八年級下冊數(shù)學(xué)教案

第十六章分式

16.1分式

16.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解分式、有理式的概念.

2.理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件；能熟練地求出分式有意

義的條件，分式的值為零的條件.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

2.難點(diǎn)：能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法

難點(diǎn)是能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.突破難點(diǎn)的

方法是利用分式與分?jǐn)?shù)有許多類似之處，從分?jǐn)?shù)入手，研究出分式的有關(guān)概念，

同時(shí)還要講清分式與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別.

三、例、習(xí)題的意圖分析

本章從實(shí)際問題引出分式方程100=60,給出分式的描述性的定義：像這

20+v20-v

樣分母中含有字母的式子屬于分式.不要在列方程時(shí)耽誤時(shí)間，列方程在這節(jié)課

里不是重點(diǎn)，也不要求解這個(gè)方程.

1.本節(jié)進(jìn)一步提出P4［思考］讓學(xué)生自己依次填出：10,￡,200,L為下

7a33s

面的［觀察］提供具體的式子，就以上的式子J2L，包，￡,L有什么共同點(diǎn)？

20+v20-vas

它們與分?jǐn)?shù)有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

A

可以發(fā)現(xiàn)，這些式子都像分?jǐn)?shù)一樣都是（即A4-B）的形式.分?jǐn)?shù)的分子A

與分母B都是整數(shù)，而這些式子中的A、B都是整式，并且B中都含有字母.

P5［歸納］順理成章地給出了分式的定義.分式與分?jǐn)?shù)有許多類似之處，研究

分式往往要類比分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念，所以要引導(dǎo)學(xué)生了解分式與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)

別.

希望老師注意：分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性，例如分式&可以表示為兩個(gè)

B

整式相除的商（除式不能為零），其中包括所有的分?jǐn)?shù).

2.P5［思考］引發(fā)學(xué)生思考分式的分母應(yīng)滿足什么條件，分式才有意義？由

分?jǐn)?shù)的分母不能為零，用類比的方法歸納出：分式的分母也不能為零.注意只有

A

滿足了分式的分母不能為零這個(gè)條件,分式才有意義.即當(dāng)BW0時(shí)，分式-才

B

有意義.

3.P5例1填空是應(yīng)用分式有意義的條件一分母不為零，解出字母x的值.

還可以利用這道題，不改變分式，只把題目改成“分式無意義”，使學(xué)生比較全

面地理解分式及有關(guān)的概念，也為今后求函數(shù)的自變量的取值范圍，打下良好的

基礎(chǔ).

4.P12［拓廣探索］中第13題提到了“在什么條件下，分式的值為0?”，

下面補(bǔ)充的例2為了學(xué)生更全面地體驗(yàn)分式的值為0時(shí)，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件:

①分母不能為零；②分子為零.這兩個(gè)條件得到的解集的公共部分才是這一類題

目的解.

四、課堂引入

1.讓學(xué)生填寫P4［思考］,學(xué)生自己依次填出：12,￡,200,I.

1a33s

2.學(xué)生看P3的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江

以最大航速順流航行100千米所用實(shí)踐，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)

間相等，江水的流速為多少？

請同學(xué)們跟著教師一起設(shè)未知數(shù)，列方程.

設(shè)江水的流速為x千米/時(shí).

輪船順流航行100千米所用的時(shí)間為型_小時(shí)，逆流航行60千米所用時(shí)間

20+v

工.小時(shí)，所以I。。=60.

20-v20+v20-v

3.以上的式子60,上，L有什么共同點(diǎn)？它們與分?jǐn)?shù)有什么相

20+v20-vas

同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

五、例題講解

P5例1.當(dāng)x為何值時(shí)，分式有意義.

［分析］已知分式有意義，就可以知道分式的分母不為零，進(jìn)一步解

出字母x的取值范圍.

［提問］如果題目為：當(dāng)x為何值時(shí)，分式無意義.你知道怎么解題嗎？這樣

可以使學(xué)生一題二用，也可以讓學(xué)生更全面地感受到分式及有關(guān)概念.

(補(bǔ)充)例2.當(dāng)m為何值時(shí)，分式的值為0?

