幫你怎么學好數(shù)學

幫你學數(shù)學

河北辛集中學校本課程教材

主編：趙鳳歧

編委：焦志誠郝秋者杜迎秋劉連考

劉永立張中堯曹云霄賈爽

李士津康會素趙鳳歧

、乙、:

刖s

有人對百名中小學數(shù)學教師和大學數(shù)學系的研究生進行過這樣的調(diào)查：當

你接觸到數(shù)學這個概念時，你把數(shù)學想象成什么？調(diào)查的結(jié)果是：76%的人首

先想到的是計算、公式、法則、證明；20%的人想到的是繁、枯燥、沒意思、

成績不及格；4%的人回答使人聰明、有趣、有用。這個結(jié)果令人深思。老師和

大學研究生都如此，那么中學生對數(shù)學又了解多少呢？

為了讓中學生更多地了解數(shù)學，更好的學習數(shù)學，對數(shù)學更感興趣，我們

編寫了這本校本教材。教材簡單介紹了什么是數(shù)學，數(shù)學在科學技術、社會生

活中的廣泛應用，數(shù)學是人類文化的主要內(nèi)容之一，及其高中數(shù)學的學習方法

指導和一些案例。希望由此解決高中同學們長期以來心中的疑惑，給出數(shù)學是

什么？為什么學習數(shù)學？學習什么樣的數(shù)學？怎樣學好數(shù)學？等等這兒個問題

的答案。

由于時間倉促，水平有限，在編寫過程中難免有不當之處請及時批評指正。

本編寫組

2004、5、30

2

目錄

認識數(shù)學

一、數(shù)學是什么................................................5

二、數(shù)學的應用................................................7

三、數(shù)學是一種文化............................................21

學好高中數(shù)學

一、改變觀念、樹立信心、勤奮學習..............................24

二、做好初高中數(shù)學學習的接軌.................................25

三、養(yǎng)成良好的學習習慣........................................28

四、華羅庚談“怎樣學好數(shù)學”.................................30

五、學習高中數(shù)學的基本環(huán)節(jié)...................................31

六、怎樣學好數(shù)學概念..........................................33

七、學好數(shù)學的訣竅............................................35

八、學生經(jīng)驗..................................................35

九、漫談解題..................................................38

十、數(shù)學歸納法................................................43

十一、構(gòu)造法....................................................47

十二、波利亞的怎樣解題表........................................50

研究性學習案例

一、如何選擇手機卡............................................57

二、交通紅綠燈................................................61

三、用圖像法解一元二次不等式..................................66

四、直線分平面的區(qū)域數(shù)........................................68

五、體育比賽中的數(shù)學..........................................70

六、由上車引出的決策理論.......................................72

七、一道高考題中的研究性學習..................................74

八、分期付款中的計算問題......................................77

九、裝錯信封的問題............................................82

十、數(shù)學中的研究性復習........................................85

3

認識數(shù)學

趙鳳岐

到初中畢業(yè)，我們每位同學，都已學習了九年數(shù)學。在這九年的學習當中，每位同學

對數(shù)學的感受可能各異，感觸也很多。有的同學數(shù)學成績很好，對數(shù)學也很感興趣。也有

的同學可能感到數(shù)學煩、難、死板、抽象、枯燥、乏味。那么數(shù)學是什么？為什么學習數(shù)

學？學習什么樣的數(shù)學？怎樣才能順利地走進高中數(shù)學的殿堂，并領略其中的美妙呢？這

都需要我們了解數(shù)學、認識數(shù)學。

一、數(shù)學是什么

一談起數(shù)學，很自然會聯(lián)想到小學里的算術，初中的代數(shù)、平面幾何，高中即將要學

的立體幾何、解析幾何等等。數(shù)學由淺到深，由少到多，由簡單到復雜，真是五花八門，

琳瑯滿目。

數(shù)學的內(nèi)容是那樣的繁多，但是，如果我們把這些內(nèi)容仔細分析一下，就可以看出數(shù)

學大致可分為兩類：一類是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系，一類是研究空間形式的。比如算術、

代數(shù)是研究數(shù)量關系的，幾何是研究空間形式的，三角是兩種情況都研究。整個數(shù)學，包

括初等數(shù)學和高等數(shù)學都是以數(shù)和形作為研究對象的。

恩格斯在談到數(shù)學的時候曾說過：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系,

所以是非常現(xiàn)實的材料。”所以說數(shù)學是一門研究物質(zhì)世界的數(shù)量關系和空間形式的科學。

這種說法雖然時間已一百多年，但對我們所學的初等數(shù)學來說這一答案大體上還是恰當

的，不過如果推廣到高等數(shù)學，應該把“數(shù)量”和“空間”作廣義的理解。數(shù)量不僅是實數(shù)、

復數(shù)，還可以是向量、張量，甚至是有代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象集合中的元：而空間也不是僅指三

維空間。還有n維、無窮維以及具有某種結(jié)構(gòu)的抽象空間。這樣，恩格斯的答案已基本上

包含了數(shù)學的主要內(nèi)容。

說的具體一些，數(shù)學以數(shù)和形的性質(zhì)、變化、變換和他們的關系作為研究對象，探索

它們的有關規(guī)律，給出對象的系統(tǒng)分析和描述，在這個基礎上分析實際問題，然后給出具

體的解法。

數(shù)學的內(nèi)容，決定了數(shù)學與其它學科不同的特性：抽象性、準確性、廣泛性。

數(shù)學的抽象性表現(xiàn)在，暫時撇開事物的具體內(nèi)容，僅僅從抽象的數(shù)學方面進行研究。

比如在簡單的2+3計算當中，2+3既可以理解為兩棵樹加三棵樹，也可以理解為兩部機床

加三部機床。在數(shù)學里，我們撇開樹、機床的具體內(nèi)容，只研究數(shù)的運算規(guī)律，掌握這個

規(guī)律，那就不論是樹，還是機床、汽車或是別的什么事物，都可以按加法的規(guī)律進行運算。

數(shù)學的許多概念都是從現(xiàn)實世界抽象出來的。比如幾何中的“直線”這一概念，并不

是指現(xiàn)實世界中拉緊的線，而是把現(xiàn)實的線的質(zhì)量、彈性、粗細等性質(zhì)撇開，只留下“向

4

兩方無限伸長”這一屬性，但是現(xiàn)實世界是沒有向兩方無限仰長的線的。

數(shù)學的抽象性具有下列三個特性：第一，它保留了數(shù)量關系或者空間形式。第二，數(shù)

學的抽象是經(jīng)過一系列階段形成的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽

象。第三，不僅數(shù)學的概念是抽象的，而且數(shù)學方法本身也是抽象的。物理、化學家為了

證明自己的理論，總是通過實驗的方法。而數(shù)學家證明一個定理卻不能用實驗的方法，必

須用推理和計算。比如我們千百次地精確測量等腰三角形的兩底角是相等的，但是還是不

能說明已經(jīng)證明了等腰三角形兩底角都是相等的，而必須用邏輯推理的方法嚴格地給予證

明。在數(shù)學里證明一個定理，必須利用已經(jīng)學過的或已經(jīng)證明過的概念、定理，用推理的

方法導出這個新定理來。

數(shù)學的第二個特點是確定性，或者說是邏輯的嚴密性、結(jié)論的確定性。數(shù)學的推理和

它們的結(jié)論是無可爭辯、毋容質(zhì)疑的。數(shù)學證明的精確性、確定性從中學課本中就充分顯

示出來了，當然數(shù)學的嚴密性不是絕對的，它也在發(fā)展。

數(shù)學的第三個特性是應用的廣泛性。我們幾乎每時每刻都在生產(chǎn)和日常生活中應用數(shù)

學，丈量土地、計算產(chǎn)量、制定計劃、設計建筑、實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析，都離不開數(shù)學。

沒有數(shù)學，現(xiàn)代科技的進步是不可能的。從簡單的技術革新到復雜的人造地球衛(wèi)星的發(fā)射

都離不開數(shù)學。而且，幾乎所有的精密科學、力學、天文學、物理學，甚至化學通常都是

以一些數(shù)學公式來表示自己的定律的，并且在發(fā)展自己的理論時廣泛應用數(shù)學這一工具。

由數(shù)學的內(nèi)容及其特性，決定了數(shù)學的重要性，及數(shù)學本身的絢麗多彩。馬克思說過:

“世間一切事物都離不開數(shù)學，當一種科學只有成功地運用數(shù)學時，才能達到了真正完善

的地步。”今天的社會現(xiàn)實正驗證著這?點。

關于數(shù)學的廣泛應用性，早在1959年，華羅庚教授就在《人民日報》上發(fā)表了《大

哉數(shù)學之為用》的著名文章，精辟地論述了數(shù)學在“宇宙之大，粒子之小，火箭之速，化

工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”等諸方面的廣泛應用。1992年，由中科院

院士王梓坤先生執(zhí)筆，中國科學院數(shù)學物理學部又撰寫了《今日數(shù)學及其應用》一文，進

一步系統(tǒng)地論述了數(shù)學在國富民強中的重要意義，以及近年來數(shù)學在我國許多領域中的應

用，文章深刻、全面而又有見地。使我們從中不僅了解了隨著社會的進步和科學技術的發(fā)

展，數(shù)學的應用越來越廣泛，也使我們了解了數(shù)學的獨到妙處，那就是有些問題的解決非

有數(shù)學方法介入不可，只用其他方法、手段、儀器都會一籌莫展。如石油礦藏的勘探定位、

醫(yī)學技術中的計算機輔助層析掃描儀CT技術、飛機制造（現(xiàn)代民航客機的設計、控制和

效率方面的一切進展，都依賴于在制造樣機前就能模擬其性能的先進的數(shù)學模型）、宏觀

經(jīng)濟的控制、微觀經(jīng)濟的統(tǒng)計實驗設計等，如果我們了解了近幾十年來數(shù)學在我國科技發(fā)

展、經(jīng)濟建設、軍事與安全領域中發(fā)揮的重要作用，尤其在優(yōu)化控制與運籌、預測與管理、

大型工程項目、投資開發(fā)與環(huán)境保護方面的作用。我們就會清楚地看到“數(shù)學的貢獻在于

對整個科學技術（尤其是高新技術）水平的推進與提高，對科技人才的培養(yǎng)和滋潤，對經(jīng)

濟建設的繁榮，對全體人民的科學思維與文化素質(zhì)的哺育，這四方面的作用是極為巨大的,

也是其他學科所不能全面比擬的。”

當代數(shù)學已經(jīng)遠不止是算術和幾何，而是一門豐富多彩的學科，是計算和演繹的創(chuàng)造

性的配合，扎根于數(shù)據(jù)而展現(xiàn)于抽象形式中，通過揭示現(xiàn)象中隱蔽的模式來幫助人們了解、

認識周圍的世界。它所處理的是科學中的數(shù)據(jù)、測量和觀察資料，是推斷、演繹和證明，

是自然現(xiàn)象、人類行為和社會系統(tǒng)的數(shù)學模型，是數(shù)、機會、形狀、算法和變化。數(shù)學除

5

了提供我們所熟悉的認識世界的數(shù)學定理和理論之外，更為重要的是還提供了普遍適用而

又有特色的強有力的思考方式，這些方式包括：

建立模型——對現(xiàn)實的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要而有用的特征的表示，

常常是形象化的或符號化的表示；

最優(yōu)化——通過提問“假如……將會怎樣”和考察所有的可能性來尋求最優(yōu)解(如最

省錢或最有效)；

符號化——用一種在通信和計算中都是緊湊節(jié)約的形式把自然語言推廣到抽象概念

的符號表示；

推斷——從數(shù)據(jù)、前提、圖形、不完全和不一致的原始資料出發(fā)進行推理；

邏輯分析——尋求前提中所蘊涵著的東西以及尋求能解釋所觀測到的現(xiàn)象的基本原

理；

抽象化——選出為許多不同的現(xiàn)象所公有的性質(zhì)來進行專門的研究。

人們在現(xiàn)實生活中，應用這些思考方式，就能夠批判地進行閱讀，就能夠估計各種風

險，就能夠?qū)栴}提出各種變通的解決辦法，從而使人們能夠更好地生活在這充滿信息的

世界。所以，數(shù)學是現(xiàn)代生活不可或缺的工具。

事實上，近現(xiàn)代世界發(fā)展史確已證實：“國家的繁榮昌盛，關鍵在于高新科技的發(fā)達

和經(jīng)濟管理的高效率”“高新科技的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數(shù)學”。所以，

“高新技術本質(zhì)上是一種數(shù)學技術”，這一歷史性結(jié)論充分說明了數(shù)學對國家建設、人民

生活水平的提高的重要作用。數(shù)學己在自然科學、行為科學和社會科學的全部領地上烙上

抹不掉的印記。

二、數(shù)學的應用

1、數(shù)學與其他科學

太陽系中的行星之-------海王星是在1846年在數(shù)學計算的基礎上發(fā)現(xiàn)的。1781年

發(fā)現(xiàn)了天王星后，觀察它的運行軌道，總是和預測的結(jié)果有相當?shù)牟罹唷Ｊ侨f有引力定律

不正確呢？還是有其它原因呢？有人懷疑在它的周圍有另一顆行星存在，影響了它的運行

軌道。1844年英國的亞當斯(1819——1892)利用萬有引力定律和對天王星觀察的數(shù)據(jù)，

推算這顆未知的行星的軌道，花了很長時間計算出這顆未知行星的位置，以及它出現(xiàn)在天

空的方位。亞當斯于1845年9月——10月把它的結(jié)果分別寄給了劍橋大學天文臺臺長查

理士和英國格林尼治天文臺臺長艾里，但是，查理士和艾里迷信權(quán)威，把他的結(jié)果束之高

閣，不予理睬。1845年法國一個青年天文學家、數(shù)學家勒維烈(1811——1877)經(jīng)過一年

多的計算，于1846年9月寫了一封信給德國柏林天文臺助理員加勒(1812——1910)?信

中說：“請你把望遠鏡對準黃道上的寶瓶座，就是經(jīng)度三百二十六度的地方，那時你將在

那個地方一度之內(nèi)，見到一顆九等亮度的星加勒按勒維烈所指的方位進行了觀察，果

然在離指出的位置相差不到一度的地方找到了?顆在星圖上沒有的星——海王星。海王星

的發(fā)現(xiàn)不僅是力學和天文學特別是哥白尼H心說的勝利，也是數(shù)學的偉大勝利。

這樣的例子還很多。如1801年谷神星的發(fā)現(xiàn)，意大利天文學家皮亞齊(1746——1826)

只記下了這顆小行星沿9度弧的運動，這顆星就又躲藏了起來，皮亞齊和其他天文學家都

沒有辦法求得。德國二十四歲的高斯根據(jù)觀察的數(shù)據(jù)進行了計算，求得了這顆小行星的軌

6

道。天文學家在這一年的十二月七日在高斯預先指出的地方又重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。

已過去的百年中，最偉大的科學創(chuàng)造是電磁學理論、相對論和量子理論，它們都廣泛

地運用了現(xiàn)代數(shù)學。我們在這里先討論電磁理論，因為我們大家都很熟悉其應用。在19

世紀前半葉，一部分物理學家和數(shù)學家對電學和磁學投入了大量研究，但卻只有少數(shù)幾個

關于這兩種現(xiàn)象特性的數(shù)學定律問世，19世紀60年代，麥克斯韋將這些定律匯集起來并

研究其一致性。他發(fā)現(xiàn)，為了滿足數(shù)學上的一致性，必需增加一個關于位移電流的方程。

對于這一項他所能找到的物理意義是：從一個電源（粗略地說是一根載有電流的導線）出

發(fā)，電磁場或電磁波將向空間傳播。這種電磁波可以有各種不同的頻率，其中包括我們現(xiàn)

