02zal矢量分析-0910培訓(xùn)講學(xué)

1.3標(biāo)量場的梯度場的概念場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的；場的分類1空間某一區(qū)域定義一個標(biāo)量函數(shù)，其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可能隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一個標(biāo)量場。在標(biāo)量場中，各點的場量是隨空間位置變化的標(biāo)量。一個標(biāo)量場可以用一個標(biāo)量函數(shù)來表示。例如，在直角坐標(biāo)下，如溫度場，電位場，高度場。1.3.1標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場2等值面的定義例如：等溫面、等位面在研究標(biāo)量場時，常用等值面形象、直觀地描述物理量在空間的分布狀況。等值面的特點常數(shù)c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面族充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。3由此可知，方向?qū)?shù)是標(biāo)量場u(M)在點M0處沿l方向?qū)嚯x的變化率。注：方向?qū)?shù)與點M0和l方向都有關(guān)，因此，標(biāo)量場中，在一個給定點M0處沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不同的。52.方向?qū)?shù)的計算公式方向?qū)?shù)的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，但其具體的計算公式卻與坐標(biāo)系有關(guān)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在直角坐標(biāo)系中：設(shè)l方向的方向余弦為cosα、cosβ、cosγ，即：則得到直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計算公式為：6例題：求數(shù)量場在點M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

解：l方向的方向余弦為：7而：數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為：在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)：81.3.3梯度從標(biāo)量場的某一點出發(fā)有無窮多個方向。一般來說，沿這些不同方向上的變化率的大小(方向?qū)?shù))是不同的，必然存在一個變化最大的方向。為此，引入梯度的概念。1.梯度的概念標(biāo)量場的梯度是一個矢量。標(biāo)量場變化最大的方向為標(biāo)量場梯度的方向，其大小為最大的變化率或者最大的方向?qū)?shù)。記作gradu，即：2.梯度的計算式梯度的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，但梯度的具體表達(dá)式與坐標(biāo)系有關(guān)。9在直角坐標(biāo)系中，變化率最大的方向上的單位矢量表示為最大的變化率（方向?qū)?shù)）表示為令則矢量是在給定點處的一常矢量，與方向l無關(guān)。因此上式中，當(dāng)與的方向一致時，即cos(,)=1時，標(biāo)量場在該點處的方向?qū)?shù)最大，即沿矢量方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為矢量的模。根據(jù)梯度的定義，就是梯度。10在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為引入哈密頓算符“▽”，在直角坐標(biāo)系中表示為哈密頓算符的雙重性質(zhì)：哈密頓算符是矢量哈密頓算符具有微分特性則標(biāo)量場的梯度可表示為這表明標(biāo)量場u的梯度可認(rèn)為是算符▽作用于標(biāo)量函數(shù)u的一種運算。又稱為矢性微分算符11在圓柱坐標(biāo)系中，哈密頓算符“▽”和梯度的表達(dá)式為在球坐標(biāo)系中，哈密頓算符“▽和梯度的表達(dá)式為123.梯度的性質(zhì)（1）標(biāo)量場u的梯度是一個矢量場，通常稱▽u為標(biāo)量場u所產(chǎn)生的梯度場；（2）標(biāo)量場u(M)中，在給定點沿任意方向l的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。（3）標(biāo)量場梯度的大小表示標(biāo)量場的最大變化率。（4）標(biāo)量場u(M)中每一點M處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù)u(M)增加的方向。即，梯度就是該等值面的法向矢量。134.梯度的運算法則1415

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簡單描述18矢量場空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù)，其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可能隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一個矢量場。如速度場，電場，磁場。一個矢量場可以用一個矢量函數(shù)來表示。一個矢量場可以分解為三個分量場。例如，在直角坐標(biāo)下，1.4矢量場的通量與散度其中的三個分量分別是沿x、y、z方向的分量。19對于矢量場，可用一些有向曲線來形象描述矢量在空間的分布，這些有向曲線稱之為矢量線。矢量線的疏密程度代表矢量線的大小。在矢量線上，任一點的切線方向都與該點的場矢量方向相同。在直角坐標(biāo)系中，矢量場表示為

1.4.1矢量場的矢量線矢量線定義矢量線性質(zhì)20M(x,y,z)是場中的矢量線上的任意一點，其矢徑與其微分矢量分別為點M處的矢徑微分與矢量線相切，即點M處與共線，//，于是有

這就是矢量線的微分方程組。解此方程組即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。21

簡單描述【例1.4.1】設(shè)點電荷q位于坐標(biāo)原點，它在空間任一點M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度矢量為：式中，q、ε均為常數(shù)，

=exx+eyy+ezz為M點的位置矢量。求的矢量線方程并畫出矢量線圖。22

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簡單描述241.4.2矢量場的通量分析和描繪矢量場的性質(zhì)時，矢量場穿過一個曲面的通量是一個重要的基本概念。設(shè)S是一空間曲面，dS為其上的面元，取一個與此面元相垂直的單位矢量，即法向單位矢量，則稱矢量：為面元矢量。即：法向單位矢量的取法有兩種情況：25閉合曲面情況非閉合曲面情況26通量的概念將矢量場與其中的任一面元矢量的標(biāo)量積

·定義為矢量穿過面元矢量的通量。將曲面S上各面元的·相加，則得到矢量穿過曲面S的通量，即：例如：在電場中，電位移矢量D在某一曲面S上的面積分就是矢量D通過該曲面的電通量；在磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B在某一曲面S上的面積分就是矢量B通過該曲面的磁通量。如果S是一個閉合曲面，則通過閉合曲面的總通量可表示為：27若從面元矢量的負(fù)側(cè)穿到的正側(cè)時，與相交成銳角，則通過面元的通量為正值；反之，二者相交成鈍角，通過面元dS的通量為負(fù)值。通過閉合曲面的總通量則表示穿出閉合面S內(nèi)的正通量與進(jìn)入閉合曲面S的負(fù)通量的代數(shù)和。通量的物理意義正通量源281.4.3矢量場的散度矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內(nèi)每一點的通量特性，為此，引入矢量場的散度。1.散度的概念在矢量場中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向M點，即趨近于零時，若下列極限:存在，則稱此極限為矢量場在點M處的散度。29由散度定義可知，散度表示單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量。302.散度的計算式散度與ΔV的形狀無關(guān)，只要在取極限過程中，所有尺寸都趨于零即可。31一些常用的散度運算恒等式321.4.4散度定理散度定理或高斯定理散度定理表明，矢量場的散度在體積V上的體積分等于該矢量場限定