">2,?2_|

(1)m-1(2),"+3(3)加+］

［分析］分式的值為0時(shí)，必須回枝滿足兩個(gè)條件：①分母不能為零；②分

子為零，這樣求出的m的解集中的公共部分，就是這類題目的解.

［答案］(1)m=0(2)m=2(3)m=l

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4,Z,2±z,竺a,8y-3,

x205y2x-9

2.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？

3x+52x-5

(1)^1(2)五(3)E

3.當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為0?

⑴山(2)(3)4^

5x21-3xx-x

七、課后練習(xí)

1?列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，則他8小時(shí)做零件個(gè)，做80個(gè)零件需小

時(shí).

(2)輪船在靜水中每小時(shí)走a千米，水流的速度是b千米/時(shí)，輪船的順流

速度是千米/時(shí)，輪船的逆流速度是千米/時(shí).

(3)x與y的差于4的商是.

2.當(dāng)x取何值時(shí)，分式;與無意義？

3x-2

3.當(dāng)x為何值時(shí)，分式RB的值為0?

X'-X

八、答案：

六、1.整式：9x+4,山，I分式：1,為二2,_L

205xy2x-9

3

2.(1)xW-2(2)水W(3)xW±2

3.(1)x=-7(2)x=0(3)x=-l

80

sx-y?x-y

七、1.18x^,a+b,------，------，整式:8x,a+b,

a+b44

分式：雙，上

xa+b

2.X=23.x=-l

3

16.1.2分式的基本性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解分式的基本性質(zhì).

2.會用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式的基本性質(zhì).

2.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法

教學(xué)難點(diǎn)是靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.突破的方法是通過復(fù)習(xí)

分?jǐn)?shù)的通分、約分總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，再用類比的方法得出分式的基本性質(zhì).

應(yīng)用分式的基本性質(zhì)導(dǎo)出通分、約分的概念，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上靈活地將分

式變形.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P7的例2是使學(xué)生觀察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以

了什么整式，然后應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，相應(yīng)地把分子（或分母）乘以或除以了

這個(gè)整式，填到括號里作為答案，使分式的值不變.

2.P9的例3、例4地目的是進(jìn)一步運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分.

值得注意的是：約分是要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，最后的結(jié)果要是最簡分式；

通分是要正確地確定各個(gè)分母的最簡公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以及

所有因式的最高次累的積，作為最簡公分母.

教師要講清方法，還要及時(shí)地糾正學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)的錯誤，使學(xué)生在做提示

加深對相應(yīng)概念及方法的理解.

3.P11習(xí)題16.1的第5題是：不改變分式的值，使下列分式的分子和分母

都不含“-”號.這一類題教材里沒有例題，但它也是由分式的基本性質(zhì)得出分子、

分母和分式本身的符號，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.

“不改變分式的值，使分式的分子和分母都不含號”是分式的基本性質(zhì)的

應(yīng)用之一，所以補(bǔ)充例5.

四、課堂引入

1.請同學(xué)們考慮：（與算相等嗎？i與（相等嗎？為什么？

31593

2.說出W與五之間變形的過程，五與i之間變形的過程，并說出變形

依據(jù)？

3.提問分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生類比猜想出分式的基本性質(zhì).

五、例題講解

P7例2.填空:

［分析］應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把已知的分子、分母同乘以或除以同一個(gè)整式，

使分式的值不變.

P11例3.約分：

［分析］約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個(gè)整式,

使分式的值不變.所以要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡分式.

P11例4.通分：

［分析］通分要想確定各分式的公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以及

所有因式的最高次幕的積，作為最簡公分母.

（補(bǔ)充）例5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號.

_6b,-x,_2m,-Im,-3x。

-5a3y-n6n-4y

［分析］每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號，其中兩個(gè)符號同

時(shí)改變，分式的值不變.

X2m_2m

解：3="，一九_---,9

-5a5a37一3y一〃n

-7m_Im-3x_3x

0

6n6n_4y4y

六、隨堂練習(xí)

1.填空：

(1)a6aE_3萬

⑵

x~+3xx+38/n

)附1=()——)，2

(3(4)

a+carisen(x+4()

2.約分：

⑴網(wǎng)2(2)如4/o\―4工2/3⑷

Gabc2mn16X”5yr

3.通分：

(1)—^和2(2)，-和巴

2ab35c12bze2xy3x2

⑶券和一七(4)—和」一

y-1y+1

4.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號.

