數(shù)學的偉大轉(zhuǎn)折-笛卡爾創(chuàng)立解析幾何

數(shù)學的偉大轉(zhuǎn)折——笛卡爾創(chuàng)立解析幾何數(shù)學的偉大轉(zhuǎn)折——笛卡爾創(chuàng)立解析幾何17世紀歐洲科學技術(shù)的發(fā)展向人們提出了許許多多用常量數(shù)學難以解決的問題，天體運動和物理運動也提出了用運動的觀點來研究圓錐曲線和其他曲線的問題，為此人們尋求解決變量問題的新方法，從而使笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學。解析幾何的誕生是數(shù)學的偉大轉(zhuǎn)折，正如恩格斯所說：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生?！痹缙诘淖鴺烁拍钤跊]有把坐標的概念引進數(shù)學之前，人們對坐標思想的認識和運用早就有過。我國最早用“井”字表示井周圍的土地就是取自坐標的形態(tài)。公元120年前后，班固和班昭所著的《前漢書》中給出了八個編年表，在其中的一個表里，時間為一個軸，品德是一個軸，實質(zhì)上就是一個坐標系。古希臘的托勒密曾討論過球面上的經(jīng)緯度，我國13、14世紀解多元高次方程組使用的“四元術(shù)”，這些都是坐標概念的早期示例。以后出現(xiàn)的棋盤、算盤、街道門牌號等，實際上也是一種坐標系統(tǒng)。16世紀末，法國數(shù)學家韋達在代數(shù)中首先系統(tǒng)地使用字母，他所研究的代數(shù)問題，大多數(shù)是為解決幾何問題而提出來的。之后韋達的學生格塔拉底對幾何問題的代數(shù)解法作了系統(tǒng)地研究，于1607年和1630年分別發(fā)表了《阿波羅尼斯著作的現(xiàn)代闡釋》、《數(shù)學的分析與綜合》的著作。1631年，英國數(shù)學家哈里奧特把韋達和格塔拉底的思想加以引伸和系統(tǒng)化。這些都為幾何學和代數(shù)學的結(jié)合，形和數(shù)的結(jié)合，鋪平了道路。費爾馬的坐標法1629年法國數(shù)學家費爾馬在對前人幾何研究的反思中，產(chǎn)生了一個想法，認為古人對于軌跡的研究感到困難，其原因只有一個，就是由于他們對軌跡沒有給予充分而又一般的表示。他認為，要將軌跡作一般的表示，只能借助于代數(shù)。他了解到韋達用代數(shù)解決幾何問題的作法后，決定把阿波羅尼斯關(guān)于圓錐曲線的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。費爾馬所用的一般方法，實質(zhì)上就是坐標法。他考慮任意曲線和它上面的任意點K，K的位置用A、E兩個字母來確定。其中A是從點O沿底線到點Z的距離，E是從Z到K的距離。這實際上是我們現(xiàn)代的斜坐標。但y軸沒有明顯標出，而且不用負數(shù)。他的A、E就相當于我們現(xiàn)在的坐標x、y。費爾馬通過建立坐標，把平面上的點和一對未知數(shù)聯(lián)系起來。然后在點動成線的思想下，把曲線用一個方程表示出來。他想，未知數(shù)A和E實際上是變數(shù)，因而聯(lián)系A和E的方程是不確定的。他便用不同字母代表不同類的數(shù)，然后寫出聯(lián)系A和E的各種方程，并指明它們所描繪的各種曲線。費爾馬肯定，方程如果是一次的，就代表直線，如果是二次的，就代表圓錐曲線，并給出了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程。費爾馬通過坐標法把幾何曲線和代數(shù)方程聯(lián)系起來，從而把幾何學和代數(shù)學聯(lián)系起來，這已經(jīng)接近于解析幾何的核心思想。他沖破幾何學研究的古典形式的束縛，使幾何學向前邁出了一大步。笛卡爾解析幾何的誕生幾乎是費爾馬研究解析幾何的同時，法國數(shù)學家笛卡爾也在獨立地研究著。1596年3月21日，笛卡爾出生在法國圖倫一個貴族之家。他從小喪母，父親是地方議會議員，保姆撫養(yǎng)他成人。笛卡爾8歲進入當時歐洲最負盛名的拉夫累舍公學讀書，1612年入波埃頓大學攻讀法律，四年后以最優(yōu)秀的成績獲得法學博士學位。畢業(yè)后他來到巴黎當律師，其間，溜到郊區(qū)一個僻靜的住所埋頭研究了兩年數(shù)學。1617年他參加了奧倫治公爵的軍隊，部隊駐守在荷蘭小城布雷達。1618年11月的一天，笛卡爾看到貼在街頭海報上征解的一道數(shù)學難題，兩天后他送去了正確答案，成功地解決了這一難題。