備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題06平面向量含解析

易錯(cuò)點(diǎn)06平面對(duì)量—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題【典例分析】（2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范用是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，依據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面對(duì)量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)潔題目.【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)1．遺漏零向量【例1】已知與平行，則值的個(gè)數(shù)是________．【錯(cuò)解】由得，即，解之得（舍），∴的值只有一個(gè)．【錯(cuò)因】零向量與任一向量平行，當(dāng)時(shí)，為零向量，也與平行．【正解】由得，解得，∴的值應(yīng)有兩個(gè)．易錯(cuò)點(diǎn)2．弄錯(cuò)兩個(gè)向量的夾角【例2】在中,,則的值為()A20B-20CD【錯(cuò)解】因?yàn)?則=20,故選A.【錯(cuò)因】弄錯(cuò)向量與的夾角．【正解】由題意,故-20，選B.易錯(cuò)點(diǎn)3．混淆向量與向量的模致誤【例3】?jī)闪谢疖噺耐徽九_(tái)沿相反方向開(kāi)去，行駛了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯(cuò)誤的是()與為平行向量B．與為模相等的向量C．與為共線向量D．與為相等向量【錯(cuò)解】由向量的基本概念知與方向相反，∴與是平行向量，即共線向量．又∵兩列火車所行路程相同，∴與的模相等．∴與是模相等且方向相反的向量，即A錯(cuò)．【錯(cuò)因】路程相同對(duì)應(yīng)向量的模相等.【正解】由向量的基本概念知與方向相反，∴與是平行向量，即共線向量．又∵兩列火車所行路程相同，∴與的模相等．∴與是模相等且方向相反的向量，即D錯(cuò)．易錯(cuò)點(diǎn)4．認(rèn)為與的夾角為鈍角（銳角）致錯(cuò)【例4】設(shè)平面對(duì)量，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【錯(cuò)解】由與的夾角為鈍角，所以，即，解得，故選C．【錯(cuò)因】忽視運(yùn)用時(shí)，其中包含了兩向量反向的狀況．【正解】由與的夾角為鈍角，所以，即，解得，又當(dāng)與共線且反向時(shí)，，得．所以的取值范圍是且，故選A．易錯(cuò)點(diǎn)5．記錯(cuò)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系【例5】已知向量，，若，則m＝.【錯(cuò)解】∵，又，∴，得.【錯(cuò)因】把“若，，則”錯(cuò)記成“”.【正解】∵，又，∴，得.易錯(cuò)點(diǎn)6：不能將向量與三角函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系【例6】若平面對(duì)量滿意，，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是．【錯(cuò)解】以為鄰邊的平行四邊形的面積為：，所以，．【錯(cuò)因】忽視三角函數(shù)有界性應(yīng)用致誤【正解】以為鄰邊的平行四邊形的面積為：，所以，又因?yàn)?，所以，即且，所以．易錯(cuò)點(diǎn)7：忽視向量的方向致誤【例7】已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且，則()（A）點(diǎn)P在線段AB上（B）點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上（C）點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上（D）點(diǎn)P不在直線AB上【錯(cuò)解】因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P在線段AB上，故選A.【錯(cuò)因】表示P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，而不是在AB上.【正解】因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，故選B.【變式練習(xí)】1.已知中，，則是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定【答案】C【解析】，所以，故選C．2.若向量，，與夾角為鈍角，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】因與的夾角為鈍角,解得或(1)又由與共線且反向可得(2)由(1),(2)得的范圍是3.設(shè)向量，，則是的（）條件．A．充要B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】若則，若，有可能或?yàn)?，故選C．4．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：5．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，則，即都不正確，即答案A，B，C都不正確．而，則，應(yīng)選答案D．6．在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)滿意，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即，則.故選：C.7．已知與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，兩邊平方可得，又因?yàn)榕c的夾角為，所以，所以，解得.故選：D8．已知向量，則的最大值為（）A．1 B． C．3 D．9【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.9．已知向量，，若向量與的夾角為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，解得：本題正確選項(xiàng)：10．設(shè)向量，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，即，解得.當(dāng)與同向時(shí)，設(shè)（），則，所以，解得，從而且.故選：C11．中，，，的外接圓圓心為O，對(duì)于的值，下列選項(xiàng)正確的是（）A．12 B．10 C．8 D．不是定值【答案】A【解析】如圖，取中點(diǎn)D，中點(diǎn)E，連接，，則：，；∴.故選:A12．如圖,半徑為的扇形的圓心角為,點(diǎn)在上,且,若,則()A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，，即，即，又，，，解得，，故選A.13．在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】中設(shè)，，，，即，，，，，，，，，依據(jù)直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，，P為直線上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得,設(shè)，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.【真題演練】1．【2024年高考全國(guó)III卷理數(shù)】6.已知向量a，b滿意，，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面對(duì)量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.2．【2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷】已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，的模為2，依據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A．【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面對(duì)量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)潔題目.3．【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚运?，解得：，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題.4．【2024年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.5．【2024年高考天津】如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面對(duì)量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.6．【2024年高考北京】已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿意，則_________；_________．【答案；【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7．【2024年高考浙江】已知平面單位向量，滿意．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解實(shí)力，屬中檔題.8．【2024年高考江蘇】在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使