⑴蕓⑵-高⑶得（4）n

m

七、課后練習(xí)

1.判斷下列約分是否正確:

b+chx2-y2x+y

(3)^-^=0

m+n

2.通分：

3.不改變分式的值，使分子第一項(xiàng)系數(shù)為正，分式本身不帶號.

(1)~2a~b(2)_r+2y

-a+b3x-y

八、答案：

六、1.(l)2x(2)4b(3)bn+n(4)x+y

4m

2.(1)—(2)(3)--二(4)-2(x-y)2

2bcn4z~

3.通分：

(1)—!-y=5ac24b

2ab3l0a2h3c56b2c10a2b3c

(2)2=3axb2by

/2'

2xy6xy3?"6x2y

(3)-^=12c3aah

2ab2Sab2c28bcSab2c2

y+i1

(4)—=

y-l(y-i)(y+i)y+i(y-i)(y+i)

4.⑴二a35a⑷(a-b)2

-(2)(3).

3ab217b213x2m

16.2分式的運(yùn)算

16.2.1分式的乘除（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：理解分式乘除法的法則，會進(jìn)行分式乘除運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

3.難點(diǎn)與突破方法

分式的運(yùn)算以有理數(shù)和整式的運(yùn)算為基礎(chǔ)，以因式分解為手段，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后

往經(jīng)過轉(zhuǎn)化后往往可視為整式的運(yùn)算.分式的乘除的法則和運(yùn)算順序可類比

分?jǐn)?shù)的有關(guān)內(nèi)容得到.所以，教給學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想方法能較好地實(shí)現(xiàn)新

知識的轉(zhuǎn)化.只要做到這一點(diǎn)就可充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，使學(xué)生主動獲取

知識.教師要重點(diǎn)處理分式中有別于分?jǐn)?shù)運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生規(guī)范掌握，

特別是運(yùn)算符號的問題，要抓住出現(xiàn)的問題認(rèn)真落實(shí).

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P13本節(jié)的引入還是用問題1求容積的高，問題2求大拖拉機(jī)的工作效

率是小拖拉機(jī)的工作效率的多少倍，這兩個(gè)引例所得到的容積的高是上?呵，大

ahn

拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的（三倍.引出了分式的乘除法的

n）

實(shí)際存在的意義，進(jìn)一步引出P14［觀察］從分?jǐn)?shù)的乘除法引導(dǎo)學(xué)生類比出分式的

乘除法的法則.但分析題意、列式子時(shí)，不易耽誤太多時(shí)間.

2.P14例1應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，注意計(jì)算的結(jié)果如能約分，

應(yīng)化簡到最簡.

3.P14例2是較復(fù)雜的分式乘除，分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多

項(xiàng)式分解因式，再進(jìn)行約分.

4.P14例3是應(yīng)用題，題意也比較容易理解，式子也比較容易列出來，但

要注意根據(jù)問題的實(shí)際意義可知a〉l,因止匕（a-1）Ja2-2a+l<aJ2+l,即（a-D'a'-l.

這一點(diǎn)要給學(xué)生講清楚，才能分析清楚“豐收2號”單位面積產(chǎn)量高.（或用求

差法比較兩代數(shù)式的大?。?/p>

四、課堂引入

1.出示P13本節(jié)的引入的問題1求容積的高工?生，問題2求大拖拉機(jī)的工

ahn

ab

作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的倍.

mn

［引入］從上面的問題可知，有時(shí)需要分式運(yùn)算的乘除.本節(jié)我們就討論數(shù)量

關(guān)系需要進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算.我們先從分?jǐn)?shù)的乘除入手，類比出分式的乘除法

法則.

1.P14［觀察］從上面的算式可以看到分式的乘除法法則.

3.［提問］P14［思考］類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法則？

類似分?jǐn)?shù)的乘除法法則得到分式的乘除法法則的結(jié)論.

五、例題講解

P14例1.

