銳角三角函數(shù)的應(yīng)用2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)講義（下冊）（人教版）

20242025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期同步復(fù)習(xí)講義（下冊）（人教版）銳角三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1、理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的表示法；2、掌握特殊角的三角函數(shù)值，會計算含有特殊角的三角函數(shù)的運算式；3、會運用銳角三角函數(shù)解直角三角形。教學(xué)重難點重點：特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形；難點：通過做高線構(gòu)造直角三角形。教學(xué)內(nèi)容銳角三角函數(shù)的應(yīng)用銳角三角函數(shù)的應(yīng)用知識點一：銳角三角函數(shù)的應(yīng)用1、仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖（1）；2、坡角與坡度：坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則．坡度越大，坡面就越陡．如圖（2）；3、方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達為北（南）偏東（西）××度.如圖（3）?？键c一：與仰角、俯角有關(guān)的實際問題【例1】如圖，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，測得小山坡腳C點與建筑物水平距離BC=25米，若山坡上E點處有一涼亭，且涼亭與坡腳距離CE=20米，某人從建筑物頂端A點測得E點處的俯角為48°．求建筑物AB的高（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin48°≈0.7，cos48°≈0.6，tan48°≈1.1，sin

【答案】57.0米【詳解】解：如圖，過E作EM⊥BF于M，

∵∠DCF=30°，CE=20米，∴EM=CE?sin過E作EN⊥AB，交AB于點N，BN=EM=10米，NE=BM，∠BNE=90°，在Rt△CME中，CM=CE?∴NE=BM=BC+CM=(25+103∵α=48°，∴∠EAN=90°?α=42°，在Rt△ANE中，AN=∴AB=AN+BN=57.0米，答：建筑物AB的高約為57.0米【變式訓(xùn)練1】河南省登封市境內(nèi)的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存年代最久的佛塔，堪稱世界上最早的筒體建筑．某校數(shù)學(xué)社閉的同學(xué)利用所學(xué)知識來測量嵩岳寺塔的高度，如圖，CD是嵩岳寺塔附近不遠處的某建筑物，他們在建筑物CD底端D處利用測角儀測得嵩岳寺塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處利用測角儀測得嵩岳寺塔底端A的俯角為35°，已知建筑物CD的高為15米，AB⊥AD，CD⊥AD，點A，D在同一水平線上，求嵩岳寺塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin

【答案】約為37.1米【詳解】解：由題意得CD=15米，∠BDA=60°，在Rt△CAD中，tan∴AD=CD在Rt△ABD中，tan∴AB=AD·tan∴AB=15tan35°?tan答：嵩岳寺塔AB的高度約為37.1米．【變式訓(xùn)練2】某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度CD，如圖所示，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無人機沿水平線AF方向繼續(xù)飛行60米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長為無人機距地面的垂直高度，點M，C，D在同一條直線上，其中tanα=3，MC=60

（1）求無人機的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】（1）1803米（2）河流的寬度CD【詳解】（1）解：解：由題意得：AF∥∴∠ACM=∠FAC=α，在Rt△AMC中，MC=603，∴AM=MC?tan∴無人機的飛行高度AM為1803（2）解：過點B作BN⊥DM，垂足為N，

則AB=MN=60，AM＝∵AF∥∴∠FBD=∠BDC=30°，在Rt△BDN中，DN=∴DM=MN+DN=60+540=600，∴CD=DM?MC=600?603∴河流的寬度CD約為496米．考點二：與坡角、坡比有關(guān)的應(yīng)用問題【例2】如實景圖，由華菱漣鋼集團捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動工，2020年2月28日竣工，彰顯了國企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”.該橋的引橋兩端各由2個斜面和一個水平面構(gòu)成，如示意圖所示:引橋一側(cè)的橋墩頂端E點距地面5m，從E點處測得D點俯角為30°，斜面ED長為4m，水平面DC長為2m，斜面BC的坡度為1∶4，求處于同一水平面上引橋底部AB的長.（結(jié)果精確到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）【解析】如圖，延長CD，與AE相交于F，過點D，C兩點分別作AB的垂線交AB于點G，H，則在Rt△DEF中，∵DE=4，∠EDF=30°，∴EF=2，DF=DE·cos30°=4×32=23=AG∴GH=DC=2，CH=AF=52=3.在Rt△BCH中，∵CH∶BH=1∶4，∴BH=12.AB=AG+GH+BH=23+2+12≈17.46≈17.5（m）答：引橋橋墩底端A點到起點B之間的距離為17.5m.【變式訓(xùn)練1】如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i=1:2，斜坡AB的長為65m，斜坡的高度為AHAH⊥BC，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°

