人教版九年級上冊數(shù)學(xué)《圓》單元綜合檢測(含答案)

人教版數(shù)學(xué)九年級上學(xué)期《圓》單元測試考試時(shí)間:100分鐘;總分:120分一、單選題(每小題3分，共30分)1．(2019·全國初三課時(shí)練習(xí))下列直線是圓的切線的是()A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．到圓心的距離等于半徑的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．過圓直徑外端點(diǎn)的直線2．(2019·全國初三課時(shí)練習(xí))如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA=8，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長是()A．8 B．18 C．16 D．143．(2019·臺灣中考真題)如圖，直角三角形的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、點(diǎn)，根據(jù)圖中標(biāo)示的長度與角度，求的長度為何？()A． B． C． D．4．(2019·遼寧中考真題)如圖，CB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)A，若∠A=25°，則∠C的度數(shù)是()A.25° B.30° C.35° D.40°5．(2019·遼寧中考真題)如圖，BC是的直徑，A，D是上的兩點(diǎn)，連接AB，AD，BD，若，則的度數(shù)是()A． B． C． D．6．(2019·湖南中考真題)如圖，邊長為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為()A．1 B． C．2 D．7．(2019·山東初三期中)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中線，以C為圓心，5cm為半徑作⊙C，則點(diǎn)M與⊙C的位置關(guān)系為()A.點(diǎn)M在⊙C上 B.點(diǎn)M在⊙C內(nèi) C.點(diǎn)M在⊙C外 D.點(diǎn)M不在⊙C內(nèi)8．(2018·浙江初三期中)如圖:在⊙O中，AD平分圓周角∠BAC，AE⊥BC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，求∠C的度數(shù)為()A.50° B.30° C.44° D.45°9．如圖，為的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)在上，如果，那么為()A. B.C. D.10．(2018·杭州市下沙中學(xué)初三月考)如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm．則OF的長度是()A． B． C． D．3二、填空題(每小題4分，共24分)11．(2019·山東初三期中)如圖CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，如果CD＝10，AB＝8，那么CE的長為_____．12．(2019·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，則∠OCD的度數(shù)是_____°．13．(2019·無錫市碩放中學(xué)初三期中)如圖，AB是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，若∠A=30°，則∠AOB=_________．14．(2019·浙江初三期中)已知在圓O中，AB是直徑，點(diǎn)E和點(diǎn)D是圓O上的點(diǎn)，且∠EAB=45°，延長AE和BD相交于點(diǎn)C，連接BE和AD交于點(diǎn)F，BD=12，CD=8，則直徑AB的長是_____．15．(2019·江蘇初三期中)如圖，A是半徑為2的⊙O外的一點(diǎn)，OA＝4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為___________16．(2019·無錫市碩放中學(xué)初三期中)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F(xiàn)是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的⊙F交AB于點(diǎn)D，E是線段BC上一點(diǎn)，且ED=EB，則EF的最小值為_______________.三、解答題一(每小題6分，共18分)17．(2018全國初三單元測試)已知:如圖，在⊙O中，弦AB和CD相交，連接AC、BD，且AC＝BD．求證:AB＝CD．18．(2019·山東初三期中)已知AB，AC為弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求證:MN∥BC且MN＝BC．19．(2019·江蘇東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中)如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝16cm，AE＝4cm．(1)求⊙O的半徑;(2)求OF的長．四、解答題二(每小題7分，共21分)20．(2018全國初三課時(shí)練習(xí))如圖，已知點(diǎn)O為等腰三角形ABC的底邊AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓分別交AC，BC于點(diǎn)D，E.求證:(1)∠AOE＝∠BOD;(2).21．(2019·無錫市甘露學(xué)校初三期中)如圖，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N(1)求證:∠AOC＝135°;(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的長．22．(2019·陜西延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院附中初三期中)如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的?與相交于點(diǎn)．(1)判斷直線與?的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2)若，求的長．五、解答題三(每小題9分，共27分)23．(2019·貴州中考真題)如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與BD交于點(diǎn)E，且AC＝BD，連接AD，BC．(1)求證:△ADB≌△BCA;(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的長;(3)在(2)的條件下，延長AB至點(diǎn)P，使BP＝2，連接PC．求證:PC是⊙O的切線．24．(2019廣東中考真題)如圖1，在中，，是的外接圓，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接.(1)求證:;(2)求證:是的切線;(3)如圖2，若點(diǎn)是的內(nèi)心，，求的長.25．(2016安徽初三月考)如圖，⊙是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn)，連接PF。(1)若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長;(結(jié)果保留π)(2)求證:OD=OE;(3)求證:PF是⊙的切線。

