中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平行四邊形復(fù)習(xí)題及解析

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平行四邊形復(fù)習(xí)題及解析

一、選擇題

1.如圖，正方形A8CD的邊長為4,點E在邊48上，AE=1,若點P為對角線8。上的一

個動點，則△PAE周長的最小值是（）

2.如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點。，AB=4,BD=4且，E為AB的中點,

3.如圖，正方形ABCD的邊長為2a,點E從點A出發(fā)沿著線段AD向點D運動（不與點

A、D重合），同時點F從點D出發(fā)沿著線段DC向點C運動（不與點D、C重合），點E與點F

的運動速度相同.BE與AF相交于點G,H為BF中點，則有下列結(jié)論：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE：③當(dāng)E運動到AD中點時，GH=—67；④當(dāng)品AGB=（#+2）a時，S四邊形

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

4.如圖，將矩形488沿E尸折疊后點。與8重合.若原矩形的長寬之比為3:1,則——

BF

的值為（）

AE

5.如圖，正方形ABC。和正方形CEFG中，BCE三點在同一直線上，點。在CG

上.BC=1,CE=3,連接是A尸的中點，連接C”,那么C”的長是（）

A.y/5B.2>/5C."D.4&

2

6.如圖，一張長方形紙片的長AD=4,寬AB=1，點E在邊AO上，點尸在邊8C

上，將四邊形A5正沿著所折疊后，點8落在邊AO的中點G處，則EG等于（）

175

A.Vr3B.2Vr3C.—D.—

84

7.如圖，在ABCD中，AD=2AB.CE1AB,垂足上在線段43上，尸、G分別是

AD>CE的中點，連接/G,EF、CO的延長線交于點”，則下列結(jié)論：

①NDCF=g/BCD；②EF=CF：③S^^二2SCEF；④NOFE=3ZAE/<其中，正

確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以A為圓心，AB長為半徑畫弧，

交邊AD于點；②再分別以B,F為圓心畫弧，兩弧交于平行四邊形ABCD內(nèi)部的點G處;

③連接AG并延長交BC于點E,連接BF,若BF=3,AB=2.5,則AE的長為（）

A.2B.4C.8D.5

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點，將BCE沿BE翻折至BFE,連接

DF,則DF的長度是（）

5555

10.如圖，已知AABC的面積為12,點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且

BF=4CF,四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

11.如圖，在AABC中，ZBAC=9O°,點D是BC的中點，點E、F分別是直線AB、AC±

的動點，ZEDF=90°,M、N分別是EF、AC的中點，連結(jié)AM、MN,若AC二6,AB=5,

則AM-MN的最大值為.

12.在平行四邊形ABCD中，ZA=30°,AD=2>/3,BD=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于.

13.如圖，正方形ABCD中，NZMC的平分線交DC于點E,若P,Q分別是AD和AE上

的動點，則DQ+PQ能取得最小值4時，此正方形的邊長為.

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E為BC邊上一動點，作EF_LAE,且EF=

AE.連接DF,AF.當(dāng)DFJLEF時，4ADF的面積為.

15.菱形O8C。在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點8（2石.0）,NDOB=

60°,點P是對角線OC上一個動點，E（0,一1）,則EP十BP的最小值為

16.如圖，正方形48co面積為1,延長D4至點G,使得4G=4D,以。G為邊在正

方形另一側(cè)作菱形。GFE,其中NEPG=45°，依次延長AB,3C,CQ類似以上操作再

作三個形狀大小都相同的菱形，形成風(fēng)車狀圖形，依次連結(jié)點r"，M,N,則四邊形

FHMN的面積為.

17.如圖，長方形A5CO中，AO=26,AB=12,點。是的中點，點尸在AO邊

上運動，當(dāng)V3PQ是以。尸為腰的等腰三角形時，A尸的長為,

18.如圖，點E、F分別在平行四邊形A8C。邊8c和4。上（E、F都不與兩端點重合），

A/

連結(jié)4E、DE、BF、CF,其中女和8F交于點G,DE和CF交于點H.令一=H,

BC

PC

一=m.若〃2=〃，則圖中有個平行四邊形（不添加別的輔助線）；若

BC

加+〃=1,且四邊形48C。的面積為28,則四邊形FGEH的面積為.