（1）求車庫的高度AH；（2）求點B與點C之間的距離（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【答案】（1）6m（2）【詳解】（1）根據(jù)題意，得AHBH所以，sin∠ABH=所以，AH=AB·sin所以，車庫的高度AH為6m（2）根據(jù)題意，得BH=2AH=12m，CH=所以，BC=CH?BH≈24?12≈12m所以，點B與點C之間的距離為12m【變式訓(xùn)練2】如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達斜坡的底部點處，然后沿斜坡前行到達最佳測量點處，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，已知斜坡的斜面坡度，且點，，，，在同一平面內(nèi)，求古塔的高度?！驹斀狻拷猓哼^作于，于，，，斜坡的斜面坡度，，設(shè)，，，，，，，，，考點三：與方位角有關(guān)的實際問題【例3】如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時在C處接到海上搜救中心從B處發(fā)來的救援任務(wù)，此時事故船位于B處的南偏東25°方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28°方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東58°方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請估計幾分鐘可以到達事故船A處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45，【答案】估計8分鐘可以到達事故船A處【詳解】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：BC=1260m，∠ABD=28°+25°=53°，∠ACB=58°?28°=30°設(shè)AD=xm在Rt△ABD中，BD=在Rt△ADC中，CD=∵CD+BD=BC，∴3x+解得：x≈508.1，∴AD≈508.1m在Rt△ADC中，∠ACD=30°∴AC=2AD=1016.2m∴1016.2÷120≈8（分鐘），∴估計8分鐘可以到達事故船A處．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，A、B兩城市相距200km．現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）【答案】解：過點P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC?tan30°，BC＝PC?tan45°．∵AC+BC＝AB，∴PC?tan30°+PC?tan45°＝200，即：PC+PC＝200，PC＝200，∴PC＝×200＝×200＝100（3﹣）≈100×（3﹣1.732）≈126.8＞100．答：森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護區(qū)的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區(qū)．【變式訓(xùn)練2】小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走到達C處，再沿北偏東方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【詳解】解：如圖，作于E，于F，，四邊形BCFE是矩形，，，設(shè)，則，在中，，，在中，，，，，解得：，，，，，由勾股定理得，，，答：公園北門A與南門B之間的距離約為．考點四：解直角三角形的應(yīng)用之實物建模問題【例4】如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三輪車，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿AB的長為60cm，點D是AB的中點，前支撐板DE=30cm，后支撐板EC=40cm，車桿AB與BC所成的

（1）如圖2，當(dāng)支撐點E在水平線BC上時，支撐點E與前輪軸心B之間的距離BE的長；（2）如圖3，當(dāng)座板DE與地面保持平行時，問變形前后兩軸心BC的長度有沒有發(fā)生變化？若不變，請通過計算說明；若變化，請求出變化量．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos【答案】（1）36cm；（2）變化了，長度增加了4cm．【詳解】（1）解：如圖1，過點D作DF⊥BE于點F，由題意知BD=DE=30cm∴BF=BDcos∠ABC=30×3∴BE=2BF=36cm（2）如圖2，過點D作DM⊥BC于M，過點E作EN⊥BC于點N，由題意知四邊形DENM是矩形，∴MN=DE=30cm在Rt△DBMBM=BDcos∠ABC=30×3在Rt△CEN中，CE=40∴由勾股定理可得CN=C則BC=18+30+32=80cm，原來BC=36+40=76cm80?76=4cm∴變形前后兩軸心BC的長度增加了4cm

