機(jī)器人建模與控制課件：空間描述和變換

機(jī)器人建模與控制

空間描述和變換2.1.1

笛卡爾直角坐標(biāo)系?交于原點(diǎn)的三條不共面的數(shù)軸(常稱x軸、

y軸和z軸)構(gòu)成空間的放射坐標(biāo)系?三條數(shù)軸(主軸)上度量單位相等的放射坐標(biāo)系稱為空間笛卡爾坐標(biāo)系(

(空間笛卡爾直角右手坐標(biāo)系|空間笛卡爾直角坐標(biāo)系〈空間笛卡爾斜角坐標(biāo)系?本課程采用：空間笛卡爾直角右手坐標(biāo)系所有坐標(biāo)系都采用同樣長度的度量單位空間笛卡爾坐標(biāo)系〈空間笛卡爾直角左手坐標(biāo)系2.1

坐標(biāo)系與向量左手坐標(biāo)系

右手坐標(biāo)系右手定則2.1.2

向量?定義：向量是具有大小和方向的量?幾何上，可以用3維空間的有向線段表示3維向量，如：EF?若兩個(gè)向量長度相等、方向相同，則稱這兩個(gè)向量相等EFEFA2.1

坐標(biāo)系與向量DAO

D

=

EF{A}O

DX八Z八A

OAAA「1]「0]「0]在{A}中，X八A

,

A和Z八A

可分別表達(dá)為

AXA

=

0

YA

=

1

ZA

=

0

|L0」||L0」||L1」|得到3個(gè)向量dx

X八A

,dy

A和dz

Z八A「d

]|Ldz

」|簡潔表達(dá)AD

=

d

|Ldz

」|yxOAD

=dx

X八A

+dy

A

+dz

Z八A

=X八A

AO

DA

,

A

,

AX八

Z八向量，將它分別向作投影Z八{(lán)A}2.1

坐標(biāo)系與向量OX八d

+d

+dz2y2x2?向量的定量表達(dá)Z八A

d

yx向量長度(大小)DAO

D=「d

]d

X八y

Ad

z

Ad

Z八O

DADADx

AA

=AAAAA，?兩個(gè)3維向量OP

與OQ

的內(nèi)積(數(shù)量積)定義為

OP

.OQ

=OP

OQ

cos99[0,幾]?內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量，零向量與任何向量的內(nèi)積等于零?OP

與OQ

垂直(正交)的充要條件是它們的內(nèi)積等于零?方向任意的零向量垂直(正交)于任何向量2.1.3

三維向量的內(nèi)積和外積?

兩個(gè)非零向量間夾角9=Acos2.1

坐標(biāo)系與向量OP

.OQOP

OQ?向量長度OP

=OP

.

OP將OP

向單位向量OQ

作投影，得到的投影向量為(OP

.

OQ

)OQ2.1

坐標(biāo)系與向量?若OQ

是單位向量OP

OP

9.OQ

=cos?在參考系{A}中，OP

和OQ

分別被表達(dá)為「p

]「q

]|Lpz

」||Lqz

」|?OP

和OQ

的內(nèi)積可按下式計(jì)算「qx

]py

pz

qy

|Lqz

」|OP

.OQ

=AP

.AQ

=APT

AQ

=pxAP

=p,

AQ

=q

yxyx2.1

坐標(biāo)系與向量=px

qx

+py

qy

+pz

qz長度定義為OW

=OP

OQ

sin9零向量與任何向量的外積是零向量，非零向量的外積也是零向量。OW

與OP

和OQ

均正交，方向按右手螺旋法則確定：右手大拇指伸直，彎曲其他四指，指向由OP

沿小于180°的方向轉(zhuǎn)向OQ

，大拇指的朝向即是OW

的方向?兩個(gè)3維向量OP與OQ的外積(向量積)是一個(gè)3維向量，記這個(gè)向量為OW

=OP

OQ2.1

坐標(biāo)系與向量夾角θ為0或π的兩個(gè)OPθOQOP

OQ?