19.如圖所示，在四邊形ABCD中，順次連接四邊中點E、F、G、H,構(gòu)成一個新的四邊

形，請你對四邊形ABCD添加一個條件，使四邊形EFGH成一個菱形，這個條件是

20.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=5,AD=3fN斜。的平分線AE交8于點

E，連接BE,若/BAD=/BEC,則平行四邊形43co的面積為

三、解答題

21.已知，四邊形ABC。是正方形，點￡是正方形48C。所在平面內(nèi)一動點（不與點。重

合），AB=AE,過點8作的垂線交D￡所在直線于F,連接CF.

提出問題：當(dāng)點E運動時，線段CF與線段0E之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點￡的一個特殊位置：當(dāng)點E與點8重合（如圖①）時，點F與點8也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：_；

（2）然后考察點￡的一般位置，分兩種情況：

情況1：當(dāng)點￡是正方形48co內(nèi)部一點（如圖②）時；

情況2：當(dāng)點E是正方形48co外部一點（如圖③）時.

在情況1或情況2下，線段CF與線段0E之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如

果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請

說明理由；

拓展問題：

（3）連接AF,用等式表示線段CF、0F三者之間的數(shù)量關(guān)系：

22.在等邊三角形ABC中，點D為直線BC上一動點（點D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當(dāng)點D在線段CB上時，

①/BCF=。；

②BC,CD,CF之間數(shù)量關(guān)系為.

（2）（數(shù)學(xué)思考）：如圖（2）,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，（1）中兩個結(jié)論是否

仍然成立？請說明理由.

（3）（拓展應(yīng)用）：如圖（3）,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，若45=6,

CD=gBC,請直接寫出C尸的長及菱形ADEF的面積.

圖（2）圖（3）

圖（1）

23.如圖，在心△ABOU,ZABC=90°,ZC=30°,AC=\2cm,點E從點A出發(fā)

沿AB以每秒Icvw的速度向點8運動，同時點Z）從點C出發(fā)沿C4以每秒2cM的速度向

點A運動，運動時間為，秒（0vtv6）,過點。作。尸于點尸.

（1）試用含/的式子表示AE、AD.。尸的長；

（2）如圖①，連接EF，求證四力形是平行四邊形；

（3）如圖②，連接OE,當(dāng)f為何值時，四邊形七NED是矩形？并說明理由.

24.如下圖1,在平面直角坐標(biāo)系中9中，將一個含30°的直角三角板如圖放置，直角頂

點與原點重合，若點A的坐標(biāo)為（一1,0）,ZABO=30°.

（1）旋轉(zhuǎn)操作：如下圖2,將此直角三角板繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°時，則點B的坐標(biāo)

為.

（2）問題探究：在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點0順時針60。，如圖3,在AB邊

上的上方以AB為邊作等邊A8C,問：是否存在這樣的點D,使得以點A、B、C、D四

點為頂點的四邊形構(gòu)成為菱形，若存在，請直接寫出點D所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

(3)動點分析：在圖3的基礎(chǔ)上，過點。作OP_LA5于點P,如圖4,若點F是邊0B的

25.如圖，四邊形。48c中，BC//AO,A(4,0),B(3,4),C(0,4).點M從。出

發(fā)以每秒2個單位長度的速度向4運動；點N從8同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度

向C運動.其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運動.過點A/作NP垂直x

軸于點P，連結(jié)4c交NP于Q,連結(jié)MQ.

(1)當(dāng)t為何值時，四邊形8NMP為平行四邊形？

(2)設(shè)四邊形8/V外的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)是否存在點M,使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

26.如圖，在正方形A5CQ中，E是邊4B上的一動點(不與點A、8重合)，連接

DE，點A關(guān)于直線力石的對稱點為尸，連接所并延長交于點G,連接OG,過點

七作EHJL0E交。G的延長線于點〃，連接

(1)求證：GF=GC；

(2)用等式表示線段3"與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

c

27.如圖所示，四邊形A8CO是正方形，M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直

角邊經(jīng)過點O，且直角頂點E在A8邊上滑動(點E不與點48重合)，另一直角邊與

NCBM的平分線BF相交于點F.