參考答案一、單選題(每小題3分，共30分)1．(2019·全國初三課時(shí)練習(xí))下列直線是圓的切線的是()A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．到圓心的距離等于半徑的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．過圓直徑外端點(diǎn)的直線【答案】B【解析】根據(jù)切線的判定對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解:A、割線與圓也有公共點(diǎn)但不是切線，故不正確;

B、符合切線的判定，故正確;

C、應(yīng)為垂直于圓的半徑的且過半徑外端點(diǎn)的直線，故不正確;

D、應(yīng)為過圓的直徑外端點(diǎn)并與該直徑垂直的直線，故不正確;

故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.2．(2019·全國初三課時(shí)練習(xí))如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA=8，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長是()A．8 B．18 C．16 D．14【答案】C【解析】根據(jù)PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，根據(jù)切線長定理可得:PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，繼而可得△PCD的周長=PA+PB．【詳解】解:∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，

∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，

∴△PCD的周長=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．

故選:C．【點(diǎn)睛】此題考查了切線長定理．此題難度不大，注意從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．3．(2019·臺灣中考真題)如圖，直角三角形的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、點(diǎn)，根據(jù)圖中標(biāo)示的長度與角度，求的長度為何？()A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，利用切線長定理得到，，，然后根據(jù)勾股定理得到，最后解方程即可．【詳解】解:設(shè)，∵直角三角形的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、點(diǎn)，，，，在中，，解得，即的長度為．故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心:三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了切線長定理．4．(2019·遼寧中考真題)如圖，CB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)A，若∠A=25°，則∠C的度數(shù)是()A.25° B.30° C.35° D.40°【答案】D【解析】連接OB，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，得到∠OBC=90°，根據(jù)條件得到∠COB的度數(shù)，然后用三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)即可．【詳解】解:如圖:連接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出∠COB的度數(shù)，然后在三角形中求出∠C的度數(shù)．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(2019·遼寧中考真題)如圖，BC是的直徑，A，D是上的兩點(diǎn)，連接AB，AD，BD，若，則的度數(shù)是()A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算的度數(shù)．【詳解】連接AC，如圖，∵BC是的直徑，∴，∵，∴．故答案為．故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和推論，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理和推論．6．(2019·湖南中考真題)如圖，邊長為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為()A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】連接AO、CO，CO的延長線交AB于H，如圖，利用內(nèi)心的性質(zhì)得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CAB=60°，CH⊥AB，則∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定義計(jì)算出OH即可．【詳解】設(shè)的內(nèi)心為O，連接AO、BO，CO的延長線交AB于H，如圖，∵為等邊三角形，∴CH平分，AO平分，∵為等邊三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即內(nèi)切圓的半徑為1．故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心:三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．7．(2019·山東初三期中)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中線，以C為圓心，5cm為半徑作⊙C，則點(diǎn)M與⊙C的位置關(guān)系為A.點(diǎn)M在⊙C上 B.點(diǎn)M在⊙C內(nèi) C.點(diǎn)M在⊙C外 D.點(diǎn)M不在⊙C內(nèi)【答案】A【解析】根據(jù)題意可求得CM的長，再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】如圖，∵由勾股定理得AB==10cm，∵CM是AB的中線，∴CM=5cm，∴d=r，所以點(diǎn)M在⊙C上，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解決的根據(jù)是點(diǎn)在圓上?圓心到點(diǎn)的距離=圓的半徑．8．(2018·浙江初三期中)如圖:在⊙O中，AD平分圓周角∠BAC，AE⊥BC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，求∠C的度數(shù)為()A.50° B.30° C.44° D.45°【答案】C【解析】連接OD、CD，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得∠AOD=148°，根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=74°，∠BCD=∠BAD=30°，進(jìn)而即可求得∠ACB=44°．【詳解】解:連接OD、CD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝16°，∴∠AOD＝180°﹣16°﹣16°＝148°，∴∠ACD＝74°，∵∠BAC＝60°，AD平分圓周角∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝74°﹣30°＝44°故選:C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)建等腰三角形以及同弧所對的圓周角．9．如圖，為的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)在上，如果，那么為()A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAC＝90°，則∠OAB＝35°，所以可求∠AOB＝110°．【詳解】解:∵∠OAC＝90°，∴∠OAB＝90°?55°＝35°，∴∠AOB＝180°?35°×2＝110°．故選:C．【點(diǎn)睛】此題運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)．10．(2018·杭州市下沙中學(xué)初三月考)如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm．則OF的長度是()A． B． C． D．3【答案】A【解析】根據(jù)垂徑定理得出BE的長，利用勾股定理求出AB，進(jìn)而利用中位線定理得出OF即可．【詳解】解:連接AB，OB，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，∴BE＝4cm，在Rt△ABE中，AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝AB＝．故選:A．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理以及中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出BE的長．二、填空題(每小題4分，共24分)11．(2019·山東初三期中)如圖CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，如果CD＝10，AB＝8，那么CE的長為_____．【答案】2【解析】根據(jù)垂徑定理求出DE=4,在Rt△OED中勾股定理,求出OE=3,即可解題.【詳解】解:連接OD,∵弦CD⊥AB于E，如果AB＝10，CD＝8，∴DE=4,OD=5,(垂徑定理)在Rt△OED中,OE=3(勾股定理)∴AE=5-3=2.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理,勾股定理,屬于簡單題,作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.12．(2019·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，則∠OCD的度數(shù)是_____°．【答案】40°．【解析】連接BO，∵∠A=50°，∴∠BOC=100°，∵OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BOD=∠COD=50°，∴∠OCD=40°.故答案為40°.點(diǎn)睛:熟練運(yùn)用垂徑定理以及圓周角與圓心角之間的關(guān)系.13．(2019·無錫市碩放中學(xué)初三期中)如圖，AB是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，若∠A=30°，則∠AOB=_________．【答案】60°【解析】分析:根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．詳解:∵AB是⊙O的切線，∴∴故答案為:60°．點(diǎn)睛:本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．14．(2019·浙江初三期中)已知在圓O中，AB是直徑，點(diǎn)E和點(diǎn)D是圓O上的點(diǎn)，且∠EAB=45°，延長AE和BD相交于點(diǎn)C，連接BE和AD交于點(diǎn)F，BD=12，CD=8，則直徑AB的長是_____．【答案】【解析】根據(jù)AB是直徑到∠AEB=90°，又∠EAB=45°得到△ABE為等腰直角三角形，則AE=BE，利用圓周角的性質(zhì)得到∠EAF=∠EBC，在根據(jù)∠BEC=∠AEF=90°即可證明△AEF≌△BEC，得到AE=BC=20，再利用勾股定理即可求解.【詳解】∵AB是直徑∴∠AEB=90°，∵∠EAB=45°∴△ABE為等腰直角三角形，則AE=BE，∵∠EAF=∠EBC，∠BEC=∠AEF=90°∴△AEF≌△BEC(ASA)，∴AE=BC=20，則BE=AE=20∴AB=故填:【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角的性質(zhì)及全等三角形的判定方法.15．(2019·江蘇初三期中)如圖，A是半徑為2的⊙O外的一點(diǎn)，OA＝4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為___________【答案】π【解析】連接OB、OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠ABO=90°，再利用直角三角形的性質(zhì)可求出∠BAO=30°，則∠AOB=60°，接著利用平行線的性質(zhì)得到∠CBO=∠AOB=60°，利用三角形面積公式可得到S△ABC=S△OCB，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S扇形BOC進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解:連接OB、OC，如圖，