對(duì)于右手參考系{A}，有

Z八A

=X八A

人A

,X八A

=A

人Z八A

,A

=Z八A

人X八A?OP

和OQ

以及它們的外積OW

分別表達(dá)為AP

=p

,AQ

=q

,AW

=w

=AP

人AQ|Lpz

」||Lqz

」||Lwz

」|yxyxyx法二「

0||L?py?pz0xpy

]「qx

]?

xx0p?三種方法計(jì)算AW(w

=p

q

?p

q法一

|

x

y

z

z

y〈

wy

=

pz

qx

?

px

qz

|lwz

=

px

qy

?

py

qx其中，計(jì)算結(jié)果中i項(xiàng)、j項(xiàng)和k項(xiàng)的系數(shù)就分別是wx

、wy

和wzijkxyzxyz2.1

坐標(biāo)系與向量「p

]「q

]「w

]AW

=

|

pz|||法三ppppqqq2.2.1

點(diǎn)的位置描述OA

表示{A}的原點(diǎn)X八A、

A

和Z八A

分別表示{A}的x

軸向、y

軸向和z

軸向的單位向量在坐標(biāo)系{A}中，空間任意一點(diǎn)P

的位置可表示為由其坐標(biāo)構(gòu)成的31向量表示A

|

|

3P

=

|py

|

=|Lpz

」|xx即：OAP

=X八A

A

Z八A

AP2.2

點(diǎn)和剛體的描述「p

]OPA2.2.2

剛體的位置和姿態(tài)描述設(shè){B}是某物體的一個(gè)聯(lián)體坐標(biāo)系，即該物體上的任何一個(gè)點(diǎn)在{B}中

的位置已知且始終不變{B}的原點(diǎn)為OB，3個(gè)軸分別用X八B

、

B

和Z八B

表示X八BAO在{A}中表示出{B}的位置和姿態(tài)，即描述了該物體在{A}中的位置和姿態(tài)在{A}中表示出{B}的位置：AOB

3即OA

OB

=X八A

A

Z八A

AOB2.2

點(diǎn)和剛體的描述X八OAZ八Y八Y八OAAABBBX八OX八AOBZ八Z八AZ八]

AR「r13

]Z八A

r23

|Lr33」|Z八=「X八B

L

AA

「r12

]Z八A

r22

|Lr32」|

=「X八B

L

AA

X八=「X八A「r11

]Z八A

r21

|Lr31」|在{A}中表示出{B}的姿態(tài)：

X八B

B

Z八B

=X八A

A「r11

r12

r13

]|||Lr31

r32

r33」|2.2

點(diǎn)和剛體的描述旋轉(zhuǎn)矩陣

R

=

|r21

r22

r23

|BAB

L

AA

」B

X八Y八BY八BY八OAAABBBB任何一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣(對(duì)應(yīng)于剛體的一個(gè)姿態(tài))都屬于SO(3)SO(3)的任何一個(gè)元素都是旋轉(zhuǎn)矩陣SO(3)是全體旋轉(zhuǎn)矩陣的集合剛體的不同姿態(tài)與SO(3)中的不同旋轉(zhuǎn)矩陣是一一對(duì)應(yīng)的r11

r11

r12

r12

r11

r12

r11

r12

r13

=

1,

=

1,

=

0,

人

=

JTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT33r3r222r3r211r3r222r3r211r3r222r3r222r3r211r3r211r3r22.2

點(diǎn)和剛體的描述定義集合(「r11

r12

r13

]||

|SO(3)

=〈

|r21

r22

r23

|

=|Lr31

r32

r33

」|l|3人3對(duì)于SO(3)中的任何一個(gè)矩陣R

=

Rx

Ry

Rz

有R

Rx

=1,R

Ry

=1,R

Rz

=1RT

R

=RT

R

=RT

R

=0x

y

x

z

y

z于是zTyTxTR

Rz

]「1RT

R

|

|0R

Rz

」||L0zTxT對(duì)于任何R=SO(3)，R可逆且

R?1

=RT2.2

點(diǎn)和剛體的描述「RT

R||LR

RxzT「RT

]|

x

||LR

」|zTRT

R

=

|R

|

RxyTRTRx

yR

T

Ry

yRTRz

yRz

=

|R

RxyTy

z

|=

|0

|

1」|0]|010Ryx

x2.2.3

齊次變換矩陣在{A}中表示{B}的位姿

(描述物體在{A}中的位姿)

