冀教版（2025新版）七年級下冊數(shù)學(xué)第六章 二元一次方程組 課件

第六章

二元一次方程組冀教版（2025新版）七年級下冊數(shù)學(xué)CONTENTS目錄01二元一次方程組020304二元一次方程組解法二元一次方程組的應(yīng)用簡單的三元一次方程組*二元一次方程組01

某酒廠有大小兩種存酒的木桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒28升，1個大桶加上5個小桶可以盛酒20升.那么，1個大桶和1個小桶分別可盛酒多少升?觀察與思考

設(shè)1個大桶盛酒x升，則1個小桶盛酒(28-5x)升.根據(jù)題意，列方程，得x+5(28-5x)=20解這個一元一次方程，得x=5從而，得28-5x=3即1個大桶盛酒5升，1個小桶盛酒3升.設(shè)一個未知數(shù)設(shè)兩個未知數(shù)

設(shè)1個大桶盛酒x升，1個小桶盛酒y升.

根據(jù)題意，可得方程5x+y=28①x+5y=20②

大桶和小桶的容積應(yīng)當(dāng)是同時滿足方程①和②的未知數(shù)的值.思

考

1.比較方程x+5(28-5x)=20和方程5x+y=28及x+5y=20，它們的共同點(diǎn)是什么，不同點(diǎn)是什么？

2.x=5，y=3是否同時滿足方程①和②？

像5x+y=28和x+5y=20這樣，含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程。

二元一次方程必須同時滿足三個條件：1.是整式方程，即等號的兩邊必須都是整式；2.含有兩個未知數(shù)；3.含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1。練

習(xí)下列方程中，哪個是二元一次方程？（1）xy=3（2）2x2-y=9（3）=x（4）8x-y=3（5）2x-5y=1（6）2（x+2y）=4y（7）xy-7y=3（8）3x-4y=5z（9）

（10）6x-1=

由幾個方程組成的一組方程叫做方程組。

含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組，叫做二元一次方程組。

二元一次方程組必須同時滿足三個條件：1.兩個整式方程；2.方程組中一共含有兩個未知數(shù)；3.含有每個未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1。練

習(xí)下列方程組中，哪個是二元一次方程組？

使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一組解。

如x=5，y=3是方程5x+y=28的一組解，也是方程x+5y=20的一組解。一般地，將二元一次方程組的一組解記為

的形式。練

習(xí)寫出2x+y=4的三組解練

習(xí)和

是二元一次方程2x+y=4的解嗎？為什么？解：當(dāng)x=3，y=-2時，左邊=2×3+（-2）=4=右邊

所以

是該方程的解。

當(dāng)x=1，y=1時，左邊=2×1+1=3≠右邊

所以

不是是該方程的解。判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程的解的方法試著做做

已知甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的3倍之和是12，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之差是5，求這兩個數(shù)。(1)列一元一次方程求解。(2)如果設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，請根據(jù)問題中的等量關(guān)系，列出含兩個未知數(shù)的一組方程。(3)用一元一次方程求得的甲數(shù)和乙數(shù)，代入(2)中所列的這組方程中，檢驗(yàn)方程兩邊是否相等。2x+3y=12x……2345……y…………3x-2y=5x……2345……y…………一起探究225

由幾個方程組成的一組方程叫做方程組。含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組，叫做二元一次方程組。

二元一次方程組中方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解。

一般地，二元一次方程組記作

的形式，而

是這個方程組的解。練

習(xí)判斷

是不是二元一次方程組

的解？解：

當(dāng)x=3，y=-2時，方程①中，左邊=2+2×3=8=右邊

所以

是方程①的解。

當(dāng)x=3，y=-2時，方程②中，左邊=3×2-3=3=右邊

所以

是方程②的解。

所以

是方程組

的解。①②判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程組的解的方法思維進(jìn)階1.若方程3x|a|-1+(a-2)y=1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a=

。

2.若

是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+2y=3的一組解，則a=

。

3.已知

是方程組

的解，求(m+n)2012的值。

4.已知(4x+3y-1)2+|3-y|=0，求xy和x+y的值。5.已知二元一次方程(2m-6)x|m-2|+(n-2)yn+2-3=0，求m，n的值。二元一次方程組的解法02今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？解：設(shè)有x只雞，那么兔有（35-x）只

根據(jù)題意可得，2x+4(35-x)=94

解這個方程，得x=23

從而35-x=35-23=12

答：雞有23只，兔有12只。今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？解：設(shè)有x只雞，y只兔.

