初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽分類專題培訓(xùn)集+初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽分類專題培訓(xùn)集+初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練

（命題及三角形邊角不等關(guān)系）

一、選擇題：

1>如圖8-1,已知AB=10,P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作兩個(gè)等邊三角

形APC和BPD,則線段CD的長(zhǎng)度的最小值是（）

A.4B.5C.6D.5（V5-1）

2、如圖8-2,四邊形ABCD中NA=60。，ZB=ZD=90°,AD=8,AB=7.則BC+CD等

于()

A.6百B.5A/3C.4V3D.3g

3、如圖8-3,在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF〃BC,且梯形AEFD與梯

形EBCF的周長(zhǎng)相等，則EF的長(zhǎng)為（）

45

A.

T

圖8-3

4、已知AABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、（：且口=人+8,B=C+A,y=C+B,則Q、8、丫中，銳角的個(gè)數(shù)最多

為（）

A.1B.2C.3D.O

5、如圖8-4,矩形ABCD的長(zhǎng)AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的

長(zhǎng)和折痕EF的長(zhǎng)分別為（）.

—D人口

A.4cmVlOc/nB.5cmVlOc/n

B\/FC

C.4cm2yf3cmD.5cm2>[3cmcR%

圖8-4

6、一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,a,b,另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,b,其中a>b,若兩個(gè)三角

形的最小內(nèi)角相等，則巴的值等于()

b

A6+]B.百+]c.6+2)岳+2

'22?-2~'-2~

7、在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是()

A.OB.1C.3D.5

8、若函數(shù)y=ZMA>0）與函數(shù)y=1的圖象相交于

A,C兩點(diǎn)，AB垂直x軸于B,則^ABC的面積為

x

()

A.1B.2C.kD.k2

二、填空題

1、若四邊形的一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)為d,另一組對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a.b,則d與竺2的大小關(guān)系是—

2

2、如圖8-5,AAZ、BB，分別是Nt：AB、/DBC的平分線，若AA'=DDf=AD,則NBAC的度數(shù)為

///////￡///////////////////////////

圖8-70

3、

7、9、11,將其中不同的三個(gè)數(shù)組成三數(shù)組，比如（3、5、7）、（5、9.11）……問(wèn)有多少組中的三個(gè)

數(shù)恰好構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)

4、如圖8-6,P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=3,PB=4,PC=S,則PD=

5、如圖8-7,甲樓樓高16米，乙樓座落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的夾

角為30°,此時(shí)求①如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？.②如果甲

樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是米。

6、如圖8-8,在△ABC中，ZABC=60°,點(diǎn)P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得NAPB=NBPC

=NCPA,且PA=8,PC=6,貝PB=____

三、解答題

1、如圖89AD是AABC中BC邊上的中線，求證：AD<-（AB+AC）

2

圖8-9

2、己知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為P,問(wèn)這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)度在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？

3、如圖8-10,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD是角平分線,DE〃BC交AC于點(diǎn)E,DF〃AC交BC于點(diǎn)F。

求證：①四邊形CEDF是正方形。

@CD2=2AE?BF

圖8-10

4、從1、2、3、4……、2004中任選k個(gè)數(shù)，使所選的k個(gè)數(shù)中一定可以找到能構(gòu)成三角形邊長(zhǎng)的三個(gè)數(shù)

（這里要求三角形三邊長(zhǎng)互不相等），試問(wèn)滿足條件的k的最小值是多少？

參考答案

一、選擇題

1、如圖過(guò)C作CE_LAD于E,過(guò)D作DF_LPB于F,過(guò)D作DG_LCE于G。

顯然DG=EF='AB=5,CD2DG,當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，有CD=DG=5,所以