:齊次變換矩陣

T

=

從

4人4定義集合BA

B

|

R

從SO(3),AOB

從BA剛體的不同位姿與SE(3)中的不同齊次變換矩陣是一一對(duì)應(yīng)的2.2

點(diǎn)和剛體的描述(|「AR

SE(3)=〈|

B|l|L0

0

03

)|J|AO

]1

」|卜R

Rx

=1,R

Ry

=1,R

Rz

=1RTR

=RTR

=RTR

=0x

y

x

z

y

z「RT

]「RTR

RTR

RTR

]「1

0

0]于是，

RTR

=

R

Rx

Ry

Rz

=

R

R

R

R

R

R

0

1

0

|LR

」|

|LR

Rx

R

Ry

R

Rz

」||L001」|對(duì)于任何R=SO(3)，R可逆且

R?1

=RT?

R

與

R

的關(guān)系X八B

B

Z八B

=X八A

A

Z八A

R

X八A

A

Z八A

=

X八B

B

Z八B

RA

B

BABBAABBAzTzTzTzTyTxyyyTxxxyTxyTxzTyTxT?

對(duì)于SO(3)中的任何一個(gè)矩陣

R

=

Rx2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系2.3.1

兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)姿態(tài)B

R

=

AR

?1

=

ARTRz

，有Ry?

AOB

與B

OA

的關(guān)系OA

OB

=X八A

A

Z八A

AOBOB

OA

=

X八B

B

Z八B

B

OA?X八A

A

Z八A

AOB

=X八B

B

Z八B

B

OA

?X八B

B

Z八B

R

AOB

=X八B

B

Z八B

B

OAABOAOAORGO2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系2.3.2

兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)位置B

OA

=?R

AOBABB

PB

OAABBOAOAORGOA

B

「

R

OB

]「

R

?

R

OB

]

|L0001」||L0001」|「

R

R

?

R

R

OB

+

OB

]=

|

|=I|L0

0

0

1

」|AAAAAAAAAAABBAABBAB

AB

AB

AB

AB

AB

AAAAAAAAAAAAAAABABBA?

T

與

T

的關(guān)系「AR

AO

]AT

=|

B

B

|

|L0001

」|BBABBA「B

R

T

=

ABB

OA

]|1

」|「=

||L0B

R002.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系2.3.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)位姿T

T

=

||||B

OA

=?R

AOBABA

B

BB

R

=

AR

?1

=

ART?R

AOB

]ABA

BB

T

=

AT

?1B

PB

OA|

」|1AABB?

對(duì)于任何

T

=

=SE(3)

，T可逆且T

?1

?R

O

|L0

0

0

1

」|「11

0

1]A

|

0

0

1

0

|

B例：已知

BT

=

|

|

，試求

AT「101

?1]解：

A

T

A

T

A

||AT

=

0

0

0

1

=

0

1

0

0

|L

0

0

0

1

」|TTB

「

B

R

?

B

R

OB

]

|10?12?1||1

2

?1

2

0

0

|

|L

0

0

01」|2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系||B

PAPOAOO2.3.4

同一個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)參考系中的描述?齊次變換矩陣

T

=

以及B

P

均已知，求APBA

A

Z八A

AP

AP

=

AOB

+B

P

OA

OB

=X八A

A

Z八A

AOB

OB

P

=X八B

B

Z八B

BP「X八

A

Z八A

AP

=X八A=「X八

A

Z八A

AOB

+X八B

A

Z八A

AOB

+X八ABA「

AP]

「

R

1

=

00

0L|BAAO

]「B

P]

「

B

P]1

1

=

T

1

BBL|BAL|2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系

B

Z八B

=X八A

A

Z八A

RBAZ八]BPZ八]AR

BPAP

=AOB

+R

B

PBAO

P

=「X八B

」A

」BA

L

AX八BLALA

PABB對(duì)于n個(gè)坐標(biāo)系{1},{2},???,{n}，它們的相對(duì)姿態(tài)有鏈乘法則1R

=

1R

2R

n?1Rn

23

n2.3.5

坐標(biāo)系變換的鏈乘法則?