根據(jù)題意,可得方程組

由①得，y=35-x

將③代入②，得2x+4(35-x)=94①②例題求二元一次方程組

的解。①②解：將①代入②中，得x+2（x-6）=9

解這個一元一次方程，得x=7

將x=7代入①，得y=1

所以，原方程組的解為例題解二元一次方程組①②解：由①，得x=10-y③

將③代入②，得10-y-2y=4

解這個方程，得y=2

將y=2代入③，得x=8

所以，原方程組的解為

將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代人另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一元一次方程，通過解一元一次方程，求得二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

求二元一次方程組的解的過程叫做解二元一次方程組。例題解二元一次方程組①②解：由①，得3x=14-10y

將③代入②，整理，得140-55y=96

解這個一元一次方程，得y=

將y=代入③，得x=2

所以，原方程組的解為③例題解方程組解：原方程組可化為

由②，得

將③代入①，整理，得10-x=10

解得x=0

將x=0代入③，得

y=

所以，原方程組的解為

①②③例題解方程組解：①+②，得7x=14x=2

把x=2代入①，得10+3y=16y=2

原方程組的解為①②

當(dāng)兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時，采用將兩個方程左右兩邊分別相加(或相減)的方法“消元”較簡便.例題解方程組解：②×2，得4x+6y=12③①-③，解得

x=-1

將x=-1代入②，解得

y=2原方程組的解為①②

將二元一次方程組中兩個方程相加(或相減，或進(jìn)行適當(dāng)變形后再加減)，消去一個未知數(shù)，得到一元一次方程，通過求解一元一次方程，再求得二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法,二元一次方程組的應(yīng)用03

大馬說:“把我馱的東西給你1包多好哇!這樣咱們馱的包數(shù)就一樣多了；小馬說:“我還想給你1包呢!”大馬說:“那可不行!如果你給我1包，我馱的包數(shù)就是你的2倍了。”解:因?yàn)?/p>

大馬馱物包數(shù)-1=小馬馱物包數(shù)+1

大馬馱物包數(shù)+1=(小馬馱物包數(shù)-1)x2所以，若設(shè)大馬馱物x包，小馬馱物y包，則有整理，得①-②，得y=5將y=5代入①，解得x=7方程組的解為

答:大馬馱物7包，小馬馱物5包①②例題

化肥廠往某地區(qū)發(fā)運(yùn)了兩批化肥，第一批裝滿了9節(jié)火車車廂和25輛卡車，共運(yùn)走了640t；第二批裝滿了12節(jié)火車車廂和10輛卡車，共運(yùn)走了760t。平均每節(jié)火車車廂和每輛卡車分別裝運(yùn)化肥多少噸?分析：本題中的等量關(guān)系是:第一批，9節(jié)火車車廂運(yùn)貨噸數(shù)+25輛卡車運(yùn)貨噸數(shù)=640；第二批，12節(jié)火車車廂運(yùn)貨噸數(shù)+10輛卡車運(yùn)貨噸數(shù)-760。解：設(shè)平均每節(jié)火車車廂裝運(yùn)化肥xt，每輛卡車裝運(yùn)化肥yt。

根據(jù)題意，得

解這個方程組，得

答:平均每節(jié)火車車廂裝運(yùn)化肥60t，每輛卡車裝運(yùn)化肥4t。例題

某車間有工人660名，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，已知每人每天平均生產(chǎn)甲種零件14個或乙種零件20個，1個甲種零件與2個乙種零件為一套。如何調(diào)配人員可使每天生產(chǎn)的兩種零件剛好配套?分析：本題中的等量關(guān)系是:

生產(chǎn)甲種零件的工人數(shù)量+生產(chǎn)乙種零件的工人數(shù)量=6602×甲種零件個數(shù)=乙種零件個數(shù)例題

去年秋季，某校七年級和高中一年級招生總?cè)藬?shù)為500名，計(jì)劃今年秋季七年級招生人數(shù)比去年增加20%，高中一年級招生人數(shù)比去年增加15%，這樣，今年秋季七年級和高中一年級招生總?cè)藬?shù)將比去年招生總?cè)藬?shù)增加18%，今年秋季七年級和高中一年級各計(jì)劃招生多少名?分析:本題中的等量關(guān)系是:

去年，七年級人數(shù)+高中一年級人數(shù)=500;

今年，七年級人數(shù)+高中一年級人數(shù)=500(1十18%);

今年，七年級人數(shù)=去年七年級人數(shù)+增長數(shù);

今年，高中一年級人數(shù)一去年高中一年級人數(shù)+增長數(shù).解：設(shè)去年七年級招生x名，高中一年級招生y名。

根據(jù)題意，得

整理，得

解得所以(1+20%)x=(1+20%)x300=360(1+15%)y=(1+15%)x200=230

答:今年秋季七年級計(jì)劃招生360名高中一年級計(jì)劃招生230名。

小明為了測得火車過橋時的速度和火車的長度，在一鐵路橋旁進(jìn)行觀察：火車從開始上橋到完全過橋共用26s，整列火車完全在橋上的時間為14s。已知橋長1000m你能根據(jù)小明獲得的數(shù)據(jù)求出火車的速度和長度嗎?例題大橋：1000m火車火車26s時間火車行駛過的路程=大橋的長度+火車的長度火車火車大橋：1000m14s時間火車行駛的距離=大橋的長度-火車的長度解：設(shè)火車的速度為x米/秒(m/s)，火車的長度為y米(m)。

根據(jù)題意，得

解這個方程組，得

答:火車的速度為50m/s，火車的長度為300m。三元一次方程組04

類似于二元一次方程，我們把含有三個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做三元一次方程。含有三個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組，叫做三元一次方程組。

三元一次方程組中各方程的公共解叫做這個三元一次方程組的解。例題解：由①，得z=x-4④

將④分