高考數(shù)學總復習《雙曲線》專項測試卷附答案

第第頁高考數(shù)學總復習《雙曲線》專項測試卷附答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(,2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(2，0)，漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，則該雙曲線的實軸長為()A．2 B．1C．eq\r(3) D．2eq\r(3)3．設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,24a2)＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P為C右支上的一點，且PF1⊥PF2，則tan∠PF2F1＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,4)C．2 D．eq\f(12,5)4．(2024·廣東惠州調(diào)研)“m>2”是“方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．(2024·河南洛陽聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點P，T為切點，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則|MO|－|MT|＝()A．4 B．3C．2 D．16．(2024·湖南岳陽模擬)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，O為坐標原點，若雙曲線及其漸近線上各存在一點Q，P，使得四邊形OPFQ為矩形，則其離心率為()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(5) D．eq\r(6)7．(2024·河北唐山模擬)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為雙曲線C上一點，直線AF⊥x軸，與雙曲線C的一條漸近線交于B，若|AB|＝|AF|，則C的離心率e＝()A．eq\f(4\r(,15),15) B．eq\f(2\r(,3),3)C．eq\f(\r(,5),2) D．28．(2024·湖南長沙明德中學月考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線上一點，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，則此雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±x D．y＝±2x9．(2024·山東濰坊模擬)如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為36，F(xiàn)到漸近線的距離為12，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(4,5)二、多項選擇題10．(2024·河北唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的兩個焦點，P為雙曲線C上任意一點，則()A．|PF1|－|PF2|＝2eq\r(,3)B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(,3),3)xC．雙曲線C的離心率為eq\f(2\r(,3),3)D．|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≥2eq\r(,3)11．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點在圓O：x2＋y2＝13上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、二象限分別交于點M，N，點E(0，a)滿足eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝0(其中O為坐標原點)，則下列結(jié)論正確的是()A．雙曲線C的一條漸近線方程為3x－2y＝0B．雙曲線C的離心率為eq\f(\r(,13),2)C．|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝1D．△OMN的面積為6三、填空題與解答題12．(2024·河北模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，實軸長為4，過F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中項，則△ABF1的周長為________．13．(2024·河北六校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，且|F1F2|＝eq\f(2b2,a)，P為雙曲線C右支上一點，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，則雙曲線的離心率為________，λ的值為________．14．(2024·河北邢臺六校聯(lián)考)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.(1)求C的離心率；(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.高分推薦題15．(2024·河南開封模擬)3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為eq\r(,5)的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的．已知該塔筒(數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算)的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部(最細處)的直徑為________cm.解析版一、單項選擇題1．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(,2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1解析：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，當m>0時，2m＝4，m＝2；當m<0時，－m＝4，m＝－4.故所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.答案：D2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(2，0)，漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，則該雙曲線的實軸長為()A．2 B．1C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：由題意知，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又焦點為F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，則a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以實軸長為2a＝2.故選A．答案：A3．設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,24a2)＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P為C右支上的一點，且PF1⊥PF2，則tan∠PF2F1＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,4)C．2 D．eq\f(12,5)解析：易知c2＝25a2，則c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a.因為P為C右支上的一點，所以|PF1|－|PF2|＝2a.因為PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，則(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(負值舍去)，所以|PF1|＝8a，所以tan∠PF2F1＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(8a,6a)＝eq\f(4,3).故選A．答案：A4．(2024·廣東惠州調(diào)研)“m>2”是“方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：因為方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線，所以(2－m)(m＋1)<0，解得m<－1或m>2，即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．因為(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以“m>2”是“方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．故選B．答案：B5．(2024·河南洛陽聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點P，T為切點，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則|MO|－|MT|＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：連接PF2，OT，則有|MO|＝eq\f(1,2)|PF2|＝eq\f(1,2)(|PF1|－2a)＝eq\f(1,2)(|PF1|－6)＝eq\f(1,2)|PF1|－3，|MT|＝eq\f(1,2)|PF1|－|F1T|＝eq\f(1,2)|PF1|－eq\r(c2－a2)＝eq\f(1,2)|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－4))＝1.故選D．答案：D6．(2024·湖南岳陽模擬)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，O為坐標原點，若雙曲線及其漸近線上各存在一點Q，P，使得四邊形OPFQ為矩形，則其離心率為()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(5) D．eq\r(6)解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，∴直線OP的方程為y＝eq\f(b,a)x.直線OQ的方程為y＝－eq\f(a,b)x，則QF的方程為y＝eq\f(b,a)(x－c)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x－c，,y＝－\f(a,b)x，))解得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c)，－\f(ab,c))).