R

、R

和

R

的關(guān)系CABACB2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系Z八B

=X八AZ八C

=X八AZ八]

ARZ八]

ARZ八]

BRX八BX八CZ八C

=X八AZ八C

=

X八BA

」BA

」C

Z八]

AR

BRA

A

」B

CBAAC

B

CAR

=

AR

B

RCBC

X八CX八CB

」C

C

?

T

、T

和

T

的關(guān)系T

=

0

0

C

T

=

0

0

「AR

AO

]「B

R

B

O

]AT

B

T

=|

B

B

|

|

C

C

|「

R

R

R

OC

+

OB

]=|||L0

0

0

1

」|「AR

AO

]=|

C

C

|=ATBBBBBBBAABBACBBABBBBBBBBBBBABAB1O0BARBA1O0CBRCBCABACB對(duì)于n個(gè)坐標(biāo)系{1},{2},???,{n}，它們的相對(duì)位姿有鏈乘法則「

ART

=

CA2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系

|L0001」||L0001」|B

CB

CB

CB

CB

CB

C|L0001」|

CCAP

=AOB

+R

B

PBAAOC

]|1

」|1T

=

1T

2Tn2

3B

C

CAR

B

R

=

ARB

C

CAT

B

T

=

ATn?1Tn?

例：已知操作臂指端的坐標(biāo)系{T}相對(duì)于

操作臂基座{B}的位姿

T，又已知工作臺(tái)

坐標(biāo)系{S}相對(duì)操作臂基座{B}的位置姿態(tài)

T，并且已知工作臺(tái)上螺栓的坐標(biāo)系{G}相對(duì)工作臺(tái)坐標(biāo)系的位姿

T，求螺栓相

對(duì)操作手的位姿即

TGTGSSBTB2.3

兩個(gè)坐標(biāo)系的幾何關(guān)系G

T

S

GT

T

=

B

T

?1

BT

S

TT

S

G

TB

T

=

BT

S

T

G

T9個(gè)矩陣元素有6個(gè)約束：r1

++r3

=

1r1

++r3

=1r11r12

+r21r22

+r31r32

=0r13

=

r21r32

?

r31r22r23

=

r31r12

?

r11r32331122211222r2222212r21212r11

r11

r12

r12

r11

r12

r11

r12

r13

=

1,

=

1,

=

0,

根

=

JTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT33r3r222r3r211r3r222r3r211r3r222r3r222r3r211r3r211r3r2(wx

=py

qz

?pz

qy|〈

wy

=

pz

qx

?

px

qz

|lwz

=

px

qy

?

py

qx「wx

]「px

]「qx

]|wy

|

=

|py

|

根

|qy

||Lwz

」||Lpz

」||Lqz

」||||||

|2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示?旋轉(zhuǎn)矩陣的自由度

11||SO(3)=〈

r21r

=r

r

?r

rr13

]|r33

」|r23

|

=l|Lr31122232(「rrrr3根32.4.1

基本旋轉(zhuǎn)矩陣?用右手定則確定旋轉(zhuǎn)正方向旋轉(zhuǎn)正方向繞

A軸旋轉(zhuǎn)正方向旋轉(zhuǎn)軸繞Z八A軸旋轉(zhuǎn)正方向偏擺(yaw

)2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示繞X八A軸旋轉(zhuǎn)正方向俯仰(pitch)橫滾(roll)2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示?飛機(jī)常用的聯(lián)體坐標(biāo)系?初始的{B}與{A}重合，{B}繞X八A

旋轉(zhuǎn)θ角，求旋轉(zhuǎn)后的R繞x軸旋轉(zhuǎn)θBAX八=「X八A「1]Z八

]|0

||L0」|「

0

]

