高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間點、線、面的位置關(guān)系》專項測試卷帶答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間點、線、面的位置關(guān)系》專項測試卷帶答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交2．下列各圖是正方體和四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是()ABCD3．(2024·江西南昌模擬)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到空間四邊形ABCD，在折起的過程中，下列說法正確的是()A．直線EF，HG有可能平行B．直線EF，HG一定異面C．直線EF，HG一定相交，且交點一定在直線AC上D．直線EF，HG一定相交，但交點不一定在直線AC上4．(2024·河北滄州七校聯(lián)考)如圖，在三棱錐D-ABC中，AC⊥BD，一平面截三棱錐D-ABC所得截面為平行四邊形EFGH.已知EF＝eq\r(,2)，EH＝eq\r(,5)，則異面直線EG和AC所成角的正弦值是()A.eq\f(\r(,14),7)B.eq\f(\r(,7),7)C.eq\f(\r(,35),7)D.eq\f(\r(,2),7)5．(2024·廣東汕頭模擬)已知α，β，γ是三個不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，則下列結(jié)論正確的是()A．直線b與直線c可能是異面直線B．直線a與直線c可能平行C．直線a，b，c必然交于一點(即三線共點)D．直線c與平面α可能平行6．(2024·山東青島二中質(zhì)量檢測)已知l，m，n為三條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l⊥m，l⊥n，且m，n?α，則l⊥αB．若m?α，n?α，m，n是異面直線，則n與α相交C．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥n，n⊥α，則m⊥α7．《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方，得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”如圖1所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵．如圖2所示的塹堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2，M為BC的中點，則異面直線A1C與AM所成角的余弦值為()圖1圖2A.eq\f(9,13)B.eq\f(8,13)C.eq\f(\r(,15),9)D.eq\f(\r(,15),5)8．(2024·上海嘉定區(qū)調(diào)研)已知直線m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m，n的距離相等的點的集合可能是：①一條直線；②一個平面；③一個點；④空集．其中正確的是()A．①②③ B．①②④C．①④ D．②④9．(2024·湖南常德模擬)在各棱長均相等的四面體ABCD中，已知M是棱AD的中點，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(,2),3)B.eq\f(\r(,2),5)C.eq\f(\r(,3),6)D.eq\f(\r(,2),6)10．(2024·江蘇聯(lián)考)對于命題“若x⊥z，y⊥z，則x∥y”，要使得該命題是真命題，則()A．x，y，z是空間中三個不同的平面B．x，y，z是空間中三條不同的直線C．x，z是空間中兩條不同的直線，y是空間中的平面D．x，y是空間中兩條不同的直線，z是空間中的平面二、多項選擇題11．如圖，已知二面角A-BD-C的大小為eq\f(π,3)，G，H分別是BC，CD的中點，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，且eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，AC⊥平面BCD，則以下說法正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H四點共面B．FG∥平面ADCC．若直線FG，HE交于點P，則P，A，C三點共線D．若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為312．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，若平面α⊥AC1，則關(guān)于平面α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形D．截面面積的最大值為3eq\r(3)三、填空題與解答題13．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PC，PB的中點，則EF與平面PAD的位置關(guān)系為________，平面AEF與平面ABCD的交線是________．