2023-2024學(xué)年湖北省部分省級示范高中高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分省級示范高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由直線可得其斜率為：，則與其垂直的直線斜率為，故過點且與直線垂直的直線方程為，即：.故選：C.2.已知數(shù)列，則“”是“為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對數(shù)列，設(shè)，顯然滿足，但不是等差數(shù)列，故充分性不滿足；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，故必要性成立；綜上所述，“”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】D【解析】的圓心為，半徑為，變形為，圓心為，半徑為，故圓心距，故圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：D4.如圖，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點，求直線與直線夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，因為E，F(xiàn)分別是，的中點，故且，故四邊形為平行四邊形，故.又O是底面的中心，故為中點，直線與直線夾角為.設(shè)，則，，，.故.故選：A5.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則點到軸的距離為（）A B. C.2 D.1【答案】B【解析】由題意得，，拋物線中，所以yM=2，所以所求距離為故選：B6.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2020這2020個數(shù)中，被2除余1，且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A.161 B.171 C.181 D.191【答案】B【解析】由題意可知既是2的倍數(shù)，也是5倍數(shù)，即是10的倍數(shù)，則，故.故選：B.7.兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，所以.故選：A8.已知雙曲線的右焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線,垂足為,若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點,且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知雙曲線的漸近線方程為，雙曲線右焦點到漸近線的距離為，在中，，，所以，設(shè)，則，，因為，所以，所以，所以，在中，，所以，即，即，所以．故選：D二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.C.的最大值為10 D.【答案】ABC【解析】因為，當(dāng)時，,當(dāng)時，，所以，所以，檢驗符合上式，所以，所以，，所以是首項為，公差的等差數(shù)列，所以A正確；因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，B正確；因為，所以時有最大值，，所以的最大值為10，所以C正確；，，，所以D錯誤.故選：ABC10.已知拋物線的焦點的坐標(biāo)為2,0，則（）A.準(zhǔn)線的方程為B.焦點到準(zhǔn)線的距離為4C.過點A-2,0只有2條直線與拋物線有且只有一個公共點D.拋物線與圓交于兩點，則【答案】BD【解析】因為拋物線的焦點的坐標(biāo)為2,0，所以拋物線焦點在軸上，，準(zhǔn)線的方程為，A錯誤；焦點到準(zhǔn)線的距離為，B正確；如上圖，過點A-2,0的直線中有兩條直線與拋物線相切，還有與拋物線相交于一點，所以過點A-2,0有條直線與拋物線有且只有一個公共點，C錯誤；，得，解得（舍），，兩交點為，故，D正確.故選：BD11.偉大的古希臘哲學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B.若，則C.有且僅有一個點，使得D.的最小值為【答案】AD【解析】對于：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對于B：由定義可知，由余弦定理可得，，解得，則，故B錯誤；對于C：當(dāng)點為短軸的一個端點時，最大，此時為鈍角，則橢圓上存在四個不同的點，使得，故C錯誤；對于D，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確；故選：AD．12.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（）A.當(dāng)在平面上運動時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D.當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，線段長度的取值范圍是【答案】ACD【解析】對A：當(dāng)在平面上運動時，三棱錐的底面為三角形，其面積為定值，又點到面的距離即平面到平面的距離，也為定值，故三棱錐的體積不變，A正確；對B：連接，設(shè)其交點為，連接，作圖如下所示：因為面，故面，又面，故；當(dāng)點在上運動，因為//，則與所成的角即為與所成的角；當(dāng)點與點重合時，因為，故可得所成角為；當(dāng)點異于點時，設(shè)所成的角為，則，故當(dāng)與重合時，取得最大值，此時取得最小值，最小，此時，三角形為等邊三角形，故可得；綜上所述，當(dāng)點在上運動時，直線所成角范圍為，故B錯誤；對C：當(dāng)點與重合時，，也即與底面的夾角為；當(dāng)點在平面上時（異于點），過作，連接，顯然即為所求線面角；又，又，故，，故當(dāng)點在平面上時（異于點），與平面的夾角小于，不滿足題意；同理可得，當(dāng)點在平面上（異于點）時，與平面的夾角也小于，不滿足題意；當(dāng)點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當(dāng)點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當(dāng)點在平面上時，因為面//面，故與面所成角與與面所成角相等，因為面，連接，故；在三角形中，易知，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，故其軌跡長度為：；當(dāng)點在面上，不滿足題意；綜上所述：點軌跡的長度為：，故C正確；對D：取的中點分別為，連接，如下所示：因為//面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面與平面是同一個平面.則點的軌跡為線段；在三角形中，；；；則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若與共線，則__________.【答案】【解析】因為向量，且與共線，所以，解得：，所以.故答案為：14.在數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】依題意，，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是______．