=「X八「1AR

|0|L00cos9

sin90]?sin9

cos9」|2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示「0

]

A

Z八A

cos9

|Lsin9」|

A

Z八A

?sin9

|Lcos9」|=

Rx

(9)

基本旋轉(zhuǎn)矩陣Z八cos9sin9Acos9

Z八=「X八X八X八B

L

AB

L

AB

L

AB

=

|A

」|

|?sin9A

,

BZ八B

99

AB如：R

=Rz

(9)表示{B}的姿態(tài)是相對(duì){A}繞Z八A軸旋轉(zhuǎn)9「cos90sin9]「c9

0s9]繞y軸旋轉(zhuǎn)θ

Ry

(9)

=

|

0

1

0

|

=

|

0

1

0

||L?sin90cos9」||L?s9

0c9」|如：R

=Ry

(9)表示{B}的姿態(tài)是相對(duì){A}繞A軸旋轉(zhuǎn)9BABA2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示如：R

=Rx

(9)表示{B}的姿態(tài)是相對(duì){A}繞X八A軸旋轉(zhuǎn)9BA「cos9Rz

(9)=sin9

|L

00]

「1||cos9」||L0「1Rx

(9)=0

|L0|||

|0]「c9||1」||L

0?sin9cos900]?s9

c9」|0cos9

sin9繞x軸旋轉(zhuǎn)θ繞z軸旋轉(zhuǎn)θ?sin9|=

|0?s9c900

|

=

|s90c9

s90]|0

|

1」|「r11

]

「0.866]「r12

]「?0.500]「r13

]「0.000]

「10.0]r21

=

0.500

r

0.866r

0.000

OB

=

5.0

|Lr31」|

|L0.000」||Lr32」||L0.000」||Lr33」||L1.000」|

|L0.0

」|「0.866

?

0.500

0.000

10.0]AT

=

0.500

0.866

0.000

5.0

0.000

0.000

1.000

0.0

L

0

0

0

1

」

sin30。=

0.500

|

|L

1

」BBAA「9.098]

=

T

=

AAAAAAAAAAAAB866866.cos30。=0cos30。=0cos30。=0cos30。=0cos30。=0BA1PBA1P?

例：坐標(biāo)系{B}相對(duì)坐標(biāo)系{A}繞Z八A軸旋轉(zhuǎn)30度，沿X八A平移10個(gè)單位，沿

A平移5個(gè)單位。已知BP

=[3.07.00.0]T

，求AP2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示2.4.2

姿態(tài)的歐拉角表示設(shè){A}的X八A和

A

在水平面上，Z八A

垂直于水平面并指向下方以飛機(jī)為例

(其聯(lián)體坐標(biāo)系{G}的X八G

軸方向?yàn)闄C(jī)身向前方向、

G

軸方向?yàn)橛覚C(jī)翼向右方向)

如何將飛機(jī)一個(gè)任意初始姿態(tài)

({G(t0

)}={D})

旋轉(zhuǎn)為基準(zhǔn)姿態(tài)

({G(tf

)}={A})

？可分3步，設(shè)t0

<t1

<t2

<

tf第1步(t0

,t1)：飛機(jī){G}繞{D}的X八D

旋轉(zhuǎn)-

角，

以使左右機(jī)翼高度相等，{G(t1)}={C}第2步(t1,t2

)：飛機(jī){G}繞{C}的

C

旋轉(zhuǎn)-

角，

以使機(jī)頭機(jī)尾高度相等，{G(t2

)}={B}第3步(t2

,tf

)：飛機(jī){G}繞{B}的Z八B

旋轉(zhuǎn)-

角，

以使{G(tf

)}={A}飛機(jī)如何從基準(zhǔn)姿態(tài){A}旋轉(zhuǎn)為姿態(tài){D}？第1步：{G}繞Z八A

旋轉(zhuǎn)

角到{B}，即

R

=Rz

()第2步：{G}繞

B

旋轉(zhuǎn)