∵AB切⊙O于點(diǎn)B，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，

在Rt△ABO中，∵OA＝4，OB=2，

∴∠BAO=30°，

∴∠AOB=60°，

∵BC∥OA，

∴∠CBO=∠AOB=60°，S△ABC=S△OCB，

∴∠BOC=60°，圖中陰影部分的面積=S扇形BOC，

∴圖中陰影部分的面積==π．

故答案為π．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算公式，根據(jù)面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.16．(2019·無錫市碩放中學(xué)初三期中)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F(xiàn)是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的⊙F交AB于點(diǎn)D，E是線段BC上一點(diǎn)，且ED=EB，則EF的最小值為_______________.【答案】【解析】先取EF得中點(diǎn)O，連接DE、DE、DC，所以O(shè)C=EF，由AF=DF，BE=DE，得到∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，從而∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，所以∠EDF=90°，因此OD=EF，得到EF=OC+OD，因此當(dāng)C、O、D三點(diǎn)在同一直線上，且CD⊥AB時(shí)，OC+OD最短，由OE=OF，OC=OD，∠C=90°得到四邊形CEDF為矩形，于是過點(diǎn)C作CH⊥AB，此時(shí)點(diǎn)D與H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，由∠AFD=∠BED=90°，可知∠A=∠B=45°，從而CH為AB=，故EF的最小值為【詳解】取EF得中點(diǎn)O，連接DE、DE、DC，∵∠C=90°，∴OC=EF,∠A+∠B=90°，∵AF=DF，BE=DE，∴∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，∴∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，∴∠EDF=90°，∴OD=EF，∴EF=OC+OD，當(dāng)C.O、D三點(diǎn)在同一直線上，且CD⊥AB時(shí)，OC+OD最短，∵OE=OF，OC=OD，∴四邊形CEDF為平行四邊形，∵∠C=90°，∴四邊形CEDF為矩形，于是過點(diǎn)C作CH⊥AB，此時(shí)點(diǎn)D與H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，∴∠AFD=∠BED=90°，∴∠A=∠B=45°，CH=AB=，∴EF的最小值為.【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理及其推論，解題關(guān)鍵在于作輔助線.三、解答題一(每小題6分，共18分)17．(2018全國初三單元測試)已知:如圖，在⊙O中，弦AB和CD相交，連接AC、BD，且AC＝BD．求證:AB＝CD．【答案】見解析【解析】要證明兩條弦AB＝CD，可以轉(zhuǎn)化為證明就可以．已知AC=BD可以證明得到，進(jìn)而得到．【詳解】證明:∵AC＝BD，∴．∴∴．∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系.在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦其中有一組量相等，那么其它兩組量也相等．18．(2019·山東初三期中)已知AB，AC為弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求證:MN∥BC且MN＝BC．【答案】見解析.【解析】先根據(jù)垂徑定理的出AN=CN，AM=BM，故可得出MN是△ABC的中位線，由此可得出結(jié)論．【詳解】證明:∵AB，AC為弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，∴AN＝CN，AM＝BM，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC且MN＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，熟知垂直于弦(非直徑)的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．19．(2019·江蘇東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中)如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝16cm，AE＝4cm．(1)求⊙O的半徑;(2)求OF的長．【答案】(1)10;(2)OF＝2【解析】(1)連接OB，設(shè)半徑為R，則OE＝R－4，再由垂徑定理求得BE，根據(jù)勾股定理求出R即可;(2)根據(jù)勾股定理求得BC，證明△CFO∽△CEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可【詳解】解:(1)連結(jié)OB,設(shè)半徑為R，則OE＝R－4∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC于E∴BE＝DE＝8在Rt△BOE