⑴求證：ZADE=AFEM;

⑵如圖(1),當(dāng)點E在A8邊的中點位置時，猜想OE與即的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(3)如圖(2),當(dāng)點E在A3邊(除兩端點)上的任意位置時，猜想此時。E與￡尸有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的猜想.

28.猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B,C,G三點在一條直

線上，CE在邊CD上.連結(jié)AF,若M為AF的中點，連結(jié)DM,ME,試猜想DM與ME的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展與延伸：

⑴若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不

變，則DM和ME的關(guān)系為；

(2)如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點F在邊CD上，點M仍為AF的

中點，試證明⑴中的結(jié)論仍然成立.［提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半］

29.已知正方形ABCO與正方形(點C、E、F、G按順時針排列)，是的中點，連接，.

（1）如圖1,點E在上，點在的延長線上，

求證：DM=ME,DMl.ME

簡析：由是的中點，AD〃EF,不妨延長EM交AD于點N,從而構(gòu)造出一對全等的三角

形，即且.由全等三角形性質(zhì)，易證ADNE是三角形，進(jìn)而得出結(jié)論.

（2）如圖2,在OC的延長線上，點在上，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請證明你的結(jié)

論；若不成立，請說明理由.

（3）當(dāng)AB=5,CE=3時，正方形的頂點C、E、F、G按順時針排列.若點E在直線CD上，

則DM=;若點E在直線BC上，則DM=.

30.如圖，在矩形A8C。中，AD=nAB,E,F分別在48,8c上.

（1）若〃=1,AFLDE.

①如圖1,求證：AE=BF；

②如圖2,點G為C8延長線上一點，DE的延長線交4G于H,AH=AD,求證：AE+BG

=4G；

CF

（2）如圖3,若E為48的中點，ZADE=ZEDF.則二7的值是（結(jié)果用

含n的式子表示）.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

連接AC、CE,CE交BD于P,此時4P+PE的值最小，求出CE長，即可求出答案.

【詳解】

解：連接AC、CE,CE交BD于P,連接AP、PE,

:四邊形48CD是正方形，

：.OA=OC,ACA.BD,即A和C關(guān)于8。對稱，

：,AP=CP,

BPAP+PE=CE,此時4P+PE的值最小，

所以此時△以E周長的值最小，

;正方形A8CD的邊長為4,點￡在邊48上，AE=1,

：.ZABC=90°,BE=4-1=3,

由勾股定理得：C￡=5,

:.△%E的周長的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故選0.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)與軸對稱一一最短路徑問題，知識點比較綜合，屬于較難題型.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

連結(jié)DE交AC于點P,連結(jié)BP,根據(jù)菱形的性質(zhì)推出A。是BD的垂直平分線，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長即可.

【詳解】

如圖，設(shè)AC,BD相交于0,

???四邊形ABCD是菱形,

.\AC±BD,A0=-AC,B0=-BD=2g,

22

VAB=4,

AA0=2,

連結(jié)DE交AC于點P,連結(jié)BP,作EM_LBD于點M,

???四邊形ABCD是菱形，

AAC1BD,且DO=BO,即AO是BD的垂直平分線，

APD=PB,

.\PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

TE是AB的中點，EM±BD,

11七

AEM=-AO=1,BM=yBO=V2?

/.DM=DO+OM=60=373?

???DE=JEW+DM?=712+(3X/3)2=277，

故選c.

【點睛】

此題考查了軸對稱-最短路線問題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定和三角函數(shù)解答.

3.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意很容易證得△BAEgZXADF,即可得到AF=BE,利用正方形內(nèi)角為90。，得出

AF_LDE,即可判斷①，②無法判斷，③根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

④根據(jù)ABAEZ/XADF,即可得到S四邊形GEDF=SABG,即可求解.

【詳解】

①證明：；E在4。邊上(不與A.D重合)，點F在DC邊上(不與D.C重合).