角到{C}，即

R

=Ry

()第3步：{G}繞X八C

旋轉(zhuǎn)

角到{D}，即

R

=Rx

()DCCBBA2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示「cosaRZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)=

sina|L

0?sinacosa00]「cosb||0

|

|

0

1」||L?sinbZ-Y-X歐拉角：

R

=R

R

R

=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(Y)物體的姿態(tài)由3個(gè)獨(dú)立的角度a

、b

和Y

來確定DCCBBADA「cosacos

b

cosasin

bsin

Y

?sin

acosY=|

sinacos

b

sinasin

bsin

Y

+cosacos

Y|L?sin

b

cosbsinY2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示0sinb]「1||1

0

|

|00cosb」||L00cosY

sin

Y0]?sinY

cos

Y

」|cosasin

bcos

Y

+sin

asin

Y]sin

asin

bcos

Y

?

cosasinYcos

bcos

Y

」|同理，還存在X-Y-Z

歐拉角、X-Z-Y

歐拉角、Y-X-Z

歐拉角、Y-Z-X

歐拉角和Z-X-Y

歐拉角任何R

=SO(3)可用RZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)表示出來任何RZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)=

SO(3)|還有其它形式的歐拉角嗎？將飛機(jī)從一個(gè)任意初始姿態(tài)

({G(t0

)}={D})

旋轉(zhuǎn)為基準(zhǔn)姿態(tài)

({G(tf

)}={A})

第1步(t0

,t1)：飛機(jī){G}繞{D}的X八D

旋轉(zhuǎn)-

角，

以使左右機(jī)翼高度相等，{G(t1)}={C}第2步(t1,t2

)：飛機(jī){G}繞{C}的

C

旋轉(zhuǎn)-

角，

以使機(jī)頭機(jī)尾高度相等，{G(t2

)}={B}第3步(t2

,tf

)：飛機(jī){G}繞{B}的Z八B

旋轉(zhuǎn)-a

角，

以使{G(tf

)}={A}2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示還有其它形式的歐拉角嗎？在第1步中，{G}繞{D}的Z八D

旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，也能使左右機(jī)翼高度相等，{G(t1)}={C

}第2步：{G}繞{C

}的

C

旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，

以使機(jī)頭機(jī)尾高度相等，{G(t2

)}={B

}第3步：{G}繞{B

}的Z八B

旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，

以使{G(tf

)}={A}2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示還有其它形式的歐拉角嗎？任何R

從SO(3)可用RZ

'Y

'Z

'

(a,b,y)表示出來任何RZ

'Y

'Z

'

(a,b,y)從SO(3)同理，還存在X-Y-X歐拉角、X-Z-X歐拉角、Y-X-Y歐拉角、Y-Z-Y歐拉角和Z-X-Z歐拉角有12種歐拉角表示法「cosa

?sinaRZ

'Y

'Z

'

(a,b,y)=sina

cosa|L

0

0「cosacos

bcosy

?sinasin

y=sinacos

bcosy+cosasin

y|L

?sinbcosy0]「cosb0sinb]「cosy||||1」||L?sin

b

0cos

b」|

|L0?cosacos

bsin

y

?sin

acos

y?sin

acos

bsin

y

+

cosacosysin

bsinyZ-Y-Z歐拉角：

R

=R

，R

，R

=Rz

(a)Ry

(b)Rz

(y)物體的姿態(tài)由3個(gè)獨(dú)立的角度a

、b

和y

來確定DCC，BB，ADA2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示?sin

y

0]|0

1」|cosasin

b]sinasin

bcos

b

」|0

|

|

0

1

0

|

|

sin

ycos

y

0

|2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示2.4.3

姿態(tài)的固定角表示視頻展示：按腰-肩-肘的順序旋轉(zhuǎn)2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示視頻展示：按肘

