中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題20 分類討論思想在壓軸題中的應(yīng)用（原卷版）

專題20分類討論思想在壓軸題中的應(yīng)用分類討論思想是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想，在中考數(shù)學(xué)壓軸題中考查頻繁，例如在解決中考?jí)狠S題中的存在性問題時(shí)，要用到分類討論思想：1.在解決等腰三角形存在性問題時(shí)，需要討論腰和底的多種情況；2.在解決直角三角形存在性問題時(shí)，需要對(duì)直角的情況進(jìn)行討論；3.在解決平行四邊形和矩形、菱形、正方形的存在性時(shí)，需要對(duì)鄰邊或?qū)叺那闆r進(jìn)行討論；4.在解決相似三角形存在性問題時(shí)，需要對(duì)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角進(jìn)行分類討論；5.壓軸題中其他的問題，例如線段的數(shù)量和位置關(guān)系等，有時(shí)也需要進(jìn)行分類討論。 （2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段SKIPIF1<0向點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段SKIPIF1<0向點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0秒（SKIPIF1<0）．當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大？最大面積是多少？(3)已知SKIPIF1<0是拋物線上一點(diǎn)，在直線SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)SKIPIF1<0秒時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，求得其最大面積；（3）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得直線SKIPIF1<0解析式為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分三種情況進(jìn)行討論求解．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，最大面積是SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）將點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，解這個(gè)方程組得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二次函數(shù)的表達(dá)式為SKIPIF1<0；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖：設(shè)SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，根據(jù)題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，最大面積是SKIPIF1<0；（3）存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得直線SKIPIF1<0解析式為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是對(duì)角線，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)重合，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，舍去SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為對(duì)角線，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)重合，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0舍去SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為對(duì)角線，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)重合，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線SKIPIF1<0．(1)如圖①，若拋物線圖象與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交點(diǎn)SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)SKIPIF1<0不重合），過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，與線段SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)如圖②，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，同時(shí)與拋物線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，以線段SKIPIF1<0為邊作菱形SKIPIF1<0，使點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0軸的正半軸上，若該拋物線與線段SKIPIF1<0沒有交點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍．（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)為5，因?yàn)樗倪呅蜟DFE是菱形，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段SKIPIF1<0沒有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進(jìn)行討論，求出b的取值范圍．【答案】(1)①SKIPIF1<0，②存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0），理由見解析(2)b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【詳解】（1）①解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)、點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：m=2或m=SKIPIF1<0或m=3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=SKIPIF1<0∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0）（2）解：把點(diǎn)D（-3，0）代入直線SKIPIF1<0，解得n=4，∴直線SKIPIF1<0，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即點(diǎn)C（0，4）∴CD=SKIPIF1<0=5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點(diǎn)E（5，4）∵點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴SKIPIF1<0，∵該拋物線與線段SKIPIF1<0沒有交點(diǎn)，分情況討論當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時(shí)52+5b+3b-9<4解得：b<SKIPIF1<0當(dāng)CE在拋物線右側(cè)時(shí)，3b-9>4解得：b>SKIPIF1<0綜上所述，b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別落在x軸和y軸上，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)F，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，交SKIPIF1<0于點(diǎn)G．(1)求k的值．(2)連接SKIPIF1<0，則圖中是否存在與SKIPIF1<0相似的三角形？若存在，請(qǐng)把它們一一找出來，并選其中一種進(jìn)行證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)M在直線SKIPIF1<0上，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形SKIPIF1<0是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．2．（2022·河南鄭州·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，連SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)如圖3，若SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0，并且使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，直接寫出SKIPIF1<0=______．3．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿SKIPIF1<0以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線SKIPIF1<0以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q停止1秒，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)．分別連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求點(diǎn)A與SKIPIF1<0之間的距離；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0為鈍角三角形時(shí)，求t的取值范圍；(4)點(diǎn)P關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接SKIPIF1<0，當(dāng)線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的某條邊平行時(shí)，直接寫出t的值．4．（2022·浙江金華·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)D從原點(diǎn)O出發(fā)沿SKIPIF1<0勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿SKIPIF1<0隨D運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：SKIPIF1<0．(2)若點(diǎn)E在BC邊上，當(dāng)SKIPIF1<0為等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，是否存在這樣的t，使得以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與SKIPIF1<0相似?若存在，直接寫出所有符合條件的t；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2022·重慶·模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0交x軸于點(diǎn)A和C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3），拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)將線段OE繞著點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段SKIPIF1<0，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(3)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·廣東佛山·?？既＃┮阎獟佄锞€SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)A，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左側(cè)），交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若經(jīng)過點(diǎn)A的直線SKIPIF1<0交拋物線于點(diǎn)SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；②當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，那么以A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0