又,：點E.F分別同時從A.D出發(fā)以相同的速度運動，

：.AE=DF,

;四邊形A8CD是正方形，

???AB=DA.ZBAE=ZD=90,

在"AE和邛中，

AE=DE

<NBAE=NADF=90

AB=ADf

/.ABAE^AADF(SAS),

AZ1=Z2,

vZ2+Z3=90

???Zl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=90,

NBGF是定值；正確.

②無法判斷NG8尸與NC8尸的大小，BF平分NCBE；錯誤.

③當(dāng)E運動到AD中點時，

點F運動到CD中點，

CF=-CD=a,

2

BF=y]BC2+CF2=顯

GH==—BF=史~(1,正確.

22

@^BAE^^ADF,

則S四邊形GEDF=SMG，

當(dāng)CAAGB=(#+2)〃時，

AG+GB=&,

222

(AG+GB)2=AG+2AGGB+GB=6ay

AG2+BG2=AB2=4a2,

2AGGB=2a\

2

SnAnli\j(;=2-AGGB=-a7,

S四必影GEDF=77a2，故s內(nèi)心IEGEOF=~02>錯誤.

26

故選A.

【點睛】

考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ED'=BE,/D'EF=NBEF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ND'EF=

NEFB,求得BE=BF,設(shè)AD'=BC'=3x,AB=x,根據(jù)勾股定理得到BE=x,于是得

3

到結(jié)論.

【詳解】

如圖，將矩形ABCD沿EF折疊后點D與B重合,

???ED'=BE,ND'EF=ZBEF,

VAD'〃BC',

?'ND'EF=ZEFB,

AZBEF=ZEFB,

???BE=BF,

???原矩形的長寬之比為31,

，設(shè)AD'=BC'=3x,AB=x,

AAE=3x-ED/=3x-BE>

VAE2+AB2=BE2,

/.(3x-BE)2+x2=BE2,

解得：BE=-x,

3

54

，BF=BE=—x,AE=3x-BE=-x

33

4

.AE_3X4

BF5^5

【點睛】

本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，

熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.A

解析：A

【分析】

如下圖，根據(jù)點H是AF的中點和HM/7FE,可得HP是4ANF的中位線，四邊形MPNE是

矩形，再根據(jù)中位線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，可推導(dǎo)求得HM、CM的長，在Rt^HCM中求CH

即可

【詳解】

如下圖，過點H作BE的垂線，交BE于點M,延長AD交FE于點N,交HM于點P

???四邊形ABCD、CEFG是正方形，???ADJ_EF,ZE=90°

VHM±BE

???四邊形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

/.NE=L???FN=2,PM=1

VI1M1BE,FE1BE,點H是AF的中點

AUM是ZiANF的中位線

.*.HP=-EF=1,AP=PN=2

2

ACM=1

???在RtZXCHM中,CH=75

故選：A

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題關(guān)鍵是將梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位線定理.

6.D

解析：D

【分析】

連接BE,根據(jù)折疊的性質(zhì)證明△ABEg/\4'GE，得到BE=EG,根據(jù)點G是AD的中點，

AD=4得到AE=2-EG=2-BE,再根據(jù)勾股定理即可求出BE得到EG.

【詳解】

連接BE,

由折疊得：AE=A!E,ZA=ZAz=90°,AB=A!G,

/.△ABE^AA1GE,

ABE=EG,

丁點G是AD的中點，AD=4,

AAG=2,即AE+EG=2,

AAE=2-EG=2-BE,

在內(nèi)△ABE中，BE2=AE2+AB2

222

：.BE=(2-BE)+\t

EG=BE=—，

4

故選：D.

【點睛】

此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，利用折疊證明三角形全等,

目的是證得EG=BE,由此利用勾股定理解題.

7.C

解析:C

【分析】

由點F是AD的中點，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD,即可判斷①；先證

△AEFaADHF,再證AECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF,得5??125底產(chǎn)，

由CE±CD,結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)NAEF=x,則NH=x,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得NFCH二NH=x,由FD=CD,ZDFC=ZFCH=x,由

FG〃CD〃AB,得NAEF=NEFG=x,由EF=CF,ZEFG=ZCFG=x,進(jìn)而得到

/DFE=3ZAEF,即可判斷④.