【變式訓(xùn)練1】我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線與海面的夾角，海面下方的魚線與海面垂直，魚竿與地面的夾角．求點O到岸邊的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角，此時魚線被拉直，魚線，點O恰好位于海面．求點O到岸邊的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【詳解】（1）過點作，垂足為，延長交于點，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸邊的距離為．（2）過點作，垂足為，延長交于點，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即點到岸邊的距離為．【變式訓(xùn)練2】某數(shù)學(xué)小組要測量學(xué)校路燈P﹣M﹣N的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角儀進行測量，測量結(jié)果如下：測量項目測量數(shù)據(jù)從A處測得路燈頂部P的仰角αα＝58°從D處測得路燈頂部P的仰角ββ＝31°測角儀到地面的距離AB＝DC＝1.6m兩次測量時測角儀之間的水平距離BC＝2m計算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：如圖：延長DA，交PE于點F，則DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，設(shè)AF＝xm，∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，∴PF＝AF?tan58°≈1.6x（m），在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，∴tan31°＝＝≈0.6，∴x＝1.2，經(jīng)檢驗：x＝1.2是原方程的根，∴PF＝1.6x＝1.92（m），∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），∴路燈頂部到地面的距離PE約為3.5米．1、交通安全心系千萬家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測速儀C和測速儀E到路面之間的距離CD＝EF＝7m，測速儀C和E之間的距離CE＝750m，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25°，在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60°，小汽車在隧道中從點A行駛到點B所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內(nèi)）．（1）求A，B兩點之間的距離（結(jié)果精確到1m）；（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點A行駛到點B是否超速？通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【解答】解：（1）由題意得：∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，在Rt△ACD中，CD＝7米，∴AD＝≈＝14（米），在Rt△BEF中，EF＝7米，∴BF＝＝≈4.1（米），∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），∴A，B兩點之間的距離約為760米；（2）小汽車從點A行駛到點B沒有超速，理由：由題意得：760÷38＝20米/秒，∵20米/秒＜22米/秒，∴小汽車從點A行駛到點B沒有超速．2、下圖是測溫員使用測溫槍的側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm（即MP

（1）求∠PMB的度數(shù)；（2）測溫時規(guī)定槍身端點，A與額頭距離范圍為3~5cm，若測得∠BMN=68.6°，小紅與測溫員之間距離為50cm．問此時槍身端點（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92,【答案】（1）∠PMB=66.4°（2）端點A與額頭距離在規(guī)定范圍，理由見解析【詳解】（1）解：如圖，過點B作BH⊥MP．

可得四邊形ABHP是矩形，∴HP=AB=8.5，∴MH=MP?HP=25.3?8.5=16.8，在Rt△BMH中，cos∵cos∴∠BMH=66.4°，即∠PMB=66.4°；（2）解：端點A與額頭距離在規(guī)定范圍．理由如下：如圖，延長PM交FG于Q，

∵∠PMB=66.4°，∠BMN=68.6°，∴∠NMQ=180°?∠PMB?∠BMN=180°?66.4°?68.6°=45°，∵Rt△NMQ中cos∴MQ=MN?2∴端點A與小紅額頭的距離為50?MQ?MP=50?19.8?25.3=4.9，∵3<4.9<5，∴端點A與額頭距離在規(guī)定范圍．3、如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35′．求堤壩高及山高DE．（sin26°35′

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米．【詳解】解：過B作BH⊥AE于H，

∵坡度i為1:0.75，∴設(shè)BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，過B作BF⊥CE于F，則EF=BH=8，設(shè)DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i為1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤壩高為8米，山高DE為20米．4、如圖，一艘軍艦在A處測得小島P位于南偏東60°方向，向正東航行40海里后到達B處，此時測得小島P位于南偏西75°方向，求小島P離觀測點B的距離．【答案】202【詳解】解∶過點P作PD⊥AB于D，在AB上取一點C，使∠PCD=30°，則∠CPB=∠CBP=15°，CP=CB，∵∠PAC=90°60°=30°，∴∠PCD=∠PAC=30°，∴PA=PC=BC，∵PD⊥AB，∴AD=CD，PD=12PA，AD=CD=3PD=32PA=設(shè)PD=x海里，則PA=2x海里，BD=CD+BC=（3x+2x）海里，∵AB=2AD+BC=40，∴40=23x+2x，解得∶x=10（31），∴PA=20（31）=（20320）海里，BD=3×10（31）+20320=（103+10）海里，∴PB=PD2+5、圖①是一種平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長AB＝115mm，支撐板長CD＝70mm，板AB固定在支撐板頂點C處，且CB＝35mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°時，求點A到直線DE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【解答】解：（1）過點C作CG∥DE，過點A作AH⊥CG于H，過點C作CF⊥DE于點F，則點A到直線DE的距離為：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD?sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC?sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64