∵Q在雙曲線上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c)))2,a2)－eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ab,c)))2,b2)＝1，∴c2＝3a2，∴e＝eq\r(3).故選A．答案：A7．(2024·河北唐山模擬)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為雙曲線C上一點，直線AF⊥x軸，與雙曲線C的一條漸近線交于B，若|AB|＝|AF|，則C的離心率e＝()A．eq\f(4\r(,15),15) B．eq\f(2\r(,3),3)C．eq\f(\r(,5),2) D．2解析：由題意得F(c,0)，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)A，B均為第一象限的點，當x＝c時，eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，所以|AF|＝eq\f(b2,a)，當x＝c時，y＝eq\f(bc,a)，所以|BF|＝eq\f(bc,a)，因為|AB|＝|AF|，所以|BF|＝2|AF|，所以eq\f(bc,a)＝eq\f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq\r(,c2－b2)＝eq\r(,3)b，所以雙曲線C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2b,\r(,3)b)＝eq\f(2\r(,3),3).故選B．答案：B8．(2024·湖南長沙明德中學月考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線上一點，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，則此雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±x D．y＝±2x解析：由題意，得|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，∴cos∠F1MF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4)，化簡得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，又a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴此雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.故選A．答案：A9．(2024·山東濰坊模擬)如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為36，F(xiàn)到漸近線的距離為12，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(4,5)解析：由題意知，點F(0，c)到漸近線y＝eq\f(a,b)x，即ax－by＝0的距離d＝eq\f(|－bc|,\r(a2＋b2))＝b＝12.又由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝16，,c＝20，))所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(20,16)＝eq\f(5,4).答案：B二、多項選擇題10．(2024·河北唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的兩個焦點，P為雙曲線C上任意一點，則()A．|PF1|－|PF2|＝2eq\r(,3)B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(,3),3)xC．雙曲線C的離心率為eq\f(2\r(,3),3)D．|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≥2eq\r(,3)解析：雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的焦點在y軸上，a＝eq\r(,3)，b＝1，c＝eq\r(,a2＋b2)＝2.對于A選項，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq\r(,3)，而P點在哪支上并不確定，故A錯誤；對于B選項，焦點在y軸上的雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(,3)x，故B錯誤；對于C選項，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(,3))＝eq\f(2\r(,3),3)，故C正確；對于D選項，設(shè)P(x，y)(x∈R)，則|PO|＝eq\r(,x2＋y2)＝eq\r(,x2＋3x2＋3)＝eq\r(,3＋4x2)≥eq\r(,3)(當且僅當x＝0時取等號)，因為O為F1F2的中點，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PO,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥2eq\r(,3)，故D正確．答案：CD11．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點在圓O：x2＋y2＝13上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、二象限分別交于點M，N，點E(0，a)滿足eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝0(其中O為坐標原點)，則下列結(jié)論正確的是()A．雙曲線C的一條漸近線方程為3x－2y＝0B．雙曲線C的離心率為eq\f(\r(,13),2)C．|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝1D．△OMN的面積為6解析：如圖，雙曲線C的焦距為2c＝2eq\r(,13)，得c＝eq\r(,13)，設(shè)MN與y軸交于點P，則由圓和漸近線的對稱性知P是MN的中點．設(shè)點M(m，n)，m>0，n>0，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝13，,\f(m,a)＝\f(n,b)，,c＝\r(,13)，))可得m＝a，n＝b.故M(a，b)，N(－a，b)，則P(0，b)．由題意可知|OM|＝c＝eq\r(,13).由eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝0，知點E為△OMN的重心，可得|OE|＝eq\f(2,3)|OP|，即a＝eq\f(2,3)b，eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(9,4)，所以a＝2，b＝3，e＝eq\f(\r(,13),2)，M(2,3)，N(－2，3)，P(0,3)．所以雙曲線C的漸近線方程為3x±2y＝0，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐標為(2,3)，S△OMN＝eq\f(1,2)×(2＋2)×3＝6.答案：ABD三、填空題與解答題12．(2024·河北模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，實軸長為4，過F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中項，則△ABF1的周長為________．解析：由|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中項得|AF1|＋|BF1|＝2|AB|，根據(jù)雙曲線的定義知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，兩式相加得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，即|AF1|＋|BF1|＝8a，|AB|＝4a，故△ABF1的周長為12a，因為2a＝4，所以△ABF1的周長為24.答案：2413．(2024·河北六校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，且|F1F2|＝eq\f(2b2,a)，P為雙曲線C右支上一點，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，則雙曲線的離心率為________，λ的值為________．解析：由F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，且|F1F2|＝eq\f(2b2,a)，可得2c＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(2c2－2a2,a)，化簡得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝eq\f(1＋\r(,5),2).設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝eq\f(1,2)|PF1|·r，S△IPF2＝eq\f(1,2)|PF2|·r，S△IF1F2＝eq\f(1,2)·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF1＋λS△IF1F2，得eq\f(1,2)|PF1|·r＝eq\f(1,2)|PF2|·r＋λcr，故λ＝eq\f(|PF1|－|PF2|,2c)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,\f(1＋\r(,5),2))＝eq\f(\r(,5)－1,2).答案：eq\f(\r(,5)＋1,2)eq\f(\r(,5)－1,2)14．(2024·河北邢臺六校聯(lián)考)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.(1)求C的離心率；(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.(1)解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，則F(c,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a)))，因為|AF|＝|BF|，故eq\f(b2,a)＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，又e>0，故e＝2.(2)證明：設(shè)B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.因為e＝2，故c＝2a，b＝eq\r(,3)a，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(,3)x，所以∠BAF∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).當∠BFA＝eq\f(π,2)時，由題意易得∠BAF＝eq\f(π,4)，此時∠BFA＝2∠BAF.當∠BFA≠eq\f(π,2)時，因為tan∠BFA＝－eq\f(y0,x0－c)＝－eq\f(y0,x0－2a)，tan∠BAF＝eq\f(y0,x0＋a)，所以tan2∠BAF＝eq\f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co