在可以通過收音機、電視機接收的頻率以及X射線、可見光、紅外線和紫外線。這樣，麥

克斯韋就通過純粹的數(shù)學上的考慮預言了當時還屬未知的大量現(xiàn)象的存在，并且正確地推

斷出光是一種電磁現(xiàn)象。尤為值得注意的是我們對什么是電磁波并無絲毫的物理認識，只

有數(shù)學斷言它的存在，而且只有數(shù)學才使工程師們創(chuàng)造了收音機和電視機的奇跡。

同樣的觀察也被運用于各種原子與核現(xiàn)象。數(shù)學家和理論物理學家談到場——引力

場，電磁場，電子場等等——就好像它們都是實際的波，可以在空間傳播，并有點像水波

不斷拍擊船舶和堤岸那樣發(fā)揮著作用。但這些場都是虛構(gòu)的，我們對其物理本質(zhì)一無所知，

它們與那些可直接或間接感覺到或是看得見的事物，例如光、聲、物體的運動，以及現(xiàn)在

很熟悉的收音機和電視只是隱約地有些關系。貝克萊曾把導數(shù)描述為消失的量的鬼魂，現(xiàn)

代物理理論則是物質(zhì)的鬼魂。但是，通過用數(shù)學上的公式表示這些在現(xiàn)實中沒有明顯對應

物的虛構(gòu)的場，以及通過推導這些定律的結(jié)果，我們可以得到結(jié)論，而當我們用物理術語

恰當?shù)亟忉屵@些結(jié)論時，它們又可以用感性知覺來校驗。

赫茲（HeinrichHertz）這位偉大的物理學家，第一個用實驗證實了麥克斯韋關于電磁波

能在空間傳播的預言。他為數(shù)學的力量所震驚而不能抑制自己的熱情，“我們無一例外地

感受到數(shù)學公式自身能夠獨立存在并且極富才智，感受到它們的智慧超過我們，甚至超過

那些發(fā)現(xiàn)它的人，從中我們得到的東西比我們開始放進去的多得多”。

1930年英國物理學家荻拉克，利用數(shù)學推理及計算預言存在正電子。1932年美國物

理學家安德遜在試驗中證實了這一點。

20世紀最大的科學成就莫過于愛因斯坦的狹義和廣義相對論了，但是如果沒有黎曼于

1854年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學家發(fā)展的不變量理論，愛因

斯坦的廣義相對論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學表述。愛因斯坦自己也不止一次

地說過這一點。例如，1912年夏，他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但是為了

實現(xiàn)廣義相對論的目標，還必須尋求理論的數(shù)學結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花了3年的時間，最

后，在數(shù)學家M?格拉斯曼的介紹下掌握了發(fā)展相對論引力學說所必需的數(shù)學工具——以

黎曼幾何為基礎的絕對微分學，也就是愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915年11月25

H發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導出了廣義協(xié)變的引力場方程，在該文中他說：“山

于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對論的數(shù)學表達第一

次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義，成為歷史上數(shù)學應用最偉大的例子之一。他還說過“事實

上，我是通過她（諾特）才能在這一領域內(nèi)有所作為的?！?/p>

7

非歐幾里德幾何是從歐幾里德時代起的幾千年來，人們想要證明平行公理的企圖中，

也就是說，從一個只有純粹數(shù)學趣味的問題中產(chǎn)生的。羅巴切夫斯基創(chuàng)立了這門新的幾何

學，他自己謹慎地稱之為“想象的”，因為還不能指出它的現(xiàn)實意義，雖然他相信是會找

到這種現(xiàn)實意義的。他的幾何學的許多結(jié)論對大多數(shù)人來說非但不是“想象的”，而且簡

直是不可想象和荒涎的?？墒菬o論如何羅巴切夫斯基的思想為幾何學的新發(fā)展以及各種不

同的非歐幾里德空間的理論的建立打下了基礎；后來這些思想成為廣義相對論的基礎之

一，并且四維空間非歐幾里德幾何的一種形式成了廣義相對論的數(shù)學工具。于是，至少看

來是不可理解的抽象數(shù)學體系成了一個最重要的物理理論發(fā)展的有力工具。同樣地，在原

子現(xiàn)象的近代理論中，在所謂量子力學中，實際上都運用著許多高度抽象的數(shù)學概念和理

論，比如，無限維空間的概念等等。

如果沒有凱萊在1858年發(fā)展的矩陣數(shù)學及其后繼者的進一步發(fā)展，海森伯和狄拉克

就無法開創(chuàng)現(xiàn)代物理學量子力學方面的革命性工作。狄拉克甚至說，創(chuàng)建物理理論時，“不

要相信所有的物理概念”，但是要“相信數(shù)學方案，甚至表面上看去，它與物理學并無聯(lián)

系?！?/p>

整個電磁場的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場的理論起源應歸功于

英國物理學家法拉第，但法拉第不是數(shù)學家，他沒能發(fā)展這個概念。經(jīng)過馬克斯威爾之手，

電場理論得到了精確的描述，成為以后所有場論的模式?！?/p>

整個流體運動的理論是由納維―托克斯方程組表述的，它首先是由法國多科工藝和交

通工程學校的力學教授納維初步完成的，而最終是由英國物理學家和數(shù)學家斯托克斯爵士

完善并完成的。計算的技藝——數(shù)值分析以及運算速度的問題（計算機的制造），牛頓、

萊布尼茲、歐拉、高斯都曾給予系統(tǒng)研究，它們一直是數(shù)學的重要部分。在現(xiàn)代計算機的

發(fā)展研制中數(shù)學家起了決定性的作用。萊布尼茲，貝巴奇等數(shù)學家都曾研制過計算機。20

世紀30年代，符號邏輯的研究方程活躍，丘奇，哥德爾，波斯特和其他學者研究了形式

語言。經(jīng)過他們以及圖靈的研究工作，形成了可計算性這個數(shù)學概念。1935年前后，圖靈

建立了通用計算機的抽象模型。這些成果為后來馮?諾伊曼和他的同事們制造帶有存儲程

序的計算機，為形式程序的發(fā)明提供了理論框架。

通信的數(shù)學理論是由數(shù)學家香農(nóng)（他還具有電氣工程的學位）于1948年發(fā)表的《通

信的數(shù)學理論》一書奠定其理論基礎的，隨后就掀起了持續(xù)的信息技術革命。數(shù)學家納維

于1948年出版的《控制論》一書宣告了控制論這門學科的誕生。

自1968年起諾貝爾經(jīng)濟學獎獲獎設立項目90%以上都是有關經(jīng)濟學行為的數(shù)學建模及

相應的研究工作，獲獎者中不少人有數(shù)學博士學位。特別要提到的是1994年諾貝爾經(jīng)濟

學獎授予純粹數(shù)學家J?納什是意義重大的，“這意味著在諾貝爾獎93年的歷史上，第一

次授予了純數(shù)學領域的工作?！鳖愃频睦舆€有許多，我們不再舉了，我們真正要討論的

問題，是從這些事實中我們得到什么樣的啟示。

材料科學所關心的是性質(zhì)和使用。目的是合成及制造新材料，了解并預言材料的性質(zhì)

以及在一定時間段內(nèi)控制和改進這些性質(zhì)。不久以前，材料科學還主要是在冶金，制陶和

塑料業(yè)中的經(jīng)驗性研討，今天卻是個大大增長的知識主體，它基于物理科學，工程及數(shù)學。

所有材料的性質(zhì)最終取決于它們的原子及其組合成的分子結(jié)構(gòu)。例如，聚合體是山簡單分

子組合成的物質(zhì)，而這些分子是些重復的結(jié)構(gòu)單元，稱之為單體。單個的聚合體分子可以

由數(shù)百至百萬個單體構(gòu)成并具有一個線性的，分枝或者網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)。

