浙江省寧?？h十校聯考2025屆高三下學期第六次檢測數學試卷含解析

浙江省寧?？h十校聯考2025屆高三下學期第六次檢測數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現在船往東開2百海里到達處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（）A．3 B． C．4 D．2．已知中，角、所對的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件3．已知l，m是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“”是“l(fā)⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知點，點在曲線上運動，點為拋物線的焦點，則的最小值為（）A． B． C． D．45．已知等差數列滿足，公差，且成等比數列，則A．1 B．2 C．3 D．46．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．7．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．8．已知，則（）A．2 B． C． D．39．在的展開式中，含的項的系數是（）A．74 B．121 C． D．10．已知集合,則（）A． B． C． D．11．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．12．若函數（）的圖象過點，則（）A．函數的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲，乙兩隊參加關于“一帶一路”知識競賽，甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，若兩隊各出一名隊員進行比賽，則出場的兩名運動員編號相同的概率為______.14．某學習小組有名男生和名女生.若從中隨機選出名同學代表該小組參加知識競賽，則選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為___________．15．已知等差數列的各項均為正數，，且，若，則________.16．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的值域；（2），，求實數的取值范圍.18．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）對及，不等式恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．22．（10分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先根據角度分析出的大小，然后根據角度關系得到的長度，再根據正弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知：，所以，，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關鍵.2、D【解析】

由大邊對大角定理結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對的邊分別是、，由大邊對大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質等基礎知識，考查邏輯推理能力，是基礎題．3、A【解析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.【詳解】當m⊥平面α時，若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題4、D【解析】

如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.5、D【解析】

先用公差表示出，結合等比數列求出.【詳解】,因為成等比數列，所以，解得.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關系是求解的關鍵.6、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得位于，結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數形結合思想易得．7、C【解析】

由可得，再利用計算即可.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.8、A【解析】

利用分段函數的性質逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點睛】本題考查了函數值的求法，考查對數的運算和對數函數的性質，是基礎題，解題時注意函數性質的合理應用．9、D【解析】

根據，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數是的系數是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題，10、B【解析】

計算，再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數，故.故選：.【點睛】本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.11、C【解析】

結合正弦定理、三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長，由此求得邊上的高.【詳解】過作，交的延長線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.12、A【解析】

根據函數的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數的圖像與性質，得出結論.【詳解】由函數（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

出場運動員編號相同的事件顯然有3種，計算出總的基本事件數，由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，出場的兩名運動員編號相同的事件數為3，出現的基本事件總數，則出場的兩名運動員編號相同的概率為.故答案為：【點睛】本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎題.14、【解析】

從7人中選出2人則總數有，符合條件數有，后者除以前者即得結果【詳解】從7人中隨機選出2人的總數有，則記選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為事件，∴故答案為：【點睛】組合數與概率的基本運用，熟悉組合數公式15、【解析】

設等差數列的公差為，根據，且，可得，解得，進而得出結論.【詳解】設公差為，因為，所以，所以，所以故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎題.16、4【解析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）將代入函數的解析式，將函數的及解析式變形為分段函數，利用二次函數的基本性質可求得函數的值域；（2）由參變量分離法得出在區(qū)間內有解，分和討論，求得函數的最大值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，.當時，；當時，.函數的值域為；（2）不等式等價于，即在區(qū)間內有解當時，，此時，，則；當時，，函數在區(qū)間上單調遞增，當時，，則.綜上，實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含絕對值函數的值域與含絕對值不等式有解的問題，利用絕對值的應用將函數轉化為二次函數，結合二次函數的性質是解決本題的關鍵，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結BM，推導出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導出△ABA1是等腰直角三角形，設AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結，因為是矩形，所以，因為，所以，又因為，，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結，，因為是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1）（圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，.所以，則，，設平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）極小值點為，極小值為，無極大值；（2）證明見解析【解析】

先對函數求導，結合已知及導數的幾何意義可求，結合單調性即可求解函數的極值點及極值；令，問題可轉化為求解函數的最值，結合導數可求．【詳解】（1）由題得函數的定義域為.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上單調遞增.令，得∴在上單調遞減∴的極小值點為，極小值為，無極大值.（2）證明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上單調遞增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【點睛】本題考查了利用導數研究函數的極值問題，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題．20、（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】

詳解：（Ⅰ）當時，由，解得；當時，不成立；當時，由，解得.所以不等式的解集為.（Ⅱ）因為，所以.由題意知對，，即，因為，所以，解得.【點睛】⑴絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值號，把它轉化為一般的不等式求解，轉化的方法一般有：①絕對值定義法；②平方法；③零點區(qū)域法．⑵不等式的恒成立可用分離變量法．若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍．這種方法本質也是求最值．一般有：①為參數）恒成立②為參數）恒成立．21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點，連結，，推導出平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．利用向量法能求出結果．【詳解】（Ⅰ）證明：取中點，連結、，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）解：取中點，連結，，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，1，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，設平面的法向量，，，則，取，得，，，設平面的法向量，，，則，取，得，設二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．則，，，，，，平面的法向量，，解得，線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解