直流信號(hào)的頻譜顯然，該信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，但其傅里葉變換卻存在。它可以看作是函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限

。則直流信號(hào)的頻譜函數(shù)也應(yīng)是

的頻譜函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限。

0e

t1tf1(t)e-

t2021/6/2724所以

即

?當(dāng)

趨近于零時(shí)我們已經(jīng)知道

的頻譜函數(shù)為：2021/6/2725f1(t)0t

1

2

3

4(a)

4

3

2

10

2

(

)(b)圖3.4-7求

[1]的極限過(guò)程?0

2

(

)(b)0t1(a)圖

3.4-8直流信號(hào)的頻譜2021/6/2726例3.4-7

求符號(hào)函數(shù)的頻譜符號(hào)函數(shù)定義為顯然,該函數(shù)也不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件。函數(shù)可看作函數(shù)：當(dāng)時(shí)的極限。2021/6/2727則它的頻譜函數(shù)也是

的頻譜函數(shù)

，當(dāng)

時(shí)的極限。

我們已知

的頻譜函數(shù)為：它是

的奇函數(shù)，在

處

。

因此，當(dāng)

趨近于零時(shí)，有

：2021/6/2728于是得?它在

處的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X(

)0

(b)

圖

3.4-9sgn(t)及其頻譜2021/6/2729例3.4-8求階躍函數(shù)的頻譜

對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換，得

:????2021/6/2730

圖

3.5-11

(t)及其頻譜0

(

)R(

)X(

)0

R(

)

(

)-1/

X(

)0

-1/

1/20