［分析］這道例題就是直接應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算.應(yīng)該注意的是運(yùn)

算結(jié)果應(yīng)約分到最簡，還應(yīng)注意在計(jì)算時(shí)跟整式運(yùn)算一樣，先判斷運(yùn)算符號，在

計(jì)算結(jié)果.

P15例2.

［分析］這道例題的分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多項(xiàng)式分解因式，

再進(jìn)行約分.結(jié)果的分母如果不是單一的多項(xiàng)式，而是多個(gè)多項(xiàng)式相乘是不必把

它們展開.

P15例.

［分析］這道應(yīng)用題有兩問，第一問是：哪一種小麥的單位面積產(chǎn)量最高？

先分別求出“豐收1號”、“豐收2號”小麥試驗(yàn)田的面積，再分別求出“豐收

1號”、“豐收2號”小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量，分別是空、還要

?2-1("if

判斷出以上兩個(gè)分式的值，哪一個(gè)值更大.要根據(jù)問題的實(shí)際意義可知a>l,因此

(a-l)2=a2-2a+l<a2-2+l,BP(a-l)2<a2-l,可得出“豐收2號”單位面積產(chǎn)量高.

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)S.過(2)_匚.皿(3)

abc2m5〃一

,/一］

(4)-8xy/(5)--4(6),，2-6＞，+9丑3_),)

5xa2—2a+\a2+4614-4y+2

七、課后練習(xí)

計(jì)算

(1)學(xué)國(3)等+

(4)-4b'ab(6)42(1、_y2)

3ab2'a-2b-35(y-x)3

八、答案：

六、(1)ab(2).2m(3)(4)-20x2(5)5+D(2)

5n14(a-l)(a+2)

(6)IzZ

y+2

七、(1)_1(2)(3)(4)”絲

X2c2\Oax3b

(5)上(6)6x(i+y)

l-x5(x-?

16.2.1分式的乘除(二)

一、教學(xué)目標(biāo)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法：

緊緊抓住分式乘除法的混合運(yùn)算先統(tǒng)一成為乘法運(yùn)算這一點(diǎn)，然后利用上節(jié)

課分式乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)，達(dá)到熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算的目的.課堂練

習(xí)以學(xué)生自己討論為主，教師可組織學(xué)生對所做的題目作自我評價(jià)，關(guān)鍵是點(diǎn)撥

運(yùn)算符號問題、變號法則.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17頁例4是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先把除法

統(tǒng)成乘法運(yùn)算，再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約

分，注意最后的結(jié)果要是最簡分式或整式.

教材P17例4只把運(yùn)算統(tǒng)一乘法，而沒有把257-9分解因式,就得出了最后

的結(jié)果，教師在見解是不要跳步太快，以免學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生理解不了，造成新

的疑點(diǎn).

2,P17頁例4中沒有涉及到符號問題，可運(yùn)算符號問題、變號法則是學(xué)生

學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，突破符號問題.

四、課堂引入

計(jì)算

(1)2/.(_馬(2)更“瑪.(__1)

xyx4yy2x

五、例題講解

(P17)例4.計(jì)算

［分析］是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先統(tǒng)?成為乘法

運(yùn)算，再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約分，注意最

后的計(jì)算結(jié)果要是最簡的.

(補(bǔ)充)例.計(jì)算

二、3ah2.8xy、3x

(1)—T—?(----------2+--------

2x3y9a2b(-4/?)

=邛/-4b(先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算)

2x3y9a2b3x

3ab28xy4b

（判斷運(yùn)算的符號）

2x3y9a2b3x

16/

（約分到最簡分式）

9ax,

2x—6.,C(x+3)(x—2)

⑵---------------(X+J)

4-4x+4x------------------3-x

2x-61(x+3)(x-2)

（先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算）

4-4x+4x2x+33-x

,2(X-3)1(x+3)(x-2)

（分子、分母中的多項(xiàng)式分解因式）

(2-x)2x+33-x

,2(X-3)1(x+3)(x-2)

(x-21x+3一(工一3)

2

x—2

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

2

3b20c3

⑴意十條（急(2)—+(—6ab6c2)-L.