14．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，BE＝eq\f(1,3)AB，點F為A1D1的中點，O為直線DB1與平面EFC的交點，則eq\f(DO,OB1)＝________.15．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示．(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大??；(2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1-BCA1的體積．高分推薦題16.如圖，AB，CD是圓錐面的正截面(垂直于軸的截面)上互相垂直的兩條直徑，過CD和母線VB的中點E作一截面．已知圓錐側(cè)面展開圖扇形的中心角為eq\r(,2)π，求截面與圓錐的軸線的夾角的大小，并說明截線是什么曲線．解析版一、單項選擇題1．若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交解析：如圖1,2,3所示，a，b的關(guān)系分別是平行、異面、相交．圖1圖2圖3答案：D2．下列各圖是正方體和四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是()ABCD解析：在A中，連接PS，QR(圖略)，易證PS∥QR，∴P，Q，R，S四點共面．在B中，P，Q，R，S四點共面，證明如下：如圖所示，取BC中點N，連接NR，QN，PS，可證直線PS，NR交于直線B1C1上一點E，∴P，N，R，S四點共面，設(shè)為α.可證PS∥QN，∴P，Q，N，S四點共面，設(shè)為β.∵α，β都經(jīng)過P，N，S三點，∴α與β重合，∴P，Q，R，S四點共面．在C中，連接PQ，SR(圖略)，易證PQ∥SR，∴P，Q，R，S四點共面．在D中，連接QR，PS(圖略)，∵QR?平面ABC，PS∩平面ABC＝P且P?QR，∴直線PS與QR為異面直線．∴P，Q，R，S四點不共面．答案：D3．(2024·江西南昌模擬)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到空間四邊形ABCD，在折起的過程中，下列說法正確的是()A．直線EF，HG有可能平行B．直線EF，HG一定異面C．直線EF，HG一定相交，且交點一定在直線AC上D．直線EF，HG一定相交，但交點不一定在直線AC上解析：若直線EF與HG平行，則四邊形EFGH為平行四邊形，得EH＝GF，與EH≠GF矛盾，故A錯誤；∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,3)BD，又CF＝2FB，CG＝2GD，∴eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2，∴FG∥BD且FG＝eq\f(2,3)BD.∴EH∥FG且EH≠FG，∴直線EF，HG一定共面，故B錯誤；由EH∥FG，且EH≠FG，可得直線EF與HG一定相交，設(shè)交點為O，則O∈EF，又EF?平面ABC，∴O∈平面ABC，同理O∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直線EF，HG一定相交，且交點一定在直線AC上，故C正確，D錯誤．答案：C4．(2024·河北滄州七校聯(lián)考)如圖，在三棱錐D-ABC中，AC⊥BD，一平面截三棱錐D-ABC所得截面為平行四邊形EFGH.已知EF＝eq\r(,2)，EH＝eq\r(,5)，則異面直線EG和AC所成角的正弦值是()A.eq\f(\r(,14),7)B.eq\f(\r(,7),7)C.eq\f(\r(,35),7)D.eq\f(\r(,2),7)解析：四邊形EFGH是平行四邊形，由線面平行的性質(zhì)定理可得，AC∥EH，BD∥GH，所以直線EG和AC所成的角即直線EG和EH所成的角．因為AC⊥BD，所以∠EHG＝90°.因為EF＝eq\r(,2)，EH＝eq\r(,5)，所以EG＝eq\r(,7)，故sin∠GEH＝eq\f(\r(,14),7).答案：A5．(2024·廣東汕頭模擬)已知α，β，γ是三個不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，則下列結(jié)論正確的是()A．直線b與直線c可能是異面直線B．直線a與直線c可能平行C．直線a，b，c必然交于一點(即三線共點)D．直線c與平面α可能平行解析：因為α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O(shè)∈α，O∈β，O∈γ.因為β∩γ＝c，所以O(shè)∈c，所以直線a，b，c必然交于一點(即三線共點)，故A，B錯誤，C正確；假設(shè)直線c與平面α平行，由O∈c，可知O?α，這與O∈α矛盾，故假設(shè)不成立，D錯誤．答案：C6．(2024·山東青島二中質(zhì)量檢測)已知l，m，n為三條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l⊥m，l⊥n，且m，n?α，則l⊥αB．若m?α，n?α，m，n是異面直線，則n與α相交C．