2

CD長(zhǎng)度的最小值是5。

2、如圖延長(zhǎng)AB、DC相交于E,在RSADE中，可求得AE=16,DE=86，于

是BE=AE-AB=9,在RtZXBEC中，可求得BC=36,CE=6百，于是CD=

DE-CE=2A/3BC+CD=5。

3、山已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF

.,.AD+AE+FD=EB+BC+CF=-(/4D+AB+BC+CD)=11

AEDF

VEF/7BC,AEF/7AD,

EBFC

設(shè)絲二竺“AE=LAB=￡,DF=LCD=2

EBFC&+1k+\k+1k+\

6k4k13k+3.13Z+3

AD+AE+FD=3+--------+---------=-----------=11解得k=4

k+}Z+lk+\2+1

作AH〃CD,AH交BC于H,交EF于G,

則GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6

..EGAE4.“_4242439

?——，??七CJ-BH-：.EF=EG+GF=—+3=—

BHAB55555

4、假設(shè)a、B、丫三個(gè)角都是銳角，即CV90。,3<90°,Y<90°,也就是A+BV90°,B+C<90

C+A<90°oV2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°與A+B+C=180°矛盾。故a、B、丫不可能

都是銳角，假設(shè)a、B、丫中有兩個(gè)銳角，不妨設(shè)a、B是銳角，那么有A+BV90°,C+AV90。，

???A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°這也不可能，所以a、B、丫中至多只有一個(gè)銳

角，如A=20°,B=30°,C=130°,a=50°,選A。

5、折疊后，DE=BE,設(shè)DE=x,貝ljAE=9-x,在RtZ\ABC中，AB2+AE2=BE2,即3?+(9-幻？=/，解

得x=5,連結(jié)BD交EF于O,則EO=FO,BO=DO

VBD=V92+32=3y[w/.DO=-V10

2

在RtADOE+，EO=^DE1-DO1=^52-(1V10)2=乎???EF=V10o

選Bo

6、設(shè)AABC中，AB=AC=a,BC=b,如圖D是AB上一點(diǎn)，有AD=b,因a>b,故

ZA是4ABC的最小角，設(shè)NA=Q,則以b,b,a為三邊之三角形的最小角亦為Q,

從而它與△ABC全等，所以DC=b,NACD=Q,因有公共底角NB,所以有等

腰AADCs等腰ACBD.從而得變二毀,即2=凹二2,令、=@,即得方

ABBCabb

程工2一%一1=0,解得％=q=蟲(chóng)±1。選B。

b2

7、U由于任意凸多邊形的所有外角之和都是360°,故外角中鈍角的個(gè)數(shù)不能超過(guò)3個(gè)，又因?yàn)閮?nèi)角與

外角互補(bǔ)，因此，內(nèi)角中銳角最多不能超過(guò)3個(gè)，實(shí)際上，容易構(gòu)造出內(nèi)角中有三個(gè)銳角的凸10邊形。

8、Ao設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（居y）,則孫=1,故^ABO的面積為,盯=，,又因?yàn)閍ABO與△CBO同底

等高，因此aABC的面積=2義△ABO的面積=1。

二、填空題

1、如圖設(shè)四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB和CD的中點(diǎn)分別為M、N,MN=d,

另一組對(duì)邊是AD和BC,其長(zhǎng)度分別為a、b,連結(jié)BD,設(shè)P是BD的

中點(diǎn)，連結(jié)MP、PN,WljMP=-,NP=-,顯然恒有當(dāng)

222

AD〃BC,由平行線等分線段定理知M、N、P三點(diǎn)共線，此時(shí)有

d=-----,所以d與-----的大小美系是-----（或----->J）o

2222

2、12°。設(shè)NBAC的度數(shù)為x,VAB=BB'，NB'BD=2x,ZCBD=4x

'.?AB=AA'.'NAA'B=NABA'=ZCBD=4xVZAZAB=i(180°-X)

.-.-(180°-X)4-4X+4^=180°,于是可解出X=12°。

2

3、以3,5,7,9,11構(gòu)成的三數(shù)組不難列舉出共有10組，它們是(3,5,7)、(3,5,9)、(3,5,11).