8

聚合體的材料可以是液態(tài)也可以是固態(tài)，其性質(zhì)取決于加工它的方式（譬如，先加熱，

逐漸冷卻，高壓）。聚合體的交錯纏繞的排列提出了一個困難的建模問題。但是，在一些

領域中數(shù)學模型已經(jīng)表現(xiàn)得相當可靠，這些模型非常復雜，故而迄今只取得很少幾個結(jié)果,

它們對聚合體加工可能有用，聚合體的較簡單但卻更表象的模型是基于連續(xù)介質(zhì)力學，但

附加了要記憶的一些條件。對材料科學家來說，解的穩(wěn)定性與奇點是重要的結(jié)果，但甚至

對于這些較簡單的模型仍缺少數(shù)學。

復合材料的研究是另一個運用數(shù)學研究的領域，如果我們在一種材料顆粒中攙入另■

種材料，得到?種復合材料而其顯示的性質(zhì)可能根本不同于組成它的那些材料，例如汽車

公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能

提高汽車的制動氣流和防撞裝置的效果。

最近卜年來，數(shù)學家們在泛函分析，PDE及數(shù)值分析中發(fā)展了新的工具，使他們能夠

估計或計算混合物的有效性質(zhì)。但是新復合物的數(shù)目不斷增長，同時新的材料也不斷被開

發(fā)出來，迄今所取得的數(shù)學成就只能看作一個相當不錯的開始。甚至對H經(jīng)研究了好些年

的標準材料仍面臨著大量的數(shù)學挑戰(zhàn)。例如，當一個均勻的彈性體在承受高壓時會破裂。

破裂是從何處又是怎樣開始的，它們是怎樣擴展的，何時它們分裂成許多裂片，這些都是

有待研究的問題。

數(shù)學在生物學、醫(yī)學等領域正起著越來越重要的作用，無論在生態(tài)學、生理學、心理

學，以至DNA和生命科學的研究中，我們都看到數(shù)學的強大生命力。甚至醫(yī)生在做手術之

前都可以先進行數(shù)學模擬以預知各種方案可能出現(xiàn)的后果，再依據(jù)個人的經(jīng)驗來選擇手術

方案。2002年美國科學基金會專門在俄亥俄州立大學成立了一個“數(shù)學生物科學研究

所”。

在生物學和醫(yī)藥科學中也出現(xiàn)了數(shù)學模型，炒得很熱的基因方案的一些重要方面需要

統(tǒng)計，模型識別以及大范圍優(yōu)化法。雖不太熱卻是長期挑戰(zhàn)的是生物學其他領域中的進展,

比如在生理學方面，拿腎臟作個例子吧，腎的功能是以保持危險物質(zhì)（如鹽）濃度的理想

水平來規(guī)范血液的組成。如果一個人攝入了過多的鹽，腎就必須排出鹽濃度高于血液中所

含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬個小管，稱作腎單位，負有從血液中吸收鹽份轉(zhuǎn)入

腎中的職責，他們是通過與血管接觸的種傳輸過程來完成的，在這個過程中滲透壓力過

濾起了作用。生物學家已把這過程涉及到的物質(zhì)與人體組織視為一體了，但過程的精確過

程卻還只是勉強弄明白了。

腎臟的運作過程的一個初級數(shù)學模型，雖然簡單，卻已經(jīng)幫助說明了尿的形成以及腎

臟做出的抉擇，比如是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿，然而我們僅僅是在了解

這種機理的非常初級的階段。一個更加完全的模型可能會包含PDE、隨機方程、流體

力學、彈性力學、濾波論及控制論，或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學、鈣（骨）

力學、聽覺過程、細胞的附著與游離（對生物過程是非常重要的，如發(fā)炎與傷口愈合）以

及生物流體（biofluids）是生理學中其他一些學科，在那里現(xiàn)代數(shù)學研究已經(jīng)取得了一些

成就；更多的成就會隨后而至。

數(shù)學將要取得重要進展的其他領域，包括有一般性的生長過程和特殊的胚胎學、細胞

染色、免疫學、反復出現(xiàn)的傳染病，還有環(huán)保項目如植物中的大范圍現(xiàn)象及動物群體性的

建模。當然我們決不能忘記還有人類的大腦，自然界最棒的計算機，還有它所具有的感覺

神經(jīng)元、動作神經(jīng)元以及感情和夢想！

歷史學研究中運用數(shù)學方法.不僅促進了新研究領域的開拓，而且使研究過程和研究

成果更精確、嚴謹；不僅影響著對原始材料的收集和整理以及分析這些資料的方向、內(nèi)容

和著眼點，而且影響著觀察問題的角度和思考問題的方式，從而有可能解決使用習慣的傳

統(tǒng)的歷史研究方法所無法解決的某些難題.

前面提到在與其他學科的關系中，數(shù)學的發(fā)展不少方面正逐漸從后臺走向前臺，這又

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是20世紀數(shù)學發(fā)展的一個重要特點。這方面的典型范例大概有兩個方面，一是密碼學及

電子商務、信息安全、軍事運籌學、網(wǎng)絡戰(zhàn)等相關領域，主要依靠數(shù)學思想和方法的創(chuàng)新

及其軟件實現(xiàn)；二是發(fā)達國家政府的重要部門以及許多大公司都設有陣容強大的數(shù)學部。

1984年，美國國家安全局局長曾說過，美國國家安全局是美國數(shù)學界最大的雇主，它雇用

了2000多位具有博士等學位的數(shù)學家。這些數(shù)學家通過完成部門或公司交給他們的工作,

逐步和所在單位的科技人員融為一體，直接為雇主作出貢獻，為數(shù)學的發(fā)展作出貢獻。更

為重要的是這些數(shù)學家知道哪些成果可以直接或間接地用于他們的研究中去，也能向數(shù)學

界提出源于實踐的數(shù)學研究課題，在某種意義下對數(shù)學發(fā)展的方向產(chǎn)生了巨大影響?；仡?/p>

20世紀后半葉以來諸如有限元方法、快速富里埃變換、小波分析、分形、混沌等等領域無

一例外地都是在實際工作者和數(shù)學家的合作中迅速發(fā)展起來的，并且顯示了強大的威力。

2、數(shù)學與工業(yè)生產(chǎn)、信息技術

從數(shù)學本身產(chǎn)生的抽象數(shù)學體系和它的結(jié)果也會產(chǎn)生極有價值的應用。比如在高中階

段我們即將學習的夏數(shù)，在已開始不被人理解，直到19世紀三十年代高斯給出了幾何解

釋才在數(shù)學中站住了腳，以后又建立了復變函數(shù)論，成了解決技術問題的有力工具。例如

解決飛機飛行的理論、熱運動理論、電場理論和彈性理論的某些問題。

在電子計算機充分發(fā)展的今天，更為數(shù)學的應用提供了廣闊天地。例如，在飛機制造

行業(yè)，過去每設計開發(fā)一種新型飛機，都要進行成千上萬次的實物試驗。模仿飛機在天空

飛行的各種氣流情況，測驗其各個方面的性能，并加以改正。這樣，既耗費了大量資金，

又延長了飛機的開發(fā)周期。而現(xiàn)在，借助于計算機的幫助，建立數(shù)學模型，進行大量的計

算和虛擬模擬，在此基礎上再進行實物試驗，使試驗次數(shù)大為減少，降低了開發(fā)成本，縮

短了開發(fā)周期。

計算機自從其誕生之日起，它的主要任務就是進行各種各樣的科學計算。文檔處理，

數(shù)據(jù)處理，圖像處理，硬件設計，軟件設計等等，都可以抽象為兩大類：數(shù)值計算與非數(shù)

值計算。作為研究計算機科學技術的人員，我們大都對計算數(shù)學對整個計算機科學的重要

性有?些了解。但是數(shù)學對我們這些專業(yè)的研究和應用人員究竟有多大的用處呢？我們先

來看一下下面的一個流程圖：

上圖揭示了利用計算機解決科學計算的步驟，實際問題轉(zhuǎn)換為程序，要經(jīng)過一個對問

題抽象的過程，建立起完善的數(shù)學模型，只有這樣，我們才能建立一個設計良好的程序。

從中我們不難看出計算數(shù)學理論對用計算機解決問題的重要性。

大約五十年前建成了第一臺計算機，從而開始了?場可從表面上看與1760年到1840

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年發(fā)生在英國的產(chǎn)業(yè)革命相匹比的革命。我們現(xiàn)在親自證實了這場計算機革命的完全沖

擊：在商業(yè)、制造業(yè)、保健機構(gòu)及工程業(yè)，與計算和通訊技術的進步相配的是數(shù)字信息的

萌芽狀態(tài)，它已為多媒體鋪出了?條路，其產(chǎn)品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂、照