?肩-腰的順序旋轉(zhuǎn)任何R

從SO(3)可用RXYZ

(y,b,a)表示出來任何RXYZ

(y,b,a)從SO(3)三次繞固定軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)和以相反順序三次繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)相同同理，還存在Z-Y-X固定角、Y-Z-X固定角、Z-X-Y固定角、X-Z-Y固定角和Y-X-Z固定角、Z-Y-Z固定角、X-Y-X固定角、X-Z-X固定角、Y-X-Y固定角、Y-Z-Y固定角和Z-X-Z固定角X-Y-Z固定角：飛機(jī)如何從基準(zhǔn)姿態(tài){A}旋轉(zhuǎn)為姿態(tài){D}？

第1步：{G}繞X八A

旋轉(zhuǎn)y角到{B，，}，即B

R

=Rx

(y)第2步：{G}繞

A

旋轉(zhuǎn)b

角到{C，，}，即C

R

=Ry

(b)Rx

(y)第3步：{G}繞Z八A

旋轉(zhuǎn)a角到{D}，即

R

=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(y)DA，，A，，A「cosaRXYZ

(y,b,a)=sina|L

0?sinacosa00]「cosb0||0

|

|

0

11」||L?sinb0「cosacosbcosasinbsiny?sinacos

y=|

sinacosb?sinasinbsiny+cosacos

y|L?sin

b

cos

bsin

y2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示cosasinbcosy+sinasin

y

]?sinasinbcosy?cosasin

ycos

bcos

y

」|sinb]「1||0

|

|0

cos

b」||L00cosy

siny0]?siny

cosy」||教材附錄B羅列了24種角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣定義，即12種歐拉角表示法和12種固定角表示法根據(jù)所研究問題的具體特點(diǎn)，選擇1個(gè)合適的歐拉角或固定角表示法，往往可以給姿態(tài)處理帶來方便任何姿態(tài)都可由3個(gè)基本旋轉(zhuǎn)操作的相乘來表示，如：R

=Rz

(a)Ry

()Rx

()矩陣乘法不滿足交換律，如：Rz

(a)Ry

()Rx

()Ry

()Rz

(a)Rx

()歐拉角表示法與固定角表示法的對(duì)偶性源自操作順序從左到右的順序

(右乘)

：先操作Rz

(a)，再操作Ry

()，最后操作Rx

()

則

R

=Rz

(a)Ry

()Rx

()由Z-Y-X歐拉角表示，操作是相對(duì)于聯(lián)體坐標(biāo)系的從右到左的順序

(左乘)

：先操作Rx

()，再操作Ry

()，最后操作Rz

(a)則

R

=Rz

(a)Ry

()Rx

()由X-Y-Z固定角表示，操作是相對(duì)于固定坐標(biāo)系

(基礎(chǔ)坐標(biāo)系)

的DADADA2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示右乘聯(lián)體左乘基xθy9=Arctan(x)=Atan(x)定義域：R值域：(?/2,/2)9=Atan2(y,x)定義域：R2

(0,0)

值域：(?,]2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示2.4.4

歐拉角表示和固定角表示的一個(gè)缺點(diǎn)兩種反正切函數(shù)已知R

=SO(3)，求a,b,y

=(?T,T]使得R

=RZ

'Y

'X

'

(a,b,y)命題：Rz

(土T+

a)Ry

(土T?b)Rx

(土T+y)=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(y)證明：Rz

(土T+a)Ry

(土T?b)Rx

(土T+y)「cos(土T+a)?sin(土T+a)0]「cos(土T?b)0sin(土T?b)]「100]||||||=

|

sin(土T+

a)

cos(土T+

a)

0

|

|

0

1

0

|

|0

cos(土T+

y)

?sin(土T+

y)

|

|L

001」||L?sin(土T?b)0cos(土T?b)」||L0sin(土T+y)cos(土T+y)」|2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示0]「?cos

b

0sin

b

]「1||||0

|

|

0

1

0

|

|01」||L?sin

b

0?cos

b」||L00]「?cosb

||0

|

|

01」||L?sin

bsin

b

]「1||0

|

|0

?cos

b」||L0「?cosa|=

|

?sina|L

0「cosa|=

|

sina|L

00]|sin

y

|

?cosy」|0

]|?sin

y

|

cos

y」|sina?