(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,9)、(5,7,11)、(5,9,11)、(7,9,11)。由3+5

<9,3+5<11,3+7V11可以判定（3,5,9）、（3,5,11）、（3,7,11）這三組不能構(gòu)成三角形的邊

長(zhǎng)，因此共有7個(gè)數(shù)組構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)。

4、過(guò)P作AB的平行線分別交DA、BC于E、F,過(guò)P作BC的平行線分別交AB、

CD于G、Ho

設(shè)AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d>

AP2=a2+c2CP2=b2+d\

則nilf

BP2=b2+c2,DP2=d2+a2

于是A尸+。尸2=B尸尸2故Dp?=人產(chǎn)MP?—BP2=32+52-42=18,

DP=SV2

5、①設(shè)冬天太陽(yáng)最低時(shí)，甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，那么圖中CD的長(zhǎng)度就是甲樓的影子

在乙樓?上的高度，設(shè)CE_LAB于點(diǎn)E,那么在aAEC中，ZAEC=90°,ZACE=30°,EC=20米。

所以AE=ECtanZACE=20tan300=20x*-*lI.6(米)。T

3

16

CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米)

②設(shè)點(diǎn)A的影子落到地面上某一點(diǎn)C,則在4ABC中，ZACB=30°,

AB=16米，所以3c=AB-cotNAC8=16xJi*27.7(米)。所

以要使甲樓的影子不影響乙樓，那么乙樓距離甲樓至少要27.7米。

6、提示：由題意NAPB=NBPC=/CPA=120°,設(shè)NPBC=a,ZABC=60°

則NABP=60°-a,AZBAP=ZPBC=a,

APBP

.,.△ABP^ABPC,——=——,Bp2=AP?PC

BPPC

BP=dAPPC=V48=46

三、解答題

1、證明：如圖延長(zhǎng)AD至E,使AD=DE,連結(jié)BE。

VBD=DC,AD=DE,ZADC=ZEDB

.,.△ACD^AEBD，AC=BE

在aABE中，AEVAB+BE,即2ADVAB+AC/.AD<—(AB+AC)

2

2、答案提取：

在aABC中，不妨設(shè)aWbWcVa+b>c=>a+b+c>2c即p>2c=c<K,

2

另一方面c2a且c2b=2c2a+b'.3c>a+b+c=p=>c>—a

因此

32

3、證明：@VZACB=90°,DE//BC,DF〃AC,ADE±AC,DE1BC,

從而NECF=NDEC=NDFC=90°。

,/CD是角平分線，DE=DF,即知四邊形CEDF是正方形。

②在RtZXAED和RtZ\DFB中，VDE/7BC.*.ZADE=ZB

:.RtAAED^RtADFB

AEDEr~r~

:.——=——,BPDE?DF=AE-BFVCD=V2DE=V2DF,

DFBF

：,CD1=4i.DE-42DF=IDE-DF=2AE-BF

4、解：這一問(wèn)題等價(jià)于在1,2,3,……,2004中選k—1個(gè)數(shù)，使其中任意三個(gè)數(shù)都不能成為三邊互不

相等的一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，試問(wèn)滿足這一條件的k的最大值是多少？符合上述條件的數(shù)組，當(dāng)k=4

時(shí)，最小的三個(gè)數(shù)就是1,2,3,由此可不斷擴(kuò)大該數(shù)組，只要加入的數(shù)大于或等于己得數(shù)組中最大

的兩個(gè)數(shù)之和，所以，為使k達(dá)到最大，可選加入之?dāng)?shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和，這樣得：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597①

共16個(gè)數(shù)，對(duì)符合上述條件的任數(shù)組，a］，a2……an顯然總有就大于等于①中的第i個(gè)數(shù)，所以nW

16<k-l,從而知k的最小值為17。

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)第二十二講面積問(wèn)題與面積方法幾何學(xué)的產(chǎn)

生，源于人們測(cè)量土地面積的需要.面積不僅是幾何學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容，而且也是月來(lái)研究幾何學(xué)的一個(gè)有力工具.