像、繪畫、卡通、數(shù)據(jù)、游戲及多媒體軟件，所有這些都由一個單獨站址發(fā)送。

多媒體的數(shù)學包括了一個大范圍的研究領域，它包含有計算機可視化，圖像處理，語

音識別及語言理解、計算機輔助設計和新型網(wǎng)絡。這些會有廣泛的應用，應用于制造業(yè)、

商業(yè)、銀行業(yè)、醫(yī)療診斷、信息及可視化，還有娛樂業(yè)，這只點出了幾個而己。多媒體中

的數(shù)學工具可能包括隨機過程、Marko場、統(tǒng)計模型、決策論、PDE、數(shù)值分析、圖論、

圖表算法、圖象分析及小波等。還有其他一些領域中的一些，目前似乎還處在某種程度的

監(jiān)護下，如人造生命和虛擬世界。

計算機輔助設計正在成為許多工業(yè)部門的強大工具：完全在計算機上設計，在鍵盤上

一敲后產(chǎn)品便在遠處的工廠里實現(xiàn)了?這種技術能成為數(shù)學家進行研究的工具嗎？萬維網(wǎng)

(WWW)已經(jīng)成為多媒體最強勁的動力。它未來的輝煌取決于許多新的數(shù)學思想和算法

的發(fā)展，目前仍處在孩提時期。隨著多媒體技術的擴展，對于保護私人數(shù)據(jù)的通訊文本的

需要也與II俱增。發(fā)展一個更加安全的密碼系統(tǒng)就是數(shù)學家們的任務了。為此，他們必定

要借助于在數(shù)論、離散數(shù)學、代數(shù)幾何及動力系統(tǒng)方面的新進展，當然還有其他一些領域。

組合數(shù)學，又稱為離散數(shù)學，但有時人們也把組合數(shù)學和圖論加在一起算成是離散數(shù)

學。組合數(shù)學是計算機出現(xiàn)以后迅速發(fā)展起來的一門數(shù)學分支。計算機科學就是算法的科

學，而計算機所處理的對象是離散的數(shù)據(jù)，所以離散對象的處理就成了計算機科學的核心,

而研究離散對象的科學恰恰就是組合數(shù)學。組合數(shù)學的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學中分析和代數(shù)

占統(tǒng)治地位的局面?，F(xiàn)代數(shù)學可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)時象的，如分析、方程等,

另一類就是研究離散對象的組合數(shù)學。組合數(shù)學不僅在基礎數(shù)學研究中具有極其重要的地

位，在其它的學科中也有重要的應用，如計算機科學、編碼和密碼學、物理、化學、生物

等學科中均有重要應用。微積分和近代數(shù)學的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎。而組合

數(shù)學的發(fā)展則是奠定了本世紀的計算機革命的基礎。計算機之所以可以被稱為電腦，就是

因為計算機被人編寫了程序，而程序就是算法，在絕大多數(shù)情況下，計算機的算法是針對

離散的對象，而不是在作數(shù)值計算。正是因為有了組合算法才使人感到，計算機好象是有

思維的.

隨著計算機網(wǎng)絡的發(fā)展，計算機的使用已經(jīng)影響到了人們的工作，生活，學習，社會

活動以及商業(yè)活動，而計算機的應用根本上是通過軟件來實現(xiàn)的。在美國聽到過一種說法,

將來?個國家的經(jīng)濟實力可以直接從軟件產(chǎn)業(yè)反映出來。我國在軟件上的落后，要說出根

本的原因可能并不是很簡單的事，除了技術和科學上的原因外，可能還跟我們的文化，管

理水平，教育水平，思想素質(zhì)等諸多因素有關。除去這些人文因素以外，一個最根本的原

因就是我國的信息技術的數(shù)學基礎十分薄弱，這個問題不解決，我們就難成為軟件強國。

然而問題決不是這么簡單，信息技術的發(fā)展已經(jīng)涉及到了很深的數(shù)學知識，而數(shù)學本身也

J經(jīng)發(fā)展到了很深、很廣的程度并不是單憑幾個聰明的頭腦去想想就行了，而更重要的是

需要集體的合作和力量，就象軟件的開發(fā)需要多方面的人員的合作。美國的軟件之所以能

領先，其關鍵就在于在數(shù)學基礎上他們有很強的實力，有很多杰出的人才。一般人可能會

認為數(shù)學是?門純粹的基礎科學，1+1的解決可能不會有任何實際的意義。如果真是這樣，

一門純粹學科的發(fā)展落后幾年，甚至卜年，關系也不大。然而中國的軟件產(chǎn)業(yè)的發(fā)展已向

數(shù)學基礎提出了急切的需求：網(wǎng)絡算法和分析，信息壓縮，網(wǎng)絡安全，編碼技術，系統(tǒng)軟

件，并行算法，數(shù)學機械化和計算機推理，等等。此外，與實際應用有關的還有許多許多

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需要數(shù)學基礎的算法，如運籌規(guī)劃，金融工程，計算機輔助設計等。如果我們的軟件產(chǎn)業(yè)

還是把眼光一直盯在應用軟件和第二次開發(fā)，那么我們在應用軟件這個領域也會讓國外的

企業(yè)搶去很大的市場。如果我們現(xiàn)在在信息技術的數(shù)學基礎上，大力支持和投入，那將是

亡羊補牢，猶未為晚；只要我們能搶回信息技術的數(shù)學基地，那么我們還有可能在軟件產(chǎn)

業(yè)的競爭中，扭轉(zhuǎn)局面，甚至反敗為勝。吳文俊院士開創(chuàng)和領導的數(shù)學機械化研究，為中

國在信息技術領域占領了?個重要的陣地，有了雄厚的數(shù)學基礎，自然就有了軟件開發(fā)的

競爭力。這樣的陣地多幾個，我們的軟件產(chǎn)業(yè)就會產(chǎn)生新的局面。值得注意的是，印度有

很好的統(tǒng)計和組合數(shù)學基礎，這可能也是印度的軟件產(chǎn)業(yè)近幾年有很大發(fā)展的原因。

現(xiàn)在也有人認為不需要懂得很多數(shù)學，只要會用軟件就行了，學生不需要用那么多時

間去學數(shù)學。這種似是而非的觀點是要認真分析的。誠然，有了計算機和軟件，確實是只

要輸入數(shù)據(jù)就能得出結(jié)果，過程似乎無關緊要，這也確實是常見的事實。但是，這樣的學

生很難做出創(chuàng)新?！拔母铩北本﹥?nèi)燃機總廠從國外進口了一分程控機床。有關齒輪加工的

機床說明中還特別附有一條：如果你們要加工新的產(chǎn)品，請把設計要求寄給我們，我們會

告訴你們應該怎么做?？梢韵胂螅谶@種情況下我們還能有什么獨立自主的創(chuàng)新可言呢。

這個機床的控制部分是與微分幾何有關的數(shù)學建模問題，對于很多先進的軟件，甚至計算

器來說，如果沒有相當?shù)臄?shù)學基礎，是不可能用好的，或者根本就不會用

3、數(shù)學與軍事

高新科技的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數(shù)學?，F(xiàn)代戰(zhàn)爭總是借助現(xiàn)代數(shù)學

的運算進行事先模擬，在戰(zhàn)爭爆發(fā)之前就運算著戰(zhàn)爭的結(jié)局，以達到運籌帷幄決勝千里之

外的目的。數(shù)學與軍事科學的交叉學科——軍事運籌學。

軍事科學中可以運用蒙特卡羅方法建立概率模型，因而可在實戰(zhàn)前對作戰(zhàn)雙方的軍事

實力，政治、經(jīng)濟、地理、氣象等因素進行模擬，以選擇出對自己一方既有利又最穩(wěn)妥的

作戰(zhàn)方案.

對天文學感興趣的人可能知道“黑洞”現(xiàn)象。其實，數(shù)學也有類似的神秘數(shù)字現(xiàn)象，

比如''六一七四”問題。美國數(shù)學家馬丁曾于上個世紀八十年代在《科學的美國人》雜志

上發(fā)表文章指出，任何不同的四位數(shù)字通過從大到小和從小到大的排列，得到差后再重復

上述運算，至多七次，得到的答案都是“六一七四”，國際數(shù)學界將之稱為“馬丁猜想一

一六一七四問題”。此后，全世界有不少人研究這一問題，但均未獲得圓滿的解決。“六?