2a2b430淀護(hù)。

x2-2x)>+y2

9(4)(xy—/)十

⑶狂…y-x孫X2

七、課后練習(xí)

計(jì)算

。a2

⑴-中等+關(guān)）⑵q--6+93—a

4-b2"2+13。一9

12-6y/八x+盯‘.

(4)—~-H-(x+y)4-町

9-y2x"—xyy2f

八、答案:

⑴有⑶T

六.(4)-y

⑴36xz⑵昌

七.⑶旨(4)--

y3b-2X

16.2.1分式的乘除（三）

一、教學(xué)目標(biāo)：理解分式乘方的運(yùn)算法則，熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法

講解分式乘方的運(yùn)算法則之前，根據(jù)乘方的意義和分式乘法的法則，計(jì)算

a2a3

2_aaa-a3二3.3aaaa

bbbbb2~b~b~b~bbb17'

順其自然地推導(dǎo)可得:

n個(gè)n小

人

aa4_〃?Q…na

―,即（n為正整數(shù)）

~b'~hnn

bjb?b????bbb

n個(gè)n個(gè)

歸納出分式乘方的法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17例5第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判

斷乘方的結(jié)果的符號，在分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方

的混合運(yùn)算，應(yīng)對學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序：先做乘方，再做乘除..

2.教材P17例5中象第（1）題這樣的分式的乘方運(yùn)算只有一題，對于初學(xué)者

來說，練習(xí)的量顯然少了些，故教師應(yīng)作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充練習(xí).同樣象第（2）題這樣

的分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算，也應(yīng)相應(yīng)的增加幾題為好.

分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，

強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序，不要盲目地跳步計(jì)算，提高正確率，突破這個(gè)難點(diǎn).

四、課堂引入

計(jì)算下列各題:

(1)(_)2=_._=())

bhbbbob

aaa

-=()

hhbb

［提問］由以上計(jì)算的結(jié)果你能推出（/（n為正整數(shù)）的結(jié)果嗎？

五、例題講解

（P17）例5.計(jì)算

［分析］第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判斷乘方的結(jié)

果的符號，再分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方的混合運(yùn)

算，應(yīng)對學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序：先做乘方，再做乘除.

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式是否成立，并改正.

(1)心=與(2)(凸

2a2a~2a46r

(3)(卷)3=駕Gy2

(4)(^￡_)2=_2^

-3x9x3x-bx2-b2

2.計(jì)算

5v2

(1)(當(dāng)2⑵?、怯肏

2

(4)段)、(2

—)5）（力?（-%（中）

-Z

(6)(-2)2.(—汐

2x2y

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴(告)3⑵(-都之

341

⑶(二7)2+(*)2+(與4(4)(三2)2.(})3?2_從)

ababcabb-a

八、答案：

六、1.(1)不成立，匹￥=里(2)不成立，(0)2="

2a4a22a4a2

(3)不成立，(工匕了=一上二(4)不成立，

-3%27/

2

(/----3----x---)、2二-----------9---x---------------

x-bx2-2bx+b2

43

⑴器⑵_答8a)xv

2.(3)-(4)-4

4

⑸與⑹答

X

42

(1)-WC⑷誓

七、(2)-^―(3)

a&2,1+27

16.2.2分式的加減（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：（1）熟練地進(jìn)行同分母的分式加減法的運(yùn)算.

（2）會把異分母的分式通分，轉(zhuǎn)化成同分母的分式相加減.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法

進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算是難點(diǎn)，異分母的分式加減法的運(yùn)算,

必須轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法，，然后按同分母的分式加減法的法則計(jì)算，轉(zhuǎn)

化的關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是正確確定幾個(gè)分式的最簡公分母，確定最簡公分

母的般步驟：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）所出現(xiàn)的字母（或含字

母的式子）為底的累的因式都要??；（3）相同字母（或含字母的式子）的事的因式

取指數(shù)最大的.在求出最簡公分母后，還要確定分子、分母應(yīng)乘的因式，這個(gè)因

式就是最簡公分母除以原分母所得的商.