下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下.

(1)三角形的面積

(i)三角形的面積公式

S=g嘰=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=pr,

其中a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，h、是邊a上的高，p=](a+

b+c)是半周長(zhǎng)，r是AABC的內(nèi)切圓半徑.

(ii)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

(iii)兩個(gè)等底三角形的面積之比等于高之比：兩個(gè)等高三角形的面積之比等于底邊之比；兩個(gè)三角形面積之比等于底、高乘積之

比.

(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

(2)梯形的面積

梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半.

(3)扇形面積

1eoil

S=rrl--xrJ--ar,

226002

其中r為半徑，1為弧長(zhǎng)，。為弧1所對(duì)的圓心角的度數(shù)，a是弧度數(shù).

1.有關(guān)圖形面積的計(jì)算和證明

例1如圖2-127,半圓AB的圓心是C,半徑是1,點(diǎn)D在半圓

AB上，且CE1AB,分別延長(zhǎng)BD,AD到E,F,使得圓弧AE和

BF分別以B和A為它們的圓心，圓弧EF以D為圓心，求陰影部分

AEFBDA的面積.

△ABD是一個(gè)等腰直角三角形，NABD=NBAD=45°,BD=&.

由作圖知

解因?yàn)镃D_LAB,AC=CB,且4ABD內(nèi)接于半圓，由此可得NEDF=/ADE=90°,DE=BE-BD=2-72,

所以，陰影部分AEFBDA的面積是

S扇形EDF+S扇形ABF+S扇形8轉(zhuǎn)一$△4勵(lì)一5半|9皿8

90°45°

7T2?+客管

W”加磊360°

11

-921-尹1

2K-TCA/2-1

例2已知凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且△ABC,AACD,ZiABD的面枳分別為Si=5,S2=10,S3=6.求△ABO的面積

（圖2-128）.

解首先，我們證明與4ACD的面積比等于B0與DO的比.過(guò)B,D分別作AC的垂線，垂足為E,F.于是RSBE0

sRtADFO,所以言=言.所以

1

q--AC-BE

Q&MC2

s一_5

Q&ABC--AC-DF

2

BEBO

-DF-DO-

由題設(shè)

BOS?Sj51

訪=莖=可=而=5

BO=一1

BD3

設(shè)S&AOB=S,則

SBO11

S7"BD"3

所以

S=7-S>=?X6=2.

333

例3如圖2?129,AD,BE,CF交于△ABC內(nèi)的點(diǎn)P,并將△ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形的面積已在圖中給出.求

△ABC的面積.

02-129

分析如果能把未知的兩個(gè)小三角形的面積求出，那么△ABC的面積即可得知.根據(jù)例1,這兩個(gè)面積是不難求出的.

解設(shè)未知的兩個(gè)小三角形的面積為X和y,則

BD_40_84+x

DC-30-70+y

84+x4

70+v-3

AE7084+x

■?=---=----------

ECy40+30

84-x_70

70"V

①+②得

704y

70+y370，y

再由②緡x=56.因此

S^ABC=844-70+56+35+40+30=315.

02-130

例4如圖2-130,通過(guò)AABC內(nèi)部一點(diǎn)Q引平行于三角形三邊的直線，這些直線分三角形為六個(gè)部分，已知三個(gè)平形四邊形部分的

面積為Si，$2，S3,求△ABC的面積.

解為方便起見(jiàn)，設(shè)

SAQDG=S/1,SAQIE=S;2,SAQFH=S,3,則

Sts，「黃；.

同理可得

從①，②，③中可以解得

ccS2s3S3S]S.S.