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥n，n⊥α，則m⊥α解析：對于A，當m，n平行時，得不出直線l垂直于平面α，故A錯誤；對于B，若m?α，n?α，m，n是異面直線，則n與α可能平行，如圖所示，故B錯誤；對于C，若n?α，則直線n不平行于平面α，故C錯誤；對于D，因為n⊥α，所以在平面α內(nèi)的任意直線均與直線n垂直，又m∥n，則在平面α內(nèi)的任意直線均與直線m垂直，由直線與平面垂直的定義可知m⊥α，故D正確．故選D.答案：D7．《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方，得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”如圖1所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵．如圖2所示的塹堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2，M為BC的中點，則異面直線A1C與AM所成角的余弦值為()圖1圖2A.eq\f(9,13)B.eq\f(8,13)C.eq\f(\r(,15),9)D.eq\f(\r(,15),5)解析：如圖，取B1C1的中點E，連接A1E，EC，則A1E∥AM，∠EA1C即為異面直線A1C與AM所成的角(或其補角)，因為在Rt△A1C1E中，A1E＝eq\r(,9＋4)＝eq\r(,13)，在Rt△EC1C中，EC＝eq\r(,22＋22)＝2eq\r(,2)，在Rt△A1C1C中，A1C＝eq\r(,13)，所以在△A1EC中，由余弦定理得，cos∠EA1C＝eq\f(A1E2＋A1C2－EC2,2A1E·A1C)＝eq\f(13＋13－8,2\r(,13)×\r(,13))＝eq\f(9,13)，故異面直線A1C與AM所成角的余弦值為eq\f(9,13)，故選A.答案：A8．(2024·上海嘉定區(qū)調(diào)研)已知直線m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m，n的距離相等的點的集合可能是：①一條直線；②一個平面；③一個點；④空集．其中正確的是()A．①②③ B．①②④C．①④ D．②④解析：設(shè)一個平面β，該平面滿足m∥β，n∥β，m，n到平面β的距離相等且異側(cè)，如圖，則平面β內(nèi)的所有點到兩條直線m，n的距離相等．對于①，若平面α與平面β相交于直線l，則l上的所有點到兩條直線m，n的距離相等，故①正確；對于②，若平面α與平面β重合，則平面α上的所有點到兩條直線m，n的距離相等，故②正確；對于③，任何時候都不可能只有一個點滿足條件，故③錯誤；對于④，若平面α與平面β平行，則平面α上沒有點到兩條直線m，n的距離相等，故④正確．故選B.答案：B9．(2024·湖南常德模擬)在各棱長均相等的四面體ABCD中，已知M是棱AD的中點，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(,2),3)B.eq\f(\r(,2),5)C.eq\f(\r(,3),6)D.eq\f(\r(,2),6)解析：如圖，設(shè)四面體ABCD的棱長為2，取CD的中點N，連接MN，BN，∵M是棱AD的中點，∴MN∥AC，∴∠BMN(或其補角)是異面直線BM與AC所成的角．∵BM＝BN＝eq\r(,22－12)＝eq\r(,3)，MN＝eq\f(1,2)AC＝1，∴在△BMN中，cos∠BMN＝eq\f(BM2＋MN2－BN2,2BM·MN)＝eq\f(3＋1－3,2×\r(,3)×1)＝eq\f(\r(,3),6)，∴異面直線BM與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(,3),6).答案：C10．(2024·江蘇聯(lián)考)對于命題“若x⊥z，y⊥z，則x∥y”，要使得該命題是真命題，則()A．x，y，z是空間中三個不同的平面B．x，y，z是空間中三條不同的直線C．x，z是空間中兩條不同的直線，y是空間中的平面D．x，y是空間中兩條不同的直線，z是空間中的平面解析：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，那么這兩個平面相交或平行，所以A錯誤；空間中如果兩條直線同時垂直第三條直線，那么這兩條直線可能平行，相交或者異面，所以B錯誤；由C選項得x∥y，或者x在平面y內(nèi)，所以C錯誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線互相平行，所以D正確．答案：D二、多項選擇題11．如圖，已知二面角A-BD-C的大小為eq\f(π,3)，G，H分別是BC，CD的中點，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，且eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，AC⊥平面BCD，則以下說法正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H四點共面B．FG∥平面ADCC．若直線FG，HE交于點P，則P，A，C三點共線D．