異分母的分式加減法的一般步驟：（1）通分，將異分母的分式化成同分母

的分式；（2）寫成“分母不便，分子相加減”的形式；（3）分子去括號，合并

同類項(xiàng)；（4）分子、分母約分，將結(jié)果化成最簡分式或整式.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P18問題3是一個(gè)工程問題，題意比較簡單，只是用字母n天來表示甲

工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程的時(shí)間，乙工程隊(duì)完成這一項(xiàng)工程的時(shí)間可表示為n+3天，

兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的2+—匚.這樣引出分式的加減法的實(shí)際背

n〃+3

景，問題4的目的與問題3一樣，從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量

關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式的加減法運(yùn)算.

2.P19［觀察］是為了讓學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的加減法法則，類比分?jǐn)?shù)的加減法，

分式的加減法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，讓學(xué)生自己說出分式的加減法法則.

3.P20例6計(jì)算應(yīng)用分式的加減法法則.第（1）題是同分母的分式減法的

運(yùn)算，第二個(gè)分式的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子變號的問題，比較簡單，所

以要補(bǔ)充分子是多項(xiàng)式的例題，教師要強(qiáng)調(diào)分子相減時(shí)第二個(gè)多項(xiàng)式注意變號；

第（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡公分母就是兩個(gè)分母的乘積，

沒有涉及分母要因式分解的題型.例6的練習(xí)的題量明顯不足，題型也過于簡單,

教師應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充一些題，以供學(xué)生練習(xí)，鞏固分式的加減法法則.

（4）P21例7是一道物理的電路題，學(xué)生首先要有并聯(lián)電路總電阻R與各

支路電阻Ri,Rz,…，R”的關(guān)系為_L=_L+_L+…+_L.若知道這個(gè)公式，就比較容

R"R2R.

易地用含有R的式子表示Rz,列出_L=_L+_^,下面的計(jì)算就是異分母的分式

RR、R1+50

加法的運(yùn)算了，得到1.2凡+50,再利用倒數(shù)的概念得到R的結(jié)果.這道題的數(shù)

R/?,（/?,+50）

學(xué)計(jì)算并不難，但是物理的知識若不熟悉，就為數(shù)學(xué)計(jì)算設(shè)置了難點(diǎn).鑒于以上

分析，教師在講這道題時(shí)要根據(jù)學(xué)生的物理知識掌握的情況，以及學(xué)生的具體掌

握異分母的分式加法的運(yùn)算的情況，可以考慮是否放在例8之后講.

四、課堂堂引入

1.出示P18問題3、問題4,教師引導(dǎo)學(xué)生列出答案.

引語：從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式

的加減法運(yùn)算.

2.下面我們先觀察分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算，請你說出分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算的法則

嗎？

3.分式的加減法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，你能說出分式的加減法法

則？

4.請同學(xué)們說出萬的最簡公分母是什么？你能說出最簡

2x2y33x4y29xy2

公分母的確定方法嗎？

五、例題講解

（P20）例6.計(jì)算

［分析］第（1）題是同分母的分式減法的運(yùn)算，分母不變，只把分子相減，

第二個(gè)分式的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子是多項(xiàng)式時(shí)，第二個(gè)多項(xiàng)式要變號

的問題，比較簡單；第（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡公分母就是兩

個(gè)分母的乘積.

（補(bǔ)充）例.計(jì)算

（.x+3yx+2y2x-3y

［分析］第（1）題是同分母的分式加減法的運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)分子為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)

把多項(xiàng)事看作一個(gè)整體加上括號參加運(yùn)算，結(jié)果也要約分化成最簡分式.

盤〃x+3yx+2y2x-3y

解:47-笆7+47

_（x+3y）-（x+2y）+（2x-3y）

=2x-2y

,2(x-y)

(x-y)(x+y)

2

犬+y

6

⑵小懸x2-9

［分析］第（2）題是異分母的分式加減法的運(yùn)算，先把分母進(jìn)行因式分解,

再確定最簡公分母，進(jìn)行通分，結(jié)果要化為最簡分式.