+S2+S3+常+式+京

例5在一個(gè)面積為1的正方形中構(gòu)造一個(gè)如圖2-131所示的正方形：將單位正方形的每一條邊n等分，然后將每個(gè)頂點(diǎn)和它相對(duì)的

頂點(diǎn)最接近的分點(diǎn)連接起來(lái).如果小正方形（圖中陰影部分）的面積恰為181求‘小n"的”值跳

解如圖2-131,過(guò)F作BC的平行線交BG于H,則NGHF=NCED,ZFGH=ZDCE=90°,故

RtAFGHcoRtADCE,N-黑，

FHDE

FG'市.由

即

n2-n-90=0>

所以n=10.

2.利用面積解題

有的平面幾何問(wèn)題，雖然沒(méi)有直接涉及到面積，然而若靈活地運(yùn)用面積知識(shí)去解答,往往會(huì)出奇制勝，事半功倍.

例6在△ABC內(nèi)部或邊界上任取一點(diǎn)P,記P到三邊a,b,c的距離依次為x,y,z求證：ax+by+cz是一個(gè)常數(shù).

證如圖2/32,連結(jié)PA,PB,PC,把AABC分成三個(gè)小三角形，則

SAABC=SAPAB+SAPCB+S^PCA

111

=2C*Z+2a*X+2b*y，

所以a\+by+cz=2S"BC,

即ax+by+cz為常數(shù).

說(shuō)明若AABC為等邊三角形，則

x+y+z=2SdABC=h,

此即正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離和為常數(shù)，此常數(shù)是正三角形的高.

例7如圖2-133,設(shè)P是AABC內(nèi)任一點(diǎn)，AD,BE,CF是過(guò)點(diǎn)P且分別交邊BC,CA,AB于D,E,F.求證:

蟲(chóng)+理+以1

ADBECF

證首先，同例2類似，容易證明

SAABC他

同樣地

$APCAPEPF

二"瓦’二■而

所以

F,D十PE,十PF,二_-‘-A-PB-C--+-S-^-P-C-A-+--^-dP-A-B-

ADBECFSdABC

說(shuō)明本例的結(jié)論很重要，在處理三角形內(nèi)三條線交于一點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，常常可以用這一結(jié)論去解決.

例8如圖2-134,已知D,E,F分別是銳角三角形ARC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且AD,BE,CF相交于點(diǎn)P,AP=BP=CP=6,設(shè)PD=x,

PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的值.

解山上題知

PDPEPF

---+---+---=1

ADBECF

xyz

即----+-----+-----

x+6y+6z+6

所以

666

----+1------+1-------

x+6y+6z+6

333.

x+6y+6z+6

去分母整理得

3(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+324

=xyz+6：xy+yz+zx)+36(x+y+z)+216,

所以xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.

練習(xí)二十二

1.填空:

(1)直角三角形斜邊上的中線為1,周長(zhǎng)為2+而，則它的面積是

(2)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，周長(zhǎng)為8,則這個(gè)三角形的面積是

(3)四邊形ABCD中，ZA=30°,ZB=ZD=90°,AB=AD,AC=1,則四邊形ABCD的面積是一

(4)梯形ABCD中，AB〃CD,對(duì)角線AC與BD相交于0.若S叢BO=P2,S&cDO=q2，則SABCD=____.

AT2

（5）在AABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，—S

JbC5△ABC=40.若BE,CD相交于F,貝|SADEF=

2.E,F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，若4CEF,AABE,ZXADF的面積分別是3,4,5,求4AEF的面積.

3.已知點(diǎn)P,Q,R分別在AABC的邊AB,BC,CA上，且BP=PQ=QR=RC=1,求AABC的面積的最大值.

4.在凸五邊形ABCDE中，SAABC=SABCD=SACDE=SADEA=S.：,EAB:=1?CE與AD相交于F,求SACFD.

5.在面角三角形ABC中，NA=90°,AD,AE分別是高和角平分線，且△ABE,ZkAED的面積分別為Si=30,S?=6,求aADC的面積S.