【詳解】

丁點F是AD的中點，

A2FD=AD,

??,在ABCD中，AD=2AB,

/.FD=AB=CD,

AZDFC=ZDCF,

VAD/7BC,

AZDFC=ZBCF,

AZDCF=ZBCF,即：NDCF=；NBCD,

???①正確；

VAB#CD,

AZA=ZFDH,ZAEF=ZH,

XVAF=DF,

/.AAEF=ADHF(AAS),

，EF=HF,

?：CE1AB,

???CE_LCD,即:AECH是直角三角形，

:.￡T=CF=-EH,

2

???②正確；

VEF=HF,

SHECCEF

VCE1AB,CE_LCD,垂足E在線段A3上，

：?BE<CH,

?*,SBEC^AUCE?

?*,SBECf

???③錯誤；

設(shè)NAEF=x,則NH=X,

'：在RtAECH中，CF=FH=EF,

AZFCH=ZH=x,

VFD=CD,

/.ZDFC=ZFCH=x,

;點F,G分別是EH,EC的中點，

，F(xiàn)G〃CD〃AB,

AZAEF=ZEFG=x,

VEF=CF,

AZEFG=ZCFG=x,

/.ZDFE=ZDFC+ZEFG+ZCFG=3x,

：.ZDFE=3ZAEF.

工④正確.

故選C.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

連接EF,先證4F=48=8E,得四邊形48EF是菱形，據(jù)此知AE與8F互相垂直平分，繼而得

。8的長，由勾股定理求得8的長，繼而得出答案.

【詳解】

由題意得：AF=AB,4E為N8A。的角平分線，則N8AE=NE4E.

又;四邊形A8C。是平行四邊形，則A0〃8C,/BAE=/FAE=/BEA,：.AF=AB=BE.

連接EF,則四邊形48EF是菱形，???AE與BF互相垂直平分，設(shè)4E與8F相交于點。，

0B=—=1.5.在RtZ\408中，JAB2_QB2=Jz52_L52=2，則4E=2OA=4.

2

故選B.

【點睛】

本題考杳了作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì),

角平分線的尺規(guī)作圖方法等.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的長，由折疊的性質(zhì)可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面積法可求

CH=延，由勾股定理可求EH的長，由三角形中位線定理可求DF=2EH=S5.

55

【詳解】

解：如圖，連接CF,交BE于H,

???在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點,

/.BC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

???BE=《BC2+CE?=J16+4=2石，

???將ABCE沿BE翻折至ABFE,

，CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

VSABCE=-xBExCH=—xBCxCE,

22

?CH-46

??in——,

5

:.EH=y/CE2-CH2=^4-y=乎,

VCE=DE,FH=CH,

/.DF=2EH=-i^,

5

故選：D.

【點睛】

本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題

的關(guān)鍵.

10.c

解析：C

【分析】

想辦法證明Sa]=SgDE+SADEC=SziAEC，再由EF〃AC,可得SAAEC=SAACF解決問題.

【詳解】

故選c.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等

高模型解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題

5

11.-

2

【分析】

連接DM,直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得AM=DM,利用兩邊之差小于第三邊得到

AM-MNWDN,又根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

連接DM,如下圖所示，

-：ZBAC=ZEDF=90°

又TM為EF中點

AAM=DM=—EF

2

:?AM—MN=DM—MNSDN(當(dāng)D、M、N共線時，等號成立)

VD.N分別為BC、AC的中點，即DN是AABC的中位線

15

ADN=—AB=-

22

???—MN的最大值為!■

2

故答案為!■.

2

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是確定4W-MN的取

值范圍.