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程，當(dāng)過焦點的直線與兩條漸近線平行時，直線與雙曲線右支分別只有一個交點(因為雙曲線正在與漸近線無限接近中)，由圖可知，斜率不在的所有直線與雙曲線右支有兩點交點（如圖中直線），斜率在的所有直線都與雙曲線右支只有一個交點（如圖中直線）．所以此直線的斜率的取值范圍故答案為16.如圖所示，拋物線的焦點為，過點的直線與分別相交于和，直線過點，當(dāng)直線垂直于軸時，，則的方程為__________；設(shè)直線的傾斜角分別為，則的最大值為__________.【答案】；【解析】當(dāng)AB垂直于軸時，，此時，可得，故的方程為：；對拋物線上的任意兩點，若直線AB斜率存，則，故直線AB方程為：，即也即，又，故AB方程為：；若直線AB斜率不存在，，，顯然此時，直線AB方程亦可表示為：；綜上所述，AB方程可表示為：；又直線AB過點，則；設(shè)兩點坐標(biāo)為，同理可得直線CD方程為：，直線AD方程為：，又直線AD過點，則；又直線CD過點，則；綜上可得：，若直線斜率存在，設(shè)斜率為，則，顯然，當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取得等號；當(dāng)時，易知，故此時，；當(dāng)時，，則.綜上所述：的最大值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知是等差數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的最小值.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，因為，所以，解得.所以．（2）由（1）可知：，所以.令，得，解得：舍去），因為，所以的最小值是12.18.已知圓.（1）過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.解：（1）由題意即圖知，切線斜率存在，在圓中，圓心，半徑；點在圓上，設(shè)切線斜率為所以，解得，故切線方程為.（2）由題意，當(dāng)直線斜率不存在時，直線與圓交于,弦長恰好為2，直線滿足條件，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，則圓心到直線距離，所以在中，由勾股定理得，，解得：，所以直線方程為：，綜上，直線的方程為或.19.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項公式.解：（1）根據(jù)題意，數(shù)列滿足，等式兩邊除以，可得，即，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）結(jié)合（1）問可得，所以.由數(shù)列滿足可得，可得，當(dāng)時，可得又因為，適合上式，所以數(shù)列的通項公式.20.已知橢圓的右焦點F1,0與短軸端點間的距離為.（1）求的方程；（2）過作直線與交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，求的方程.解：（1）由已知得，又因為右焦點F1,0與短軸端點間的距離為得，則的方程為.（2）由題可知，若面積存在，則斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立消去得，因為直線過點，所以顯然成立，且.因為即，解得或（舍去）則，所以直線的方程為或.21.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面為線段的中點，過三點的平面與線段交于點，且.（1）證明：；（2）若四棱錐的體積為,則在線段上是否存在點,使得二面角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意得,,又平面平面，平面.又平面，平面平面，．又，.（2）取的中點為，連接，，，又平面平面，平面平面平面，平面，，則，又.取的中點為，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，假設(shè)存在點，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，即，可取，又平面的一個法向量，因為二面角的正弦值為，，解得或（舍）.存在點，使得二面角的正弦值為，此時.22.已知拋物線，點為的焦點，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，已知點，且以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，試問在軸上是否存在一定點.使直線恒過此定點.若存在，請求出定點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.解：（1）焦點，則直線為，聯(lián)立，消去消可得，恒成立，設(shè)，則，，解得所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線為，聯(lián)立方程，消可得，顯然：設(shè)，則，不妨設(shè)點，以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，則，又軸，所以平行軸，則.設(shè)，所以，即所以，即，所以直線為：，令，解得，所以直線恒過此定點.湖北省部分省級示范高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由直線可得其斜率為：，則與其垂直的直線斜率為，故過點且與直線垂直的直線方程為，即：.故選：C.2.已知數(shù)列，則“”是“為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對數(shù)列，設(shè)，顯然滿足，但不是等差數(shù)列，故充分性不滿足；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，故必要性成立；綜上所述，“”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】D【解析】的圓心為，半徑為，變形為，圓心為，半徑為，故圓心距，故圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：D4.如圖，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點，求直線與直線夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，因為E，F(xiàn)分別是，的中點，故且，故四邊形為平行四邊形，故.又O是底面的中心，故為中點，直線與直線夾角為.設(shè)，則，，，.故.故選：A5.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則點到軸的距離為（）A B. C.2 D.1【答案】B【解析】由題意得，，拋物線中，所以yM=2，所以所求距離為故選：B6.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2020這2020個數(shù)中，被2除余1，且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A.161 B.171 C.181 D.191【答案】B【解析】由題意可知既是2的倍數(shù)，也是5倍數(shù)，即是10的倍數(shù)，則，故.