2023-2024學年江蘇省常州市高一上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2023-2024學年高一上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.設全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為,所以，，，，或，.故選：B.3.已知冪函數(shù)的圖象經過點，則（）A.為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增B.為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減C.為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增D.為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減【答案】B【解析】設冪函數(shù)為，因為冪函數(shù)的圖象經過點，所以，解得，故，定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，又因為，所以在區(qū)間上單調遞減.故選：B.4.已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設扇形半徑為，則，，所以.故選：D.5.設a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（）A. B.C. D.與的大小與的取值有關【答案】A【解析】由，且，即，可得，即.故選：A.6.“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充要條件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，定義域為，，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充要條件是.故選：C.7.將正弦曲線向左平移個單位得到曲線，再將曲線上的每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫角€，最后將曲線上的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的．若曲線恰好是函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將正弦曲線向左平移個單位得到曲線的圖象；再將曲線上的每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫角€的圖象；最后將曲線上的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的的圖象.由于曲線恰好是函數(shù)的圖象.在區(qū)間上，，，.故在區(qū)間上的值域是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為，若存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，且在單調遞減，所以的最小值為，可得，且，所以在上單調遞增，所以，因為存在，滿足，則，所以，解得：.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】函數(shù)（其中且）的圖象在第一、三、四象限，根據圖象的性質可得：，即.故選：BD.10.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，冪函數(shù)在上單調遞減，，所以，故A錯誤；對于B，指數(shù)函數(shù)在上單調遞減，，所以，故B正確；對于C，對數(shù)函數(shù)在上單調遞減，，所以，故C正確；對于D，余弦函數(shù)在上單調遞減，，所以，故D正確.故選：BCD.11.若函數(shù)對于任意，都有，則稱具有性質．下列函數(shù)中，具有性質的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于任意，，故函數(shù)圖像應該是上凸的，此時，如圖所示：或者函數(shù)圖像是一條直線，此時，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據圖像知：ACD滿足條件.故選：ACD.12.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，且）恰能滿足下列4個條件中的3個：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象經過點；③函數(shù)的圖象關于點對稱；④函數(shù)的圖象關于直線對稱．則這3個條件的序號可以是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】AB【解析】若①正確，則，解得；若②正確，則，，，故；若③正確，則，；若④正確，則，；對選項A：，取，，滿足條件，此時④不滿足，正確；對選項B：，取，，滿足條件，此時③不滿足，正確；對選項C：，，，不成立，錯誤；對選項D：相減得到，，則，，此時，整理的，，而，故不成立，錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】函數(shù)，則，所以.14.已知為第二象限角，且滿足，則______．【答案】【解析】，則，即，故，為第二象限角，故，，，解得，，故.15.已知在中，，若的內接矩形的一邊在BC邊上，則該內接矩形的面積的最大值為______．【答案】150【解析】如圖，過點向作垂線，垂足為，交于點，設矩形與，分別交于點，與交于點，且，，由題意知，，所以，又因為，，所以，即，其中，矩形面積，，當時，取得最大值150.16.設分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則曲線與曲線在區(qū)間上的公共點個數(shù)為______．【答案】4047【解析】因為，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù).所以，.所以，得到.則，因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù).由復合函數(shù)的單調性易得為上的增函數(shù)，又，則，，故，所以的值域為.則與曲線為周期為的函數(shù)在區(qū)間上的交點，可以分為，兩部分進行分析，則當時，一個周期內有兩個交點，則一共由2024個交點，則當時，去掉在0處的交點，則一共有交點2023個交點，所以兩個函數(shù)一共有交點4047個交點.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計算：；（2）已知，計算的值并證明．解：（1）.（2）因為，所以，，，因為，，所以，且，所以，即.18.設集合，集合，集合．（1）求；（2）當時，求函數(shù)的值域．解：（1）因為，且，當，原不等式等價于，解得或，當，原不等式等價于，無解，所以，，因為，所以，即，所以，所以.（2）當時，，因為，所以，所以，所以，令，又在上單調遞增，所以，所以函數(shù)的值域為.19.在平面直角坐標系xOy中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊經過第四象限內的點，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為角的始邊為x軸的非負半軸，終邊經過第四象限內的點，，所以，且，解得.（2），因為，所以，所以原式.20已知函數(shù)，其中．（1）當時，求在區(qū)間上的最值及取最值時的值；（2）若的最小值為，求．解：（1）當時，，令，，則，的圖象對稱軸為，開口向上，所以當時，即時，取得最小值，最小值為，當時，即時，取得最大值，最大值為，所以在上的最小值為，此時，最大值為，此時.（2）因為的最小值為，所以，且，所以，又，所以.21.已知結論：設函數(shù)的定義域為，若對恒成立，則的圖象關于點中心對稱，反之亦然．特別地，當時，的圖象關于原點對稱，此時為奇函數(shù)．設函數(shù)．