12.4百或2G

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊

形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過。作于E，

在RtZXADE中,ZA=30°?AD=26，

:.DE=-AD=y/3tAE=-AD=3,

22

在RtZ\B￡出中，BD=2,

BE=ylBD2-DE2=722-(V5)2=1，

如圖1,

.?.AB=4，

二平行四邊形A8CD的面積=A8DE=4xy/3=4s/3，

AB=2,

二平行四邊形A3CD的面積=A3DE=2xy/3=2^，

在RtAABE中，設(shè)AE=x,則OE=2j5—x，

ZA=30°,BE=—x>

3

在中，BD=2,

.-.22=(^X)2+(2>^-X)2,

：.x=6x=2百(不合題意舍去)，

二.BE=1，

■-?平行四邊形ABC。的面積=AOBE=1x=2。，

當(dāng)AZ>J_8O時，平行四邊形ABC。的面積=AOBO=46，

故答案為：4G或2G.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運用、30度角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

13.4>/2

【分析】

作P點關(guān)于線段AE的對稱點p,根據(jù)軸對稱將OQ+PQ轉(zhuǎn)換成OP,然后當(dāng)

OULAC的時候DP'是最小的，得到。產(chǎn)長，最后求出正方形邊長DC.

【詳解】

???AE是ND4C的角平分線，

???P點關(guān)于線段AE的對稱點一定在線段AC上，記為尸'

由軸對稱可以得到PQ=P'Q,

??.DQ+PQ=DQ+PQ=DP'.

如圖，當(dāng)OP_LAC的時候OP是最小的，也就是OQ+R2取最小值4,

???=4，

由正方形的性質(zhì)P是AC的中點，且QP=P'C,

在Rt/XP'中，DC=\]D產(chǎn)2+PC2=J42+42=辰=4五.

故答案是：4-y2-

【點睛】

本題考查軸對稱的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是能夠分析出。。+42取最小值的狀態(tài)，

并將它轉(zhuǎn)換成QP去求解.

14.3-迪

2

【分析】

作輔助線，構(gòu)建全等三角形和矩形，利用面積法可得AE的長，根據(jù)勾股定理可得BE的

長，設(shè)AE=x,證明4ABE且△EQF(AAS),得FQ=BE=0,最后根據(jù)三角形面積公式

可得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，過D作DHJ_AE于H,過E作EM_LAD于M,連接DE,

AZDHE=ZHEF=ZDFE=90°,

???四邊形DHEF是矩形，

，DH=EF=AE,

???四邊形ABCD是矩形，

/.ZB=ZBAD=90°,

VZAME=90°,

，四邊形ABEM是矩形，

AEM=AB=2,

設(shè)AE=x,

則SAADE=—ADEM=—AE-DH,

22

A3X2=x2,

.*.x=±限，

Vx>0,

即AE=口,

由勾股定理得：BE=^(76)2-22=y/2>

過F作PQ〃CD,交AD的延長線于P,交BC的延長線于Q,

.*.ZQ=ZECD=ZB=90",ZP=ZADC=90°,

VZBAE+ZAEB=ZAEF=NAEB+ZFEQ=90°,

/.ZFEQ=ZBAE,

;AE=EF,NB=NQ=90°,

/.△ABE^AEQF(AAS),

AFQ=BE=V2，

APF=2-垃,

.,.SAADF=-ADPF=-x3x(2-V2)=3-逑.

222

【點睛】

此題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，有難度，正確作輔助

線構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵，并用方程的思想解決問題.

15.V19

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得0C垂直平分BD,從而可得DP=BP，再根據(jù)兩點之間線段最短

可得成+8尸的最小值為DE,然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)，最后

利用兩點之間的距離公式即可得.

【詳解】

如圖，連接BP、DP、EP、DE、BD,過點D作ZM_L08于點A,

8(2后0),

0B=2石，

四邊形ABCD是菱形，

.??0C垂直平分BD,OB=OD=20,

點P是對角線oc上的點，

:.DP=BP，

:.EP±BP=EP+DP^

由兩點之間線段最短可知，EP+OP的最小值為DE,即EP+8P的最小值為DE,

08=03/008=60。，

4OD是等邊三角形，

DAYOB,

:.OA=^OB=y/3,AD=JOD2-OT=J(2石/-(Gy=3,

D(區(qū)3),

又E(0,T),

DE=Op+(3+1/=曬，

即砂+BP的最小值為M，

故答案為：V19.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間的距離公式等知識點，根據(jù)

兩點之間線段最短得出EP十族的最小值為DE是解題關(guān)鍵.