故選：B.7.兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，所以.故選：A8.已知雙曲線的右焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線,垂足為,若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點,且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知雙曲線的漸近線方程為，雙曲線右焦點到漸近線的距離為，在中，，，所以，設(shè)，則，，因為，所以，所以，所以，在中，，所以，即，即，所以．故選：D二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.C.的最大值為10 D.【答案】ABC【解析】因為，當(dāng)時，,當(dāng)時，，所以，所以，檢驗符合上式，所以，所以，，所以是首項為，公差的等差數(shù)列，所以A正確；因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，B正確；因為，所以時有最大值，，所以的最大值為10，所以C正確；，，，所以D錯誤.故選：ABC10.已知拋物線的焦點的坐標(biāo)為2,0，則（）A.準(zhǔn)線的方程為B.焦點到準(zhǔn)線的距離為4C.過點A-2,0只有2條直線與拋物線有且只有一個公共點D.拋物線與圓交于兩點，則【答案】BD【解析】因為拋物線的焦點的坐標(biāo)為2,0，所以拋物線焦點在軸上，，準(zhǔn)線的方程為，A錯誤；焦點到準(zhǔn)線的距離為，B正確；如上圖，過點A-2,0的直線中有兩條直線與拋物線相切，還有與拋物線相交于一點，所以過點A-2,0有條直線與拋物線有且只有一個公共點，C錯誤；，得，解得（舍），，兩交點為，故，D正確.故選：BD11.偉大的古希臘哲學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B.若，則C.有且僅有一個點，使得D.的最小值為【答案】AD【解析】對于：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對于B：由定義可知，由余弦定理可得，，解得，則，故B錯誤；對于C：當(dāng)點為短軸的一個端點時，最大，此時為鈍角，則橢圓上存在四個不同的點，使得，故C錯誤；對于D，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確；故選：AD．12.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（）A.當(dāng)在平面上運動時，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D.當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，線段長度的取值范圍是【答案】ACD【解析】對A：當(dāng)在平面上運動時，三棱錐的底面為三角形，其面積為定值，又點到面的距離即平面到平面的距離，也為定值，故三棱錐的體積不變，A正確；對B：連接，設(shè)其交點為，連接，作圖如下所示：因為面，故面，又面，故；當(dāng)點在上運動，因為//，則與所成的角即為與所成的角；當(dāng)點與點重合時，因為，故可得所成角為；當(dāng)點異于點時，設(shè)所成的角為，則，故當(dāng)與重合時，取得最大值，此時取得最小值，最小，此時，三角形為等邊三角形，故可得；綜上所述，當(dāng)點在上運動時，直線所成角范圍為，故B錯誤；對C：當(dāng)點與重合時，，也即與底面的夾角為；當(dāng)點在平面上時（異于點），過作，連接，顯然即為所求線面角；又，又，故，，故當(dāng)點在平面上時（異于點），與平面的夾角小于，不滿足題意；同理可得，當(dāng)點在平面上（異于點）時，與平面的夾角也小于，不滿足題意；當(dāng)點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當(dāng)點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當(dāng)點在平面上時，因為面//面，故與面所成角與與面所成角相等，因為面，連接，故；在三角形中，易知，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，故其軌跡長度為：；當(dāng)點在面上，不滿足題意；綜上所述：點軌跡的長度為：，故C正確；對D：取的中點分別為，連接，如下所示：因為//面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面與平面是同一個平面.則點的軌跡為線段；在三角形中，；；；則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若與共線，則__________.【答案】【解析】因為向量，且與共線，所以，解得：，所以.故答案為：14.在數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】依題意，，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是______．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程，當(dāng)過焦點的直線與兩條漸近線平行時，直線與雙曲線右支分別只有一個交點(因為雙曲線正在與漸近線無限接近中)，由圖可知，斜率不在的所有直線與雙曲線右支有兩點交點（如圖中直線），斜率在的所有直線都與雙曲線右支只有一個交點（如圖中直線）．所以此直線的斜率的取值范圍故答案為16.如圖所示，拋物線的焦點為，過點的直線與分別相交于和，直線過點，當(dāng)直線垂直于軸時，，則的方程為__________；設(shè)直線的傾斜角分別為，則的最大值為__________.【答案】；【解析】當(dāng)AB垂直于軸時，，此時，可得，故的方程為：；對拋物線上的任意兩點，若直線AB斜率存，則，故直線AB方程為：，即也即，又，故AB方程為：；若直線AB斜率不存在，，，顯然此時，直線AB方程亦可表示為：；綜上所述，AB方程可表示為：；又直線AB過點，則；設(shè)兩點坐標(biāo)為，同理可得直線CD方程為：，直線AD方程為：，又直線AD過點，則；又直線CD過點，則；綜上可得：，若直線斜率存在，設(shè)斜率為，則，顯然，當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取得等號；當(dāng)時，易知，故此時，；當(dāng)時，，則.綜上所述：的最大值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知是等差數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的最小值.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，因為，所以，解得.所以．（2）由（1）可知：，所以.令，得，解得：舍去），因為，所以的最小值是12.18.已知圓.（1）過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.解：（1）由題意即圖知，切線斜率存在，在圓中，圓心，半徑；點在圓上，設(shè)切線斜率為所以，解得，故切線方程