七四問題”在打贏未來戰(zhàn)爭有著非同尋常的意義。如果戰(zhàn)爭爆發(fā)，一方得到敵方的某行動

密碼，要破譯它就需要“六一七四”的理論。

“六一七四”問題的成功解決，不但有重大的軍事價值，還具有巨大的民用價值。比

如用在密碼通訊、數(shù)據(jù)通訊等領域，它可以給加密和保密傳輸帶來很大的方便，還可以運

用于電子產(chǎn)品、其它工業(yè)產(chǎn)品或工業(yè)設備并能解決電壓的穩(wěn)定性問題。

1950年，納什進入蘭德研究所工作，這是中央情報局設在圣莫尼卡的一個戰(zhàn)略研究機

構(gòu)，雇傭數(shù)學家推行冷戰(zhàn)時代的對策理論。

4、數(shù)學與經(jīng)濟金融管理

提到數(shù)學與經(jīng)濟及金融，就會提到博弈論，就會提到《美麗心靈》主人公的原型一

諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者——美國數(shù)學家納什。

博弈論的英文名為gametheory,又稱對策論，數(shù)學的一個分支，是使用嚴謹?shù)臄?shù)學模

型研究沖突對抗條件下最優(yōu)決策問題的理論。用于分析競爭的形勢，這種競爭的結(jié)果不僅

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依賴于一個人自己的抉擇及機會，而且依賴于其他參與者的抉擇。由于競爭結(jié)果依賴于所

有參與者的行為，每個局中人都企圖預測其他參與者的可能抉擇，以確定自己的最佳對策。

如何合理地進行這些相互依存的戰(zhàn)略策劃就是博弈論的主體。作為一門正式學科，博弈論

是在20世紀40年代形成并發(fā)展起來的。

博弈論的整個大廈建立在兩個定理之上：馮?諾依曼1928年提出的極小極大定理和納

什1950年發(fā)表的均衡定理。通過將這一理論擴展到牽涉各種合作與競爭的博弈，納什成

功地打開了將博弈論應用到經(jīng)濟學、政治學、社會學乃至進化生物學的大門。

博弈論畢竟是數(shù)學，更確切地說是運籌學的一個分支，談經(jīng)論道自然少不了數(shù)學語言,

外行人看來只是一大堆數(shù)學公式。好在博弈論關心的是日常經(jīng)濟生活問題，所以不能不食

人間煙火。其實這一理論是從棋弈、撲克和戰(zhàn)爭等帶有競賽、對抗和決策性質(zhì)的問題中借

用的術語，聽上去有點玄奧，實際上卻具有重要現(xiàn)實意義。博弈論大師看經(jīng)濟社會問題猶

如棋局，常常寓深刻道理于游戲之中。

所以，多從我們的日常生活中的凡人小事入手，以我們身邊的故事做例子，娓娓道來,

并不乏味。話說有一天，一位富翁在家中被殺，財物被盜。警方在此案的偵破過程中，抓

到兩個犯罪嫌疑人，斯卡爾菲絲和那庫爾斯，并從他們的住處搜出被害人家中丟失的財物。

但是，他們矢口否認曾殺過人，辯稱是先發(fā)現(xiàn)富翁被殺，然后只是順手牽羊偷了點兒東西。

于是警方將兩人隔離，分別關在不同的房間進行審訊。由地方檢察官分別和每個人單獨談

話。檢察官說：“由于你們的偷盜罪已有確鑿的證據(jù)，所以可以判你們一年刑期。但是，

我可以和你做個交易。如果你單獨坦白殺人的罪行，我只判你三個月的監(jiān)禁，但你的同伙

要被判十年刑。如果你拒不坦白，而被同伙檢舉，那么你就將被判卜年刑，他只判三個月

的監(jiān)禁。但是，如果你們兩人都坦白交代，那么，你們都要被判5年刑”。斯卡爾菲絲和

那庫爾斯該怎么辦呢？他們面臨著兩難的選擇——坦白或抵賴。顯然最好的策略是雙方都

抵賴，結(jié)果是大家都只被判一年。但是由于兩人處于隔離的情況下無法串供。所以，按照

亞當?斯密的理論，每一個人都是從利己的目的出發(fā)，他們選擇坦白交代是最佳策略。因為

坦白交代可以期望得到很短的監(jiān)禁——3個月，但前提是同伙抵賴，顯然要比自己抵賴要

坐10年牢好。這種策略是損人利己的策略。不僅如此，坦白還有更多的好處。如果對方

坦白了而自己抵賴了，那自己就得坐10年牢。太不劃算了！因此，在這種情況下還是應

該選擇坦白交代，即使兩人同時坦白，至多也只判5年，總比被判10年好吧。所以，兩

人合理的選擇是坦白，原本對雙方都有利的策略（抵賴）和結(jié)局（被判1年刑）就不會出

現(xiàn)。這樣兩人都選擇坦白的策略以及因此被判5年的結(jié)局被稱為“納什均衡”，也叫非合

作均衡。因為，每一方在選擇策略時都沒有“共謀”（串供），他們只是選擇對自己最有

利的策略，而不考慮社會福利或任何其他對手的利益。也就是說，這種策略組合由所有局

中人（也稱當事人、參與者）的最佳策略組合構(gòu)成。沒有人會主動改變自己的策略以便使

自己獲得更大利益。

從“納什均衡”的普遍意義中我們可以深刻領悟司空見慣的經(jīng)濟、社會、政治、國防、

管理和日常生活中的博弈現(xiàn)象。我們將例舉出許多類似于“囚徒的兩難處境”這樣的例子。

如價格戰(zhàn)、軍奮競賽、污染等等。,般的博弈問題由三個要素所構(gòu)成：即局中人（players）

又稱當事人、參與者、策略等等的集合，策略（strategies）集合以及每一對局中人所做的選

擇和贏得（payoffs）集合。其中所謂贏得是指如果一個特定的策略關系被選擇，每一局中人

所得到的效用。所有的博弈問題都會遇到這三個要素。

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價格戰(zhàn)博弈：

現(xiàn)在我們經(jīng)常會遇到各種各樣的家電價格大戰(zhàn)，彩電大戰(zhàn)、冰箱大戰(zhàn)、空調(diào)大戰(zhàn)、

微波爐大戰(zhàn)……這些大戰(zhàn)的受益者首先是消費者。每當看到一種家電產(chǎn)品的價格大戰(zhàn),

百姓都會“沒事兒偷著樂”。在這里，我們可以解釋廠家價格大戰(zhàn)的結(jié)局也是一個“納

什均衡”，而且價格戰(zhàn)的結(jié)果是誰都沒錢賺。因為博弈雙方的利潤正好是零。競爭的

結(jié)果是穩(wěn)定的，即是一個“納什均衡”。這個結(jié)果可能對消費者是有利的，但對廠商

而言是災難性的。所以，價格戰(zhàn)對廠商而言意味著自殺。從這個案例中我們可以引伸

出兩個問題，一是競爭削價的結(jié)果或“納什均衡”可能導致一個有效率的零利潤結(jié)局。

二是如果不采取價格戰(zhàn)，作為一種敵對博弈論(vivalrygame)其結(jié)果會如何呢？每一

個企業(yè)，都會考慮采取正常價格策略，還是采取高價格策略形成壟斷價格，并盡力獲

取壟斷利潤。如果壟斷可以形成，則博弈雙方的共同利潤最大。這種情況就是壟斷經(jīng)

營所做的，通常會抬高價格。另一個極端的情況是廠商用正常的價格，雙方都可以獲

得利潤。從這一點，我們又引出一條基本準則：“把你自己的戰(zhàn)略建立在假定對手會

按其最佳利益行動的基礎上”。事實上，完全競爭的均衡就是“納什均衡”或“非合

作博弈均衡”。在這種狀態(tài)下，每一個廠商或消費者都是按照所有的別人已定的價格

來進行決策。在這種均衡中，每一企業(yè)要使利潤最大化，消費者要使效用最大化，結(jié)