6.設(shè)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，AD,BE,CF過(guò)點(diǎn)P并且交邊BC,CA,AB于點(diǎn)D,E,F.求證:

些+巴￡=2

ADBECF

7.已知AABC中，DE〃BC交AB于D,交AC于E,AM為BC邊上的中線，與DE相交于N,求證：DN=NE.

全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

一、選擇題

1、已知。=蚯一1,b=2^2—^6,c=m一2,那么a,b,c的大小關(guān)系是【

(A)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b

2、若m'=〃+2,〃'=m+2(mHa),則m‘一的值為【】

(A)1(B)0(C)-l(D)-2

3、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，并設(shè)M=|a+b+c|一象-b+c|+|2a+b|一|2a—b|,

則［)

(A)M>0(B)M=O(C)A4<0(D)不能確定M為正、為負(fù)或?yàn)?

4、直角三角形48c的面積為120,且N847=90°,4。是斜邊上的中線，過(guò)。作D￡_L48于￡,連CE交4D于F,則

△AFE的面積為【

(A)18(B)20(022(D)24

5、圓。?與儀圓外切于點(diǎn)4兩圓的一條外公切線與圓。?相切于點(diǎn)8,若48與兩圓的另一條外公切線平行，則圓

Ch與圓。2的半徑之比為【】

(A)2：5(B)l：2(01：3

6、如果對(duì)于不小于8的自然數(shù)"，當(dāng)3〃+1是一個(gè)完全平方數(shù)是，〃+1都能表示成個(gè)k完全平方數(shù)的和，那么k

的最小值為【】

(A)l(B)2(C)3(D)4

二、填空題

7、已知EdOb<0,化簡(jiǎn)，|~—丁|1|~+7|=-------------------

8、如圖，7根圓柱形筷子的橫截面圓的半徑均為r,則捆扎這7根筷子一周的繩子和長(zhǎng)度為

9、甲乙兩人到特價(jià)商店購(gòu)買商品，已知兩人購(gòu)買商品的件數(shù)相等，且每件商品的單價(jià)只有8元和9元，若兩人購(gòu)

買商品一共花費(fèi)了172元，則其中單價(jià)為9元的商品有件

10、設(shè)N=23x+92y為完全平方數(shù)，且不超過(guò)2392,則滿足上述條件的切正整數(shù)對(duì)

(x,y)共有對(duì)

三、解答題

a+b=8

11、已知：a，b,c三數(shù)滿足方程組試求方程bx'-\-cx—a=0的根。

ab-c2+8缶=48

12、如圖，等腰三角形48c中，P為底邊BC上任意一點(diǎn),過(guò)P作兩腰的平行線分別與48,AC相交于QR兩點(diǎn),

又7是P關(guān)于直線月。的對(duì)稱點(diǎn)，證明：P在△48C的外接圓上。

13、試確定一切有理數(shù)「，使得關(guān)于x的方程"+(r+2)x+r—l=0有且只有整數(shù)根。

參考答案

?、BDCBCC

3m

2、2m+6)r3、124、27

15

1、由方程組得：a、b是方程X2-8X+C?—次pc+48=0的兩根

<5=—4(c—8^2)2$：0,c=4yf2a=b=\

所以原方程為X2+^/2X-1=0

一/+加一干一季

X.—c，X2=0

2、連結(jié)8P'、P'R、P'C、P'P

(1)證四邊形4PPQ為平行四邊形

(2)證點(diǎn)4、R、。、P1共圓

(3)證△BP，。和△〃在為等腰三角形

(4)證/78八=/4:7,原題得證。

3、⑴若r=0,x=：,原方程無(wú)整數(shù)根

(2)當(dāng)rHO時(shí)，xi+x2=—xiX2=^~~

消去r得：4XIX2-2(xi+x2)+1=7得(2XL1)(2x2—1)=7

由xi、X2是整數(shù)得：r=—r=l

o

第4講比例線段初步

SD原離備阿饗

一.平行線分線段成比例定理:

則空=空ABDEABAC

如下圖，如果乙〃4〃(

ACDF~AC~~DF~DE~~DF

二.平行線分線段成比例定理的推論:

ADAEDE

如圖，在三角形中，如果￡>E〃8C,則——=---

ABAC~BC

三.平行的判定定理：

An

如上圖，如果有絲=絲，那么

ABAC

四.兩個(gè)常見(jiàn)模型：

如圖，已知支線EF//BC,直線所分別與直線A3、AC.AD相交于E、F、G點(diǎn)、,則變二%.

DCFG

一?比例式的計(jì)算

【例I】已知@=3,求（1）（2）色也的值.

b5ab

【例2】已知2=W，則i的值是（）

a13a+b

【例3】已知3+b)：(a-b)=7：3,求(1)-；(2)*+2

bcr+b

【例4】已知曰=2=Z,那么3”-y+2z=_____；若(％+2y)：y=4,那么(3x—2y)：(4x+5y)=_____

4252x+3y

二.基礎(chǔ)訓(xùn)練

【例5】如圖，已知直線a〃b〃c,直線〃?、〃分別與。、b、c交于A、C、E、B、D、F.若AC=4,CE=6,

BD=3,則所=.

【例6】如圖，I、"JAF：FB=2z5fBC：CD=4：\,則AE：EC=

【例7】如圖，DE〃BC,且=若AB=5,AC=10,求AE的長(zhǎng).

【例8】證明下列各組問(wèn)題，并對(duì)各組的兩個(gè)圖形進(jìn)行比較：

(1)如圖，已知直線砂〃3C,直線所分別與直線AB、AC.AO相交于E、尸、G點(diǎn)，求證：—.

DCFG

(2)如圖，已知Z)E〃8C,EF//CD,求證：AD2=AFAB.

【例9】如圖，己知△ABC,作。石〃8c交45于O,交4c于E,連C。、BE交于點(diǎn)F.

求證:空二四：⑶坦+交

CFABABBF

【例10】如圖，已知4）為△ABC的8c邊上的中線，P為線段3。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作4）的平行線交于Q,交

G4的延長(zhǎng)線于R.求證：PQ+PR=2AD.

【例11】加圖，AB±BD,CDA.BD,垂足分別為8、D,AC和BD相交于點(diǎn)E,EFLBD,垂足為F.證明:

111

~\B^~CD~~EF?

【例12］如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,48=12,C￡>=9,過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)。作所〃C。交A。，8C于E,廠,

求￡F的長(zhǎng).

二.鞏固提局?

【例13］如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,40=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF〃BC,且梯形與

梯形EBB的周長(zhǎng)相等，求所的長(zhǎng).

【例14］如圖，在AABC中，D、E為AC、A8上的點(diǎn)，BD、CE相交于0，取的中點(diǎn)“，連結(jié)OF.若

AD=-CD,AE=-BE.求證：OF〃BC.

【例15］如圖，2BCD中，AC與比）交于。點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交CD于F,EO的延長(zhǎng)線交45于

ABAD,

G,求證:-------------=2.

DFDE

0

AB

G

【例16】在四邊形ABC。中，AC、%）相交于.O.,直線/〃8。，且與AB、DC.BC、AO及AC的延長(zhǎng)線分

別相交于點(diǎn)“、N、R、S和尸，求證：PMPN=PRPS.

【例17】已知，如圖，四邊形ABC。，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于E、F,對(duì)角線BD〃EF,AC的延長(zhǎng)線交所于G.求

il：EG=GF.

【例18］已知O是平行四邊形ABC。內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作所〃分別交A。、BC于E、F,又過(guò)O作

GH//BC,分別交AB、CD于G、H；連結(jié)8E,交G"于尸；連結(jié)DG,交EF于Q.如果OP=OQ,

求證：平行四邊形438是菱形.

【例19】已