2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：平行四邊形 專題練習(xí)題匯編（含答案解析）

第第頁參考答案：1．(1)見解析(2)【分析】（1）由矩形中，O為的中點，易證得，繼而證得；（2）由四邊形是菱形，可得，即可得，繼而可得方程，解此方程即可求得答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵O為的中點，∴，在和中，，∴，∴；（2）由題意知：厘米，厘米，∴（厘米），∵矩形，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴當(dāng)時，四邊形是菱形，∴（厘米）∵，∴，解得：，∴當(dāng)時，四邊形是菱形．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理等，熟記基本性質(zhì)與定理，靈活利用勾股定理計算是解題關(guān)鍵．2．(1)證明過程見詳解(2)①點在運動過程中的度數(shù)是定值，理由見詳解；②見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，是的中點可得是中位線，可證四邊形是正方形，由此可證，可得，根據(jù)，即可求解；（2）①如圖所示，連接，在上取，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證，由此可證，，從而得到是等腰直角三角形，由此即可求解；②如圖所示，連接，在上取，連接，根據(jù)是等腰直角三角形可得，再證明可得，根據(jù)勾股定理，完全平方公式的運用即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵四邊形是正方形，∴，，∵點是對角線的交點，是的中點，∴在中，是中位線，∴，，且，∴，∵，，∴，則，∵，∴，且，∴四邊形是正方形，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．（2）解：①如圖所示，連接，在上取，

∴，即，∴，∵，即，∴，∴，∵四邊形是正方形，是對角線的一半，∴，，在中，，∴，∴，∵是正方形對角線的一半，∴，即，∴，即，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴點在運動過程中的度數(shù)是定值；②證明：如圖所示，連接，在上取，連接，

由①可知，是等腰直角三角形，即，∴，∵四邊形是正方形，是對角線，∴，即，∴，∵，即，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，由（1）可知，，∴是直角三角形，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，完全平方公式的運用等知識的綜合，掌握以上知識，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．3．(1)見解析(2)112.5°【分析】（1）由正方形的性質(zhì)及已知條件可證△BOD△FOD(ASA)，再根據(jù)對邊平行且相等且鄰邊相等的四邊形是菱形即可得出結(jié)論；（2）由正方形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，ADBC，∠FDO=∠DEB，BD=BE，∠BDO=∠DEB，∠FDO=∠BDO，BF⊥DE，∠BOD=90°=∠FOD，DO=DO，△BOD△FOD(ASA)，DF=BD，BD=BE，DF=BE，ADBC，即DFBE，四邊形BEFD是平行四邊形，而BD=BE，四邊形BEFD是菱形；（2）四邊形ABCD是正方形，DBC=45°=∠BDC，由（1）知四邊形BEFD是菱形，DBO=∠EBO=DBC=22.5°，DPB=180°-∠DBO-∠DBC=112.5°．【點睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．（1）（2）見解析；（3）【分析】（1）在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，從而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E為AB的中點，得到AE=BE．又因為∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC；（2）在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因為∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形（3）由∠BAD=60°，∠CAB=30°，可得∠CAH=90°；在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=2BC=2，所以AD=AB=2．設(shè)AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC2=3，在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理列出方程x2+3=（2﹣x）2，解方程即可求得AH的值．【詳解】（1）證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等邊△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E為AB的中點，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．（2）在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四邊形BCFD是平行四邊形（3）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°．在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，∴AB=2BC=2．∴AD=AB=2．設(shè)AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，AC2=22﹣12=3，在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2﹣x）2，解得x=，即AH=．【點睛】本題考查了：（1）折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)．5．(1)見解析(2)12【分析】（1）證明即可得證；（2）由，則這兩個三角形的面積相等，因此四邊形的面積等于正方形的面積，由已知可求得的長，則可求得正方形的面積，從而求出四邊形的面積．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：，，，，，，，由勾股定理得：，，四邊形的面積為12．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角直角三角形的性質(zhì)等知識，其中三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由，，得出四邊形是平行四邊形，由角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，從而推出，即可得證；（2）連接與相交于點，由菱形的性質(zhì)得出，，求出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：如圖，連接與相交于點，∵四邊形是菱形，∴，，∵是的平分線，，∴，∵，∴，，∴．7．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點作于點，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解；（2）過點作于點，證明，得出，，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)已知，可得，過點作交的延長線于點，則四邊形是平行四邊形，得出，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；（3）作關(guān)于的對稱點，連接，取的中點，連接，過點作交的延長線于點，連接，則四邊形是菱形，根據(jù)題意將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則關(guān)于對稱，得出是直角三角形，當(dāng)在上時，取得最小值，勾股定理求得的最小值為，過點作于點，連接，進(jìn)而等面積法得出，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，∵是等邊三角形，∴∵，∴∵，則在中，，∵，則在中，（2）證明：如圖所示，過點作于點，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴∴，∴，∴∵，∴，，∴∴∵，∴，即是的中點，過點作交的延長線于點，∵∴四邊形是平行四邊形，∴又∵∴在中，∴∴；（3）解：如圖所示，作關(guān)于的對稱點，連接，取的中點，連接，過點作交的延長線于點，連接，則，∴四邊形是菱形，∴，∴，則，∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，∴關(guān)于對稱，∴關(guān)于對稱，∵∴是直角三角形，∴當(dāng)在上時，取得最小值，∵，∴，則，在中，∴的最小值為如圖所示，過點作于點，連接，∵是的中點，，則∴，∴，∵∴∴∴當(dāng)取最小值時，的面積為．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握以上知識是是解題的關(guān)鍵．8．（1）詳見解析；（2）3；（3）．【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證≌；在直角中，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；結(jié)合和求出的面積，最后用同高的兩三角形的面積的比等于底的比，即可得出結(jié)論．【詳解】是由折疊得到，，，又四邊形ABCD是正方形，，，，，在和中，≌，正方形ABCD中，，，，設(shè)，則．在直角中，根據(jù)勾股定理，得，解得．；由知，，，由知，≌，，，由知，，，，．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．9．見解析【分析】連接、，證明，得出，即可證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：連接、，∵，，∴，．在和中，∴∴∴四邊形為平行四邊形，∴

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（1）詳見解析；（2）當(dāng)BH=EH時，平行四邊形BFCE為矩形【詳解】試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當(dāng)EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時，都可以證明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