果導致了零利潤，也就是說價格等于邊際成本。在完全競爭的情況下，非合作行為導

致了社會所期望的經(jīng)濟效率狀態(tài)。如果廠商采取合作行動并決定轉(zhuǎn)向壟斷價格，那么

社會的經(jīng)濟效率就會遭到破壞。這就是為什么WTO和各國政府要加強反壟斷的意義所

在。

污染博弈：

假如市場經(jīng)濟中存在著污染，但政府并沒有管制的環(huán)境，企業(yè)為了追求利潤的最

大化，寧愿以犧牲環(huán)境為代價，也絕不會主動增加環(huán)保設備投資。按照看不見的手的

原理，所有企業(yè)都會從利己的目的出發(fā)，采取不顧環(huán)境的策略，從而進入“納什均衡”

狀態(tài)。如果一個企業(yè)從利他的目的出發(fā)，投資治理污染，而其他企業(yè)仍然不顧環(huán)境污

染，那么這個企業(yè)的生產(chǎn)成本就會增加，價格就要提高，它的產(chǎn)品就沒有競爭力，甚

至企、也還要破產(chǎn)。這是一個“看不見的手的有效的完全競爭機制”失敗的例證。直到

20世紀90年代中期，中國鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的盲目發(fā)展造成嚴重污染的情況就是如此。只有

在政府加強污染管制時.，企業(yè)才會采取低污染的策略組合。企業(yè)在這種情況下，獲得

與高污染同樣的利潤，但環(huán)境將更好。

貿(mào)易自由與壁壘：

這個問題對于剛剛加入WTO的中國而言尤為重要。任何一個國家在國際貿(mào)易中都

面臨著保持貿(mào)易自由與實行貿(mào)易保護主義的兩難選擇。貿(mào)易自由與壁壘問題，也是一

個“納什均衡”，這個均衡是貿(mào)易雙方采取不合作博弈的策略，結(jié)果使雙方因貿(mào)易戰(zhàn)

受到損害。X國試圖對Y國進行進口貿(mào)易限制，比如提高關稅，則Y國必然會進行反

擊，也提高關稅，結(jié)果誰也沒有撈到好處。反之，如X和Y能達成合作性均衡，即從

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互惠互利的原則出發(fā)，雙方都減少關稅限制，結(jié)果大家都從貿(mào)易自由中獲得了最大利

益，而且全球貿(mào)易的總收益也增加了。

雖然博弈論是作為數(shù)學的一個分支出現(xiàn)的，但是它在軍事、政治、經(jīng)濟許多方面都有

很多重要的運用，其中以在經(jīng)濟學內(nèi)的運用最多也最為成功。

在經(jīng)濟金融管理上，數(shù)學的應用更是不可估量，據(jù)報道：美國近幾年來不斷有大批具

有數(shù)學博士學位的年輕人加盟華爾街，形成一只非常強大的數(shù)學金融隊伍。歐洲一些發(fā)達

國家的數(shù)學金融研究隊伍也是日趨強大。美國花旗銀行副總裁柯林斯于1995年3月6日

在英國劍橋大學的講演中敘述到：在二十世紀“從事銀行業(yè)工作而不懂數(shù)學的人，實際上

處理的是意義不大的東西”。他指出“花旗銀行70%的業(yè)務依賴于數(shù)學?！彼€特別強調(diào)“如

果沒有利用數(shù)學發(fā)展起來的工具和技術，許多事情我們一點也沒辦法做到……沒有數(shù)學我

們不可能生存」

現(xiàn)代金融理論的核心之一是定量分析。只有運用定量分析手段來分析處理問題，才能

做出正確的金融決策。顯而易見，定量分析手段實際上就是數(shù)學工具的運用。一個最典型

的例子是金融事業(yè)中的風險管理問題，風險管理得當，對穩(wěn)定金融市場，保持國民經(jīng)濟的

持續(xù)增長有著十分重要的意義。風險管理的工具就是數(shù)學與經(jīng)濟學的結(jié)合物——金融衍生

物理論。

5、數(shù)學與生活

大物理學家伽利略曾經(jīng)說過，“自然界的偉大的書是用數(shù)學語言寫成的”“我們生活在

受精確的數(shù)字定律制約的宇宙中”，所以，生活于其中的我們，要想認識自然、改造自然，

就不可能離開數(shù)學。也許正如上面所談，在我們的生活空間，我們感受不到現(xiàn)代數(shù)學的氣

息，然而，它己經(jīng)作為一種技術滲透在我們的生活環(huán)境之中，像電視機的遙控、數(shù)碼錄像

機、自動控溫的微波爐、全自動洗衣機等現(xiàn)代家庭電器中沒有一個不是利用數(shù)學技術的產(chǎn)

品。在這里，數(shù)學是以一種我們看不見的方式影響著我們的生活，改變著我們的生活質(zhì)量

和生活方式。有一些是我們過于習慣了，已經(jīng)融入到我們的生活里了，它是那樣的自然，

以至我們感覺不到它的存在，像我們的計數(shù)、測量等數(shù)學活動。

現(xiàn)代社會里，“數(shù)學不僅能夠幫助我們在經(jīng)營中獲利，而且，它能給予我們能力，包

括直觀思維、邏輯推理、精確計算，以及結(jié)論的明確無誤”。下面的這個案例足以說明數(shù)

學在我們經(jīng)營中的作用。一個人要成立一家新公司，由于業(yè)務關系，急需一輛汽車，但又

因資金問題無力購買，決定暫租一輛汽車使用。現(xiàn)有兩家出租車公司供選擇，兩家出租車

公司條件不同，租哪家的更合算？一家的出租條件是“每月付給司機100。元工資，另

外每百公里付10元汽油費”；另一家公司只按行程算賬，出租條件是“每百公里付14

0元的費用”。這就要求新公司老板根據(jù)自身業(yè)務用車情況（里程）運用數(shù)學的知識去選

擇有利于自己的出租車公司。

過去，一說起讀寫，就是指文字的讀寫，讀書看報學時事只要認字就夠了。但是，現(xiàn)

代社會里的讀寫的內(nèi)涵已有所改變，不再單單是指文字、詞語的讀寫了，也包括了數(shù)學的

讀寫，而且，對人們的數(shù)學讀寫能力的要求也是隨著時代的進步越來越高，它與詞語的讀

寫能力被看成同樣基本的一種能力。只要留意，你會發(fā)現(xiàn)，如果沒有理解基本的數(shù)學思想

的能力，有時就不可能完全領會、理解諸如在每天報紙上出現(xiàn)的現(xiàn)代文章。其實，許多的

數(shù)學概念，如機會（可能性、概率）、邏輯、圖象等，已經(jīng)滲透到了每天的新聞和例行公

事的決定中。諸如報紙上的“證券特別關注”“深證所股市行情”（給出了成分指數(shù)分時走

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勢圖，你能從中看出某個時間段中何時指數(shù)處于高峰、最高峰值是多少、何時處于最低谷、

最低指數(shù)是多少、成交量何時最高、其成交股數(shù)是多少、指數(shù)最高的時候其成交量是多少）

等等，這些東西都要求讀者運用數(shù)學去理解、思考、把握。其實，這類包含數(shù)學成分的閱

讀材料、文章、信息，兒乎在各大、中、小報紙的每期中都會涉及。有時還會涉及數(shù)字及

推理的內(nèi)容，像“2000年一季度我國對外貿(mào)易進出口總額達980億美元，比199

9年同期增長40%,其中出口增長39%,進口增長46%”這樣的報道，你若從中再

想獲得1999年一季度我國對外貿(mào)易進出口各為多少、200。年一季度我國的對外貿(mào)