中，OE2＋BE2＝OB2∴(R－4)2＋82＝R2解得R＝10．(2)根據(jù)勾股定理得BC＝8可證△COF∽△CBE得＝即＝∴OF＝2【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用垂徑定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.四、解答題二(每小題7分，共21分)20．(2018·全國初三課時(shí)練習(xí))如圖，已知點(diǎn)O為等腰三角形ABC的底邊AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓分別交AC，BC于點(diǎn)D，E.求證:(1)∠AOE＝∠BOD;(2).【答案】證明見解析【解析】分析:(1)先畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD;(2)根據(jù)∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，即可得出．詳解:(1)∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD;(2)∵∠AOD=∠BOE，∴．點(diǎn)睛:本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．(2019·無錫市甘露學(xué)校初三期中)如圖，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N(1)求證:∠AOC＝135°;(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的長．【答案】(1)∠AOC＝135°;(2)DM＝1．【解析】(1)如圖，作OE⊥AC于E，連接OM，ON，由切線的性質(zhì)可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分線的性質(zhì)可得OM=OE，從而得AC是⊙O的切線，繼而可得OC平分∠ACD，繼而通過推導(dǎo)即可證得∠AOC=135°;(2)由切線長定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設(shè)DM=DN=x，AM=AE=y，則有BD=3﹣x，在Rt△BDC中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)如圖，作OE⊥AC于E，連接OM，ON，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，∴OM=OE，∴AC是⊙O的切線，∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，∴OC平分∠ACD，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切線，M，N，E是切點(diǎn)，∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設(shè)DM=DN=x，AM=AE=y，∵AB=AC，∴BD=3﹣x，在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，∵x>0，∴x=1，∴DM=1．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長定理知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用切線的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.22．(2019·陜西延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院附中初三期中)如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的?與相交于點(diǎn)．(1)判斷直線與?的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2)若，求的長．【答案】(1)直線與?相切，理由見解析;(2)1【解析】(1)過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切割線定理即可得到結(jié)論．【詳解】解:(1)直線與?相切，理由:過作于，，平分，，直線與?相切;(2)，在與中，，，，是?的切線，∴BF2＝BA?BE，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．五、解答題三(每小題9分，共27分)23．(2019·貴州中考真題)如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與BD交于點(diǎn)E，且AC＝BD，連接AD，BC．(1)求證:△ADB≌△BCA;(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的長;(3)在(2)的條件下，延長AB至點(diǎn)P，使BP＝2，連接PC．求證:PC是⊙O的切線．【答案】(1)詳見解析;(2);(3)詳見解析.【解析】(1)可證∠ACB=∠ADB=90°，則由HL定理可證明結(jié)論;

(2)可證AD=BC=DC，則∠AOD=∠ABC=60°，由直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長;

(3)可得出BC=BP=2，∠BCP=30°，連接OC，可證出∠OCP=90°，則結(jié)論得證．【詳解】(1)證明:∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AB，∴△ADB≌△BCA(HL);(2)解:如圖，連接DC，∵OD⊥AC，∴，∴AD＝DC，∵△ADB≌△BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵AB＝4，∴;(3)證明:如圖，連接OC，由(1)和(2)可知BC=∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴∠BCP＝∠P，∵∠ABC＝60°，∴∠BCP＝30°，∵OC＝OB，∠ABC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+3