16.13+8也

【分析】

如圖所示，延長CD交FN于點P,過N作NKJLCD于點K,延長FE交CD于點Q,交NS于

點R,首先利用正方形性質(zhì)結(jié)合題意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后進(jìn)一步根據(jù)菱形性質(zhì)得出

DE=EF=DG=2,再后通過證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=0,進(jìn)一步可得

FN2=FR、NR2sB再延長NS交ML于點Z,利用全等三角形性質(zhì)與判定證

明四邊形FHMN為正方形，最后進(jìn)一步求解即可.

【詳解】

如圖所示，延長CD交FN于點P,過N作NKJLCD于點K,延長FE交CD于點Q,交NS于

點R,

VABCD為正方形，

.,.ZCDG=ZGDK=90°,

「正方形ABCD面積為1,

/.AD=CD=AG=DQ=1,

/.DG=CT=2,

丁四邊形DEFG為菱形，

ADE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45°,

/.ZEDG=ZSCT=ZNTK=45°,

VFE/7DG,CT/7SN,DG±CT,

/.ZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

ADQ=EQ=TK=NK=五,FQ=FE+EQ=2+垃，

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

.??四邊形NKQR是矩形，

/.QR=NK=V2，

???FR=FQ+QR=2+2夜，NR=KQ=DK-DQ=724-1-^=b

?,?FN2=FR2+NR2=13+8&，

再延長NS交ML于點Z,易證得：△NMZMZXFNR(SAS),

.\FN=MN,NNFR=/MNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

/.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

工四邊形FHMN為正方形，

???正方形FHMN的面積=硒2=[3+8啦，

故答案為：13+8夜.

【點睛】

本題主要考查了正方形和矩形性質(zhì)與判定及與全等三角形性質(zhì)與判定的綜合運用，熟練掌

握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

17.6.5或8或18

【分析】

根據(jù)題意分3P=QP、BQ=QP兩種情況分別討論，再結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】

解：???四邊形ABCO是矩形，AD=26,點。是3C的中點

???BQ=13

???①當(dāng)3尸=Q尸時，過點P作尸交3Q于點M，如圖，

則BM=MQ=6.5，且四邊形ABMP為矩形

???AP=BM=6.5

②當(dāng)6Q=Q〃時，以點。為圓心，為半徑作圓，與AD交于P、P”兩點，如圖,

/P1-----、尸〃D

尸於f

___

4Q

\

過。作QNJ.PP〃，交PP于點N,則可知產(chǎn)N=PW

?:在.RfPNQ,P'Q=13,NQ=AB=12

???PN=卜02一敏=V132-122=5

同理，在RtPWQ中，PW=5

AD-P'N-P"N26-5-5

?.4P，=Q「/V=zoj.=8,A〃=AP+PN+UN=8+5+5=18

22

即P、產(chǎn)為滿足條件的尸點的位置

???AP=8或18

???綜上所述，當(dāng)V3PQ是以QP為腰的等腰三角形時，AP的長為6.5或8或18.

故答案是：6.5或8或18

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

進(jìn)行分類討論是一個難點，也是解題的關(guān)鍵.

18.7

【分析】

①若初二〃，則AE=EC,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出入?！?cAO=BC,再根據(jù)平

行四邊形的判定（一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行）即可得：②先根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得

S邨FG=公SABEF,CDFE，再根據(jù)SABCDCDF￡=28和

S四邊形FGEH=SgFG+S&EFHABEFCDFE即可得出答案?

【詳解】

四邊形ABCD是平行四邊形

..ADHBC,AD=BC

AFEC

----=n.-----=mjn=n

BCBC

AF=EC

:.AD-AF=BC-EC,即OP=BE

二?四邊形AECF、四邊形BEDF都是平行四邊形

AEHCF.BF//DE

「?西邊形EGFH是平行四邊形

綜上，圖中共有4個平行四邊形

如圖，連接EF

AFEC?