cosa00]「?1

||0

|

|

01」||L

00?cosy?siny0]「1||0

|

|0

?1」|

|L0?sinacosa0=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(y)0cosy

siny0?100?10010命題：對(duì)于任何(a,b,Y)=(?T,T]根根(?T,T]，有Rz

(g(a))Ry

(f(b))Rx

(g(Y))=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(Y)且(g(a),f(b),

g(Y))=(?T,T]根[?T2,T2]根(?T,T]一個(gè)姿態(tài)若能被一組俯仰角絕對(duì)值大于90°的Z-Y-X歐拉角或X-Y-Z固定角描述，那么也能被另一組俯仰角絕對(duì)值不大于90°的Z-Y-X歐拉角或X-Y-Z固定角描述因此可規(guī)定(a,b,Y)=(?T,T]根[?T

2,T

2]根

(?T,T]命題：Rz

(土T+a)Ry

(土T?b)Rx

(土T+Y)=

Rz

(a)Ry

(b)Rx

(Y)記集合=(?T,?T

2)(T2,T](|?T

?bg:(?T,T]→(?T,T],g(a)=〈

,2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示whenb

=(?T,?T

2)

when

b=(T2,T]when

a

=(?T,0]whena=(0,T]令函數(shù)f:→[?T

2,T

2],f(b)=〈

,|l

T

?

b,(|T

+a|l?T

+a,cos

b

>

0

cos

b

=

b=Atan2(

?r31

,)若cos

b

>0a

=Atan2(r21

,r11

)Y

=

Atan2(r32

,r33

)2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示只能得到一個(gè)關(guān)于α與γ之差的結(jié)果a

?

Y

=

Atan2

(r23

,

r22

)對(duì)應(yīng)這種姿態(tài)的Z-Y-X歐拉角或X-Y-Z固定角不唯一cosasin

bcosY

+sinasin

Y

]?sin

asin

bcos

Y?cosasinYcos

bcos

Y

」|「cosacos

bRZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)=sinacos

b|L?sin

bcosasin

bsin

Y

?

sinacosY?sinasinbsinY+cosacos

Ycos

bsin

Y已知R

=SO(3)，求(a,b,Y)=(?","]〉[?"2,"2]〉(?","]使得R

=RZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)cosacosY

+sinasin

Y]「

0||sinacosY

?

cosasin

Y

|

=

|

00

」||L?1?sin(a

?Y)cos(a

?

Y)]|cos(a

?Y)sin(a

?Y)

|0

0

」|cosasin

Y

?

sinacosYsinasin

Y

+

cosacosY0「0b

=時(shí)0

|L?1r13

]「0||r23|

=

|

00」||L?1a+Y=Atan2(?r23

,r22

)b

=

?

"

時(shí)若cos

b

=0:12220rr22.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示某些情形下，同一姿態(tài)可以用無窮組歐拉角(固定角)表示視頻展示：肩關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)?22.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示某些情形下，同一姿態(tài)可以用無窮組歐拉角(固定角)表示視頻展示：肩關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)

2其他非對(duì)稱型歐拉角和非對(duì)稱型固定角類似可證Rz

(a)Rx

()Ry

(),Ry

(a)Rx

()Rz

(),Ry

(a)Rz

()Rx

(),Rx

(a)Rz

()Ry

(),Rx

(a)Ry

()Rz

(

)的β角度范圍均可限為[–π/2,π/2]；當(dāng)–π/2<β<π/2時(shí)，類似可得求取唯一歐拉角或固定角的公式；若β等于–π/2或π/2，有無窮組歐拉角解和固定角解，只能確定α+γ或α–γ的值，相應(yīng)的公式可類似導(dǎo)出2.4

姿態(tài)的歐拉角表示和固定角表示對(duì)稱型歐拉角和對(duì)稱型固定角類似可證Rz

(a)Rx

()Rz

(),Ry

(a)Rx

()Ry

(),Ry

(a)Rz

(

)Ry

(),Rx

(a