易是順差還是逆差等信息就要用數(shù)學了。

公眾政策中定量成分也多了起來，公眾關于稅率和公共衛(wèi)生的重大問題的爭論常常集

中在用數(shù)字表述出來的科學問題上。如從人口增長的預測中、從影響利率的諸因素之間的

相互作用中推斷問題的結(jié)論，本質(zhì)上都包含著運用數(shù)學的成分。生活環(huán)境中需要運用數(shù)學

的地方越來越多，像比較貸款的優(yōu)劣，存款利息的多少，保險金額的計算，家庭或個人外

出旅游前旅行社或旅行路線的最優(yōu)選擇，等等，所以，人們比過去任何時候都需要數(shù)學地

思考，生活越來越離不開數(shù)學。

“數(shù)學是我們這個時代的看不見的文化”，數(shù)學的觀念在眾多不同層次上影響著我們

的生活方式和工作方式。數(shù)學與生活的密切關系其實也是我們?yōu)槭裁匆獙W數(shù)學的一個原

因。人們以不同的方式感受著數(shù)學與生活的聯(lián)系，很多人根據(jù)在日常生活、辦公室或在工

作場所所需要使用的數(shù)學技能認識數(shù)學與生活的聯(lián)系；一些人則從更高層次上認識數(shù)學與

生活的聯(lián)系，即數(shù)學是科學發(fā)展和現(xiàn)代技術的基礎，數(shù)學技術促進科學技術的發(fā)展與進步,

而后者直接改變著我們的生活；一些人從數(shù)學技術作為一種商業(yè)和工業(yè)中的管理工具認識

數(shù)學與生活的聯(lián)系。可以說，不同的人群感受數(shù)學與生活的聯(lián)系方式是不同的，就好比不

乘坐火車或飛機的人可能不需要查看時刻表，不開汽車或摩托車的不必去買汽油計算油

價，他們有可能只了解數(shù)學與生活的這一面的聯(lián)系而體會不到在另一方面的聯(lián)系。但是，

一般說來，生活中總會遇到下列活動：讀數(shù)和計數(shù)、看鐘點、購物付錢和找零、測量和計

重、看淺易簡單的圖形表格和圖示、對數(shù)量進行合理的計算和近似估計等，這是我們感受

最多最深的數(shù)學與生活的聯(lián)系。除此之外，職業(yè)中數(shù)學與職業(yè)生活的聯(lián)系更顯專業(yè)性。

計算幾乎是所有職業(yè)中都需要的，完成這些計算有時用心算，有時用筆算，有時用計

算器。百分數(shù)常用于有關錢的計算，例如，折扣、增值稅、利潤等。估計是在工業(yè)和商業(yè)

部門中經(jīng)常用到的數(shù)學知識。計數(shù)和計量更重要，職業(yè)中使用的絕大多數(shù)數(shù)學都與計量有

關。計量包括兩個方面，-是必須確定現(xiàn)存的計量，二是需要確定所要求的計量。

制造業(yè)中，在被認為是操作工的人員中，很多人的工作似乎與數(shù)學無聯(lián)系，但有兩類

操作工的勞動仍是與數(shù)學有關的。一類操作工可能需要計算堆積物品的數(shù)量并計錄結(jié)果，

識別、抄錄和解釋數(shù)碼，做加、減、乘、除等運算，看懂刻度表和計量器（可能只是確認

指針或別的指示器是否處在規(guī)定的限度內(nèi)），計重和測量（包括熟悉毛重和凈重的概念）；

另一類操作工可能要使用更廣泛的基本知識和基本技能，例如看懂工程圖紙（一般是標有

一些尺寸的手畫草圖，要求擁有必要的幾何知識，以便能用三維術語解釋二維圖形），理

解用“土”或其他方式表示的誤差界限，有些可能需要根據(jù)給定的比例混合配料等。技工

行當所使用的數(shù)學的范圍一般要比操作工廣，他們可能需要在一定的誤差范圍內(nèi)工作，看

懂數(shù)字顯示器上數(shù)字的意義，看懂儀表，看懂圖紙（平面圖、垂直投影圖和截面圖等）。

技術人員用數(shù)學的機會更多，科學實驗室的技術人員在繪制和解釋由實驗的結(jié)果、實驗儀

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器的標度或裝備有計算機的測試儀器的輸出而產(chǎn)生的各種圖形和圖象時要用到更高深的

數(shù)學，例如可能需要確定拐點、知道線性關系或非線性關系，有些技術人員可能要經(jīng)常與

數(shù)字統(tǒng)計處理打交道，有些技術人員可能需要使用正比例和反比例概念來檢驗判斷一些實

驗結(jié)果的情況。

工商業(yè)中，雇員、辦事員的工作可能包括把數(shù)字代入一般用文字表述的公式和畫出銷

售或生產(chǎn)圖表，計數(shù)（可能是一個一個地計數(shù)，也可能是五個五個地計數(shù)等）、記數(shù)并把

它們排序或列成表格形式。有些工作需要開帳單、算折扣或增值稅，可能需要與平均數(shù)、

百分數(shù)打交道，對數(shù)據(jù)表格可能要求既按行又按列相加，或簡單的數(shù)據(jù)表格相乘，即是矩

陣相加或相乘。飲食服務業(yè)工作人員涉及最多的是錢的計算，需要核加賬單，有時需要幫

助顧客查看時刻表，炊事人員要涉及計重、測量、估計，有時需要按一定比例、大小配制

食譜，特殊炊事員還可能要計算特定的營養(yǎng)要求，以提供營養(yǎng)搭配合理的飲食，有時也可

能需要計算每一份的成本。

建筑業(yè)公司雇員常常需要較為準確地估計用料多少，砌磚工、泥水工、油漆工和裝飾

工同樣需要估計其工作所需要材料的數(shù)量，要求在長度、面積和體積方面有一定的直覺，

大多數(shù)建筑行業(yè)的人需要經(jīng)?？磮D紙，進行精確測量。

傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)生活似乎與數(shù)學的關系不大，對數(shù)學的要求不高，主要是計數(shù)和測量。但是,

現(xiàn)代農(nóng)業(yè)用數(shù)學的機會越來越多?；驹霞跋冗M技術方面的高成本迫使農(nóng)業(yè)生產(chǎn)者要對

諸如動物飼料、除草劑、農(nóng)藥化肥等作出精確計量。農(nóng)業(yè)機械要求農(nóng)業(yè)生產(chǎn)者能看懂一系

列儀表盤、計量器，如精細播種要求農(nóng)業(yè)生產(chǎn)者正確校準儀表，提供準確的種子數(shù)量。飼

養(yǎng)人員有時要求按各種有關物質(zhì)的需求量之間的比例進行飼料配制。菜農(nóng)種植塑料大棚，

大棚的建造需要成本、用料的計算、估計等。

新的世紀是一個高度信息化的社會，收集、篩選、處理和利用信息為決策和預測服務

既是公民必備的素質(zhì)之一，又是經(jīng)常性的工作，而運用統(tǒng)計和概率的方法收集、整理、描

述和分析數(shù)據(jù)是獲取有用信息的重要途徑，這將更加密切數(shù)學與我們?nèi)粘９ぷ鞯年P系。

數(shù)學應用的實例舉不勝舉。數(shù)學的一個分支運籌學在生產(chǎn)管理、決策、控制方面的應

用。原本與數(shù)學無關的通訊在今天也直接應用上了數(shù)學。用模糊數(shù)學的觀點和思想研制的

智能型家用電器也走進了家庭。人們在猜測二十一世紀是一個數(shù)字化的世紀。

因此，為了讓我們的學生成為21世紀的合格公民，我們要掌握好數(shù)學，使我們能在

適當?shù)牡胤綌?shù)學地思考，合理地運用數(shù)學進行決策。

6、數(shù)學與藝術

早在古希臘時代，數(shù)學本身就被視為藝術。畢達哥拉斯學派從研究數(shù)學與聲學的實踐

中概括出“美是和諧的比例”。那個時代，琴弦之間長度的比例關系就是依靠數(shù)學方法來

確定的，而琴弦的長度直接影響聲音的和諧。畢達哥拉斯學派在研究中發(fā)現(xiàn)，兩根繃得一

樣緊的弦，如果一根長度是另?根的2倍，那么兩根弦彈奏時發(fā)出的音是同一個調(diào)，但相

差八度，在此基礎上，他們發(fā)現(xiàn)了關于音程的數(shù)學基礎學說，提出了關于音樂的基本