----=-----=mm+n=\

BCBCy

AF+EC=BC=AD

AF+DF=AD

:.EC=DF

:.AF=BE

二.四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形

..S.FC~工1SCDFE

1nSABEF+SCDFE=28

S四邊形卬切=Sf^EFG+S*FH=彳5ABEFCDFE

=W(SABEI讓ACDFE)

=-x28=7

4

故答案為：4；7.

A

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.答案不唯一，例AC=BD等

【分析】

連接AC、BD,先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的特點添加條件即可.

【詳解】

連接AC,

丁點E、F分別是AB、BC的中點，

???EF是AABC的中位線，

1

，EF〃AC,EF=-AC,

2

同理HG〃AC,HG=-AC,

2

???EF〃HG,EF=HG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

連接BD,同理EH=FG,EFIIFG,

當(dāng)AC=BD時，四邊形EFGH是平行四邊形，

故答案為：答案不唯一，例AC=BD等.

//

【點睛】

此題考查三角形中位線性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定.

20.1072

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)證明AD=DE=3,再根據(jù)=證明

BC=BE,由此根據(jù)三角形的三線合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四邊形的面積.

【詳解】

過點5作CD于點/，如圖所示.

???AE是44。的平分線，

?*-ZDAE=ZBAE.

???四邊形ABC。是平行四邊形，

:?CD=AB=5,BC=AD=3f4BAD=NBCE,AB//CD,

???ZBAE:NDEA，

???ZmE=NOE4，

?'?DE=AD=3,

???CE=CD-DE=2.

?:ZBAD=ZBEC,

:.ZBCE=ZBEC,

，BC=BE,

：.CF=EF=-CE=\,

2

?*-BF=y)BC2-CF2=^32-l2=25/2?

:.平行四邊形ABCD的面積為BFCD=272x5=l0及.

故答案為：1(八傷.

【點睛】

此題考杳平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角相等，等腰三角形的等角對等邊的性

質(zhì)、三線合一的性質(zhì)，勾股定理.

三、解答題

21.(1)DE=y/2CF；(2)在情況1與情況2下都相同，詳見解析；(3)AF+CF=

y/2DF^\AF-CF\=y/2DF

【分析】

(1)易證ABCD是等腰直角三角形，得出DB=J5CB,即可得出結(jié)果；

(2)情況1：過點C作CG_LCF,交DF于G,設(shè)BC交DF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=正CF,連接BE,

設(shè)NCDG=a,則NCBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出/DAE=2a,貝i」NEAB=9(T-2a,

ZBEA=ZABE=—(180°-ZEAB)=45°+a,ZCBE=45°-a,推出NFBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，則EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=J^CF；

情況2：過點C作CGJ_CF交DF延長線于G,連接BE,設(shè)CD交BF于P,由ASA證得

△CDG94CB「，得出DG=「B,CG=C「，貝UAGC「是等腰直角三角形，得「G=夜C「，設(shè)

ZCDG=a,則NCBF=a,證明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF；

(3)①當(dāng)F在BC的右側(cè)時，作HD_LDF交FA延長線于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得△ABFgZ\AEF,得出NEFA=/BFA=/BFE=45°,則AHDF是等腰

2

直角三角形，得HF=&DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS證得△HDA^^FDC,得

CF=HA,即可得出AF+CF=0DF；

②當(dāng)F在AB的下方時，作DH_LDE,交FC延長線于H,在DF上取點N,使CN=CD,連接

BN,證明ABFN是等腰直角三角形，得BF=NF,由SSS證得△CNFg^CBF,得

ZNFC=ZBFC=yZBFD=45°,則ZSDFH是等腰直角三角形，得FH=J^DF,DF=DH,由SAS

證得△ADFWZXCDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=應(yīng)DF；

③當(dāng)F在DC的上方時，連接BE,作HD_LDF,交AF于H,由(2)得ZiBEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得4ABFgZ\AEF,得NEFA=NBFA=/BFE=45°,則AHDF是等腰直

2

角三角形，得出HF=J^DF,DH=DF,由SAS證得ZkADCgZ\HDF,得出AH=CF,即可得出

AF-CF=V2DF；

④當(dāng)F在AD左側(cè)時，作HD_LDF交AF的延長線于H,連接BE,設(shè)AD交BF于P,證明

△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF,由