若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為3解析：連接EF，GH(圖略)，由eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)知EF綉eq\f(1,3)BD.又GH綉eq\f(1,2)BD，所以EF∥GH，因此E，F(xiàn)，G，H四點共面，A正確；假設(shè)FG∥平面ADC成立，因為平面ABC∩平面ADC＝AC，所以FG∥AC，又G是BC的中點，所以F是AB的中點，與eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)矛盾，B不正確；因為FG?平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因為平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線，C正確；因為二面角A-BD-C的大小為eq\f(π,3)，AC⊥平面BCD，所以點A到直線BD的距離是點C到直線BD的距離的2倍，故S△BCD＝eq\f(1,2)·S△ABD＝eq\f(1,2)×6＝3，D正確．答案：ACD12．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，若平面α⊥AC1，則關(guān)于平面α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形D．截面面積的最大值為3eq\r(3)解析：如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知，AC1⊥平面A1BD，當平面A1BD平行移動時，均可保持與直線AC1垂直，因為△A1BD為正三角形，所以當平面α與平面A1BD重合時，得到截面形狀為正三角形，故A正確；當平面α∥平面A1BD，且經(jīng)過正方體的中心時，截面為正六邊形EFGHMN(E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是所在棱的中點)，故C正確；當平面α從平面A1BD的位置向C1方向開始平移時，截面面積先逐漸增大，直到平面經(jīng)過正方體的中心時，截面面積達到最大值，過了中心繼續(xù)平移，截面面積逐漸減小，所以截面面積的最大值為正六邊形的面積，則Smax＝6×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝3eq\r(3)，故D正確；平面α在平面A1BD與平面CB1D1之間平移時，截面形狀為六邊形，而在兩平面外平移時，截面為三角形，故B錯誤．故選ACD.答案：ACD三、填空題與解答題13．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PC，PB的中點，則EF與平面PAD的位置關(guān)系為________，平面AEF與平面ABCD的交線是________．解析：由題易知，EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，又EF?平面PAD，AD?平面PAD，故EF∥平面PAD.因為EF∥AD，所以E，F(xiàn)，A，D四點共面，所以AD為平面AEF與平面ABCD的交線．答案：平行AD14．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，BE＝eq\f(1,3)AB，點F為A1D1的中點，O為直線DB1與平面EFC的交點，則eq\f(DO,OB1)＝________.解析：在D1C1上作靠近點D1的六等分點H，連接FH，如圖所示．∵eq\f(D1H,D1F)＝eq\f(BE,BC)，∴FH∥CE.連接B1D1，BD，設(shè)FH∩B1D1＝N，CE∩BD＝M，連接MN，則M，N，O三點共線(平面EFC∩平面BB1D1D＝MN)．∵eq\f(BM,DM)＝eq\f(BE,DC)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(DM,BD)＝eq\f(3,4)，即DM＝eq\f(3,4)BD.過點F作FP∥A1B1交B1D1于點P，∵eq\f(D1N,NP)＝eq\f(D1H,FP)＝eq\f(1,3)，∴NP＝3D1N，∴eq\f(D1N,B1D1)＝eq\f(1,8)，∴eq\f(NB1,B1D1)＝eq\f(7,8)，即NB1＝eq\f(7,8)B1D1.∴eq\f(DO,OB1)＝eq\f(DM,NB1)＝eq\f(\f(3,4)BD,\f(7,8)B1D1)＝eq\f(6,7).答案：eq\f(6,7)15．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示．(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大??；(2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1-BCA1的體積．解：(1)如圖，連接AO，并延長與BC交于點D，則D是BC邊的中點．∵點O是正三角形ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，AD，A1O?平面ADA1，∴BC⊥平面ADA1.∵