（1）判斷在上的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明；（2）計算的值，并根據結論寫出函數(shù)的圖象的對稱中心；（3）若不等式對恒成立，求實數(shù)的最大值．解：（1）在上單調遞減，證明如下：設，則，，則，故，即，函數(shù)在上單調遞減.（2），則，故函數(shù)的圖象的對稱中心為.（3）設，故奇函數(shù)，且在上單調遞減，，即，即，則在上恒成立，即，，，當且僅當時等號成立，故，即的最大值為.22.已知．（1）若為奇函數(shù)，求的值，并解方程；（2）解關于的不等式．解：（1）的定義域為R，因為為奇函數(shù)，則，解得，故，又，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故.又，即，解得，即.（2）因為，，，關于的不等式可轉化為，即，①當時，；②當時，，解得，③當時，或，解得或，，綜上，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為.江蘇省常州市2023-2024學年高一上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.設全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為,所以，，，，或，.故選：B.3.已知冪函數(shù)的圖象經過點，則（）A.為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增B.為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減C.為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增D.為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減【答案】B【解析】設冪函數(shù)為，因為冪函數(shù)的圖象經過點，所以，解得，故，定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，又因為，所以在區(qū)間上單調遞減.故選：B.4.已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設扇形半徑為，則，，所以.故選：D.5.設a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（）A. B.C. D.與的大小與的取值有關【答案】A【解析】由，且，即，可得，即.故選：A.6.“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充要條件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，定義域為，，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充要條件是.故選：C.7.將正弦曲線向左平移個單位得到曲線，再將曲線上的每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫角€，最后將曲線上的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的．若曲線恰好是函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將正弦曲線向左平移個單位得到曲線的圖象；再將曲線上的每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫角€的圖象；最后將曲線上的每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的的圖象.由于曲線恰好是函數(shù)的圖象.在區(qū)間上，，，.故在區(qū)間上的值域是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為，若存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，且在單調遞減，所以的最小值為，可得，且，所以在上單調遞增，所以，因為存在，滿足，則，所以，解得：.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】函數(shù)（其中且）的圖象在第一、三、四象限，根據圖象的性質可得：，即.故選：BD.10.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，冪函數(shù)在上單調遞減，，所以，故A錯誤；對于B，指數(shù)函數(shù)在上單調遞減，，所以，故B正確；對于C，對數(shù)函數(shù)在上單調遞減，，所以，故C正確；對于D，余弦函數(shù)在上單調遞減，，所以，故D正確.故選：BCD.11.若函數(shù)對于任意，都有，則稱具有性質．下列函數(shù)中，具有性質的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于任意，，故函數(shù)圖像應該是上凸的，此時，如圖所示：或者函數(shù)圖像是一條直線，此時，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據圖像知：ACD滿足條件.故選：ACD.12.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，且）恰能滿足下列4個條件中的3個：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象經過點；③函數(shù)的圖象關于點對稱；④函數(shù)的圖象關于直線對稱．則這3個條件的序號可以是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】AB【解析】若①正確，則，解得；若②正確，則，，，故；若③正確，則，；若④正確，則，；對選項A：，取，，滿足條件，此時④不滿足，正確；對選項B：，取，，滿足條件，此時③不滿足，正確；對選項C：，，，不成立，錯誤；對選項D：相減得到，，則，，此時，整理的，，而，故不成立，錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】函數(shù)，則，所以.14.已知為第二象限角，且滿足，則______．【答案】【解析】，則，即，故，為第二象限角，故，，，解得，，故.15.已知在中，，若的內接矩形的一邊在BC邊上，則該內接矩形的面積的最大值為______．【答案】150【解析】如圖，過點向作垂線，垂足為，交于點，設矩形與，分別交于點，與交于點，且，，由題意知，，所以，又因為，，所以，即，其中，矩形面積，，當時，取得最大值150.16.設分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則曲線與曲線在區(qū)間上的公共點個數(shù)為______．【答案】4047【解析】因為，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù).所以，.所以，得到.則，因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù).由復合函數(shù)的單調性易得為上的增函數(shù)，又，則，，故，所以的值域為.則與曲線為周期為的函數(shù)在區(qū)間上的交點，可以分為，兩部分進行分析，則當時，一個周期內有兩個交點，則一共由2024個交點，則當時，去掉在0處的交點，則一共有交點2023個交點，所以兩個函數(shù)一共有交點4047個交點.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計算：；（2）已知，計算的值并證明．解：（1）.（2）因為，所以，，，因為，，所以，且，所以，即.18.設集合，集合，集合．（1）求；（2）當時，求函數(shù)的值域．解：（1）因為，且，當，原不等式等價于，解得或，當，原不等式等價于，無解，所以，，因為，所以，即，所以，所以.（2）當時，，因為，所以，所以，所以，令，又在上單調遞增，所以，所以函數(shù)的值域為.19.在平面直角坐標系xOy中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊經過第四象限內的點，且．（1）求的值；（2）求的