這一偶然的機會使他決心終生研究數(shù)學。笛卡爾認真地分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點。他認為古希臘人給后人帶來的幾何方法過于抽象和特殊；歐幾里得幾何中的每一個證明，都需要一個特殊的新方法，這既“笨拙和不必要”，而且使幾何學“失去科學的形象”；又認為當時通行的代數(shù)“完全受法則和公式的控制，成為一種混雜和晦暗，阻礙思想”。他準備尋找另一種能概括這兩門學科優(yōu)點的新方法。1619年，部隊駐扎在多瑙河畔的諾伊堡小鎮(zhèn)上，笛卡爾整天沉迷在畫圖、計算和思考之中，探索幾何與代數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系，各種思路和演算常常使他夜里遲遲不能入睡。11月10日晚，他的思考達到了異常興奮的地步，連作夢都夢到怎樣把代數(shù)應用到幾何中去的方法。他后來說：“第二天，我開始懂得這驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理。我終于發(fā)現(xiàn)了一種不可思議的科學的基礎?！边@就是解析幾何思想的萌生。笛卡爾在給定的軸上標出x，在與該軸成固定角的線上標出y，并且作出其x、y的值滿足給定關(guān)系的點，這實際上是引進了“坐標”的概念。通過坐標實現(xiàn)了平面的“算術(shù)化”，即平面上的一個點，只要用一個數(shù)對（x，y）來表示就行了，反之亦然。再利用坐標方法，把平面上的曲線與一個含有兩個未知數(shù)的方程聯(lián)系起來。這樣一來，就能把幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題，并運用代數(shù)方法來研究幾何對象。1619年11月10日應算作解析幾何最初的誕生日。笛卡爾和費爾馬的解析幾何在坐標觀點以及用方程表示曲線的方法方面基本上是相同的。但是在對待傳統(tǒng)數(shù)學的態(tài)度上，兩者是不同的。笛卡爾打破了希臘數(shù)學的傳統(tǒng)，用代數(shù)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的幾何方法，這是數(shù)學史上的一次重大變革，而費爾馬卻著眼于繼承希臘人的思想，認為他自己的工作只是重新表述了阿波羅尼斯的工作。解析幾何學的完善當時，多數(shù)數(shù)學家受舊的觀念的束縛，反對把代數(shù)和幾何混在一起，因而解析幾何的思想并沒有很快被數(shù)學家們接受。笛卡爾的《幾何學》于1637年出版后，也沒有引起普遍重視。費爾馬的著作遲至1679年才出版。笛卡爾去世5年后的1655年，英國數(shù)學家沃利斯首先引進了負的縱、橫坐標，使得所考慮的曲線的范圍擴展到了整個平面。沃利斯進一步完善了坐標法，其著作《論圓錐曲線》引起了數(shù)學家的普遍重視，大大傳播了解析幾何思想。費爾馬和笛卡爾提出的坐標系都是不完整的，費爾馬沒有明確y軸，而笛卡爾只是用了一根x軸，y軸是沿著與x軸成斜角的方向畫出的。1691年，雅可布·伯努利發(fā)明了另一種坐標。他用一個固定點以及由該點發(fā)出的射線為基準，用平面上一點到固定點的連線的長度和這連線與基準的夾角的余弦為點的坐標，這實質(zhì)上就是現(xiàn)在的極坐標。在笛卡爾x、y軸的基礎上，1694年萊布尼茲提出并正式使用縱坐標，而橫坐標到18世紀才由沃爾夫等人引入。坐標一詞也是萊布尼茲在1692年首創(chuàng)的。1715年，約翰·伯努利引進了現(xiàn)在通用的三個坐標平面，把解析幾何從平面推廣到空間。1745年，歐拉給出了現(xiàn)代形式下的解析幾何的系統(tǒng)敘述，這是解析幾何發(fā)展史上的重要一步。之后，對解析幾何發(fā)展做出重要貢獻的是法國數(shù)學家拉格朗日，他在1788年提出了向量概念，引起了數(shù)學家與物理學家的極大注意，向量分析的出現(xiàn)立即對解析幾何產(chǎn)生深刻的影響，現(xiàn)在向量代數(shù)成了空間解析幾何的重要內(nèi)容。19世紀，經(jīng)典解析幾何已經(jīng)發(fā)展得相當完備。這時候，這門學科才正式定名為“解析幾何”，以后便流傳下來。解析幾何的建立在數(shù)學史上占有重要的地位，它使變量數(shù)學從此走上了歷史舞臺，它實現(xiàn)了數(shù)形關(guān)系的溝通。作為一種有效的數(shù)學工具，它不僅廣泛地被使用于物理學和其他工程技術(shù)領域，