11-x6

解:---7+-Z--------7---

x—36+2x廠一9

---1---1---1---x-----------6------

x—32(x+3)(x+3)(x—3)

_2(x+3)+(l—尤)(工-3)—12

2(x+3)(x-3)

_-(x2-6x+9)

2(x+3)(x-3)

2(x+3)(x-3)

x-3

2x+6

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

a+bb-am+2nn2m

5a2b'5a2b5a2hn-mm—nn-m

63a-6b5a-6b4a-5h7a-8b

\O7(4)

Q+3a2-9a+ha-ha+ba-h

七、課后練習(xí)

計(jì)算

5a+6b3b-4aa+3b3b-aa+2b3a-4b

-------+----------------

⑴⑵2222

3a2be36。2c3cba2a2-b2a-b~b-a

/xb2a2..113x

(o3)------1-------FQ+0+](4)

a-hb-a6x—4y6x-4y4y2-6x2

八、答案：

3m+3〃1

四.⑴竺女(2)(3)(4)1

5a~bn-ma-3

2a-3b1

五.(1)：-(2)(3)1(4)

a2ba2-b23x-2y

16.2.2分式的加減（二）

一、教學(xué)目標(biāo)：明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法

教師強(qiáng)調(diào)進(jìn)行分式混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序,在沒有括號的情況下,

按從左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加減.有括號要按先小括號，再中括

號，最后大括號的順序.混合運(yùn)算后的結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的

結(jié)果要是最簡分式或整式.分子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，要把“-”號提到分式本

身的前面.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P21例8是分式的混合運(yùn)算.分式的混合運(yùn)算需要注意運(yùn)算順序，式與

數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要

進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要是最簡分式或整式.

例8只有一道題，訓(xùn)練的力度不夠，所以應(yīng)補(bǔ)充一些練習(xí)題，使學(xué)生熟練掌

握分式的混合運(yùn)算.

2.P22頁練習(xí)1：寫出第18頁問題3和問題4的計(jì)算結(jié)果.這道題與第一

節(jié)課相呼應(yīng)，也解決了本節(jié)引言中所列分式的計(jì)算，完整地解決了應(yīng)用問題.

四、課堂引入

1.說出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序.

2.教師指出分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與分式的混合運(yùn)算的順序相同.

五、例題講解

（P21）例8.計(jì)算

［分析］這道題是分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合

運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意

運(yùn)算的結(jié)果要是最簡分式.

（補(bǔ)充）計(jì)算

x2-2xx2-4.x+4x

［分析］這道題先做括號里的減法，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，把分母的“-”號

提到分式本身的前邊..

x~-2xx?-4x+4x

x+2x-1x

一x(x-2)―(x-2)2--(x-4)

_(x+2)(x-2)x(x-l)x

x(x-2)2x(x-2)2-(x-4)

_x~—4—x2+xx

x(x—2)~—(x—4)

1

x2-4x+4

242

'/)44"22

x-yx+yx-yx+y

［分析］這道題先做乘除，再做減法，把分子的“一”號提到分式本身的前邊.

242

解：———＞「三J

x-yx+yx-yx+y

_xyx4yx2+y2

x-yx+y(x2+y2)(x2-y2)x2

_孫2________

(x—y)(x+y)x2-y2

_x」y-x)

(x-y)(x+y)

xy

x+y

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)++(2)(―--------

x-22-x2xa-bb-aab

31221

(3)+---------)

a—2Q~—4?—2Q+2

七、課后練習(xí)

1.計(jì)算

(1)(1+上)(1--—)

x-yx+y

/o、/。+2a—1CL—24-ct

(2)---------------;-----------)--------—丁

ci"-2。a—4。+4(I

114

2.計(jì)算()+=，并求出當(dāng)。=T的值.

Q+2Q—2a

八、答案:

六、(1)2x(2)(3)3

a-b

外(2)—!—(3)a2

七、1.(1)2.-

x2-y2a-2a2-4,3

16.2.3整數(shù)指數(shù)塞

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知道負(fù)整數(shù)指數(shù)幕&-"=3?（a#0,n是正整數(shù)）.

a"

2.掌握整數(shù)指數(shù)第的運(yùn)算性質(zhì).

3.會用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：掌握整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.難點(diǎn)：會用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

3.認(rèn)知難點(diǎn)與突破方法

復(fù)習(xí)已學(xué)過的正整數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）同底數(shù)的幕的乘法：/（m,n是正整數(shù)）；

（2）幕的乘方：（〃"）"=*（m,n是正整數(shù)）;

（3）積的乘方：（H）"=a"b"（n是正整數(shù)）；

（4）同底數(shù)的基的除法：a"'^a"=a"-"（aWO,m,n是正整數(shù)，

m>n）；

（5）商的乘方：（/"=9（n是正整數(shù)）；

0指數(shù)幕，即當(dāng)a70時(shí)，a°=l.在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，曾經(jīng)介紹過1納米

=1。9米，即1納米=焉米.此處出現(xiàn)了負(fù)指數(shù)嘉，也出現(xiàn)了它的另外一種形式是

正指數(shù)的倒數(shù)形式，但是這只是一種簡單的介紹知識，而沒有講負(fù)指數(shù)累的運(yùn)算

法則.

學(xué)生在已經(jīng)回憶起以上知識的基礎(chǔ)上，一方面由分式的除法約分可知，當(dāng)a

W0時(shí)，/+。5=嗎=41^=3；另一方面，若把正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

aaa

a'"+a"（a^O,m,n是正整數(shù)，m>n）中的m>n這個(gè)條件去掉，那么

43+。5=/一5=12.于是得到q-2=3（a7,0）,就規(guī)定負(fù)整數(shù)指數(shù)于的運(yùn)算性質(zhì):

CT

當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，a-n=^-（aWO）,也就是把""=屋”"的適用范圍擴(kuò)大了，

an

這個(gè)運(yùn)算性質(zhì)適用于m、n可以是全體整數(shù).

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P23思考提出問題，引出本節(jié)課的主要內(nèi)容負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.P24觀察是為了引出同底數(shù)的事的乘法：am-an=a,n+n,這條性質(zhì)適用

于m,n是任意整數(shù)的結(jié)論,說明正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)具有延續(xù)性.其它的正

整數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)，在整數(shù)范圍里也都適用.

3.P24例9計(jì)算是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，教師不要因?yàn)檫@

部分知識已經(jīng)講過，就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握，要注意學(xué)生計(jì)算時(shí)的問題，及時(shí)矯正,

以達(dá)到學(xué)生掌握整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算的教學(xué)目的.

4.P25例10判斷下列等式是否正確？是為了類比負(fù)數(shù)的引入后使減法轉(zhuǎn)

化為加法，而得到負(fù)指數(shù)暴的引入可以使除法轉(zhuǎn)化為乘法這個(gè)結(jié)論，從而使分式

的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)一起來.

5.P25最后…段是介紹會用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).用科學(xué)計(jì)算法表

示小于1的數(shù)，運(yùn)用了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的知識.用科學(xué)計(jì)數(shù)法不僅可以表示小于1

的正數(shù)，也可以表示一個(gè)負(fù)數(shù).

6.P26思考提出問題，讓學(xué)生思考用負(fù)整數(shù)指數(shù)基來表示小于1的數(shù)，從

而歸納出：對于一個(gè)小于1的數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有幾個(gè)0,

用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示這個(gè)數(shù)時(shí)，10的指數(shù)就是負(fù)兒.

7.P26例11是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，使學(xué)生做過這道題后對納米有一個(gè)

新的認(rèn)識.更主要的是應(yīng)用用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

四、課堂引入

1.回憶正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)同底數(shù)的騫的乘法:優(yōu)"""=a'i(m,n是正整數(shù))；

(2)基的乘方：(a")"=*方,n是正整數(shù));

(3)積的乘方：(")"=a"b"(n是正整數(shù));

(4)同底數(shù)的幕的除法:(aWO,m,n是正整數(shù)，m>n)；

(5)商的乘方：(J=，n是正整數(shù))；

2.回憶0指數(shù)界的規(guī)定，即當(dāng)aWO時(shí)，a°=l.

1

3.你還記得1納米=10-米，即1納米=米嗎？

107

331

4.計(jì)算當(dāng)a70時(shí)，?3^?5=^=-^—=4,再假設(shè)正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

a'a-aa

性質(zhì)=屋…(a#0,m,n是正整數(shù)，m>n)中的m>n這個(gè)條件去掉，那么

/+a5=/-5=。-2.于是得到一2=勺(a70),就規(guī)定負(fù)整數(shù)指數(shù)于的運(yùn)算性