山西省三縣八校2025屆高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

山西省三縣八校2025屆高三第二次診斷性檢測數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（）．A． B． C． D．2．若，則，，，的大小關系為（）A． B．C． D．3．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．04．已知數列是公比為的正項等比數列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．6．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數（），則函數的值域為（）A． B． C． D．7．設函數是奇函數的導函數，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．89．已知，則的大小關系為A． B． C． D．10．某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢11．將函數向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關于點對稱，在區(qū)間上為增函數B．函數最大值為2，圖象關于點對稱C．圖象關于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個根12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點是棱的中點，點是棱靠近的三等分點，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為______．14．已知正實數滿足，則的最小值為．15．在中，角，，的對邊長分別為，，，滿足，，則的面積為__．16．設數列為等差數列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，當時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數的極小值及單調區(qū)間.18．（12分）已知函數，.（1）當時，討論函數的零點個數；（2）若在上單調遞增，且求c的最大值.19．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動．學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學生只能參加一個讀書小組）學生抽取12名學生參加問卷調查．各組人數統(tǒng)計如下：小組甲乙丙丁人數12969（1）從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，用表示抽得甲組學生的人數，求隨機變量的分布列和數學期望．20．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.21．（12分）已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.22．（10分）如圖，在中，點在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以，解得，所以二項式中奇數項的二項式系數和為．考點：二項式系數，二項式系數和．2、D【解析】因為，所以，因為，，所以,.綜上；故選D.3、B【解析】

根據規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1．計算黑螞蟻爬完2020段后實質是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質是到達哪個點，即可計算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.4、B【解析】

利用等比數列的通項公式和指數冪的運算法則、指數函數的單調性求得再根據此范圍求的最小值．【詳解】數列是公比為的正項等比數列，、滿足，由等比數列的通項公式得，即，，可得，且、都是正整數，求的最小值即求在，且、都是正整數范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當且時，的最小值為.故選：B．【點睛】本題考查等比數列的通項公式和指數冪的運算法則、指數函數性質等基礎知識，考查數學運算求解能力和分類討論思想，是中等題．5、D【解析】

由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據求數列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數列是以為公比的等比數列，而，所以，∴當時，，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.6、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.7、D【解析】構造函數，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調遞減函數，且，當x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數,當x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中．某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．8、B【解析】

先求出向量,的坐標，然后由可求出參數的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.9、D【解析】

分析：由題意結合對數的性質，對數函數的單調性和指數的性質整理計算即可確定a,b,c的大小關系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數冪的大小的比較，我們通常都是運用指數函數的單調性，但很多時候，因冪的底數或指數不相同，不能直接利用函數的單調性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數冪的大小比較時，若底數不同，則首先考慮將其轉化成同底數，然后再根據指數函數的單調性進行判斷．對于不同底而同指數的指數冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．10、D【解析】

根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.11、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數式，結合三角函數圖象平移變換即可求得的解析式，結合正弦函數的圖象與性質即可判斷各選項.【詳解】函數，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數的性質可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關于直線對稱；當時，，由正弦函數性質可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當，，由正弦函數的圖象與性質可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數式的化簡，三角函數圖象平移變換，正弦函數圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題.12、B【解析】

根據程序框圖知當時，循環(huán)終止，此時，即可得答案.【詳解】，.運行第一次，，不成立，運行第二次，，不成立，運行第三次，，不成立，運行第四次，，不成立，運行第五次，，成立，輸出i的值為11，結束.故選：B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解析】

由題意，設底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解?！驹斀狻坑深}意，設底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，則直四棱柱的體積為，又由三棱錐的體積為，解得，即直四棱柱的體積為?！军c睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計算問題，其中解答中正確認識幾何體的結構特征，合理、恰當地表示直四棱柱三棱錐的體積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題。14、4【解析】

由題意結合代數式的特點和均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據此可知：的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．15、．【解析】

由二次方程有解的條件，結合輔助角公式和正弦函數的值域可求，進而可求，然后結合余弦定理可求，代入，計算可得所求．【詳解】解：把看成關于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負的舍去），．故答案為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應用，屬于中檔題．16、【解析】

由已知條件得出關于首項和公差的方程組，解出這兩個量，計算出，利用二次函數的基本性質求出的最大值及其對應的值，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由，解得，.所以，當時，取得最大值，對任意都有成立，則為數列的最大值，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數列前項和最值的計算，一般利用二次函數的基本性質求解，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）極小值為，遞減區(qū)間為：，遞增區(qū)間為.【解析】

（1）由題意得到關于實數的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結合（1）中的值得出函數的解析式，即可利用導數求得函數的單調區(qū)間和極小值.【詳解】（1）由題意，函數，則，由當時，有極大值，則，解得.（2）由（1）可得函數的解析式為，則，令，即，解得，令，即，解得或，所以函數的單調減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當時，函數取得極小值，極小值為.當時，有極大值3.【點睛】本題主要考查了函數的極值的概念，以及利用導數求解函數的單調區(qū)間和極值，其中解答中熟記函數的極值的概念，以及函數的導數與原函數的關系，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18、（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設,則轉化問題為與的交點問題,利用導函數判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設,利用導函數可得,則,即,再設,利用導函數求得的最小值,則,進而求解.【詳解】（1）當時,,定義域為,由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調遞增,在上單調遞減,則的最大值為,且當時,；當時,,由此作出函數的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當時,直線和函數的圖象有兩個交點,即函數有兩個零點；當或,即或時,直線和函數的圖象有一個交點,即函數有一個零點；當即時,直線與函數的象沒有交點,即函數無零點.（2）因為在上單調遞增,即在上恒成立,設,則,①若,則,則在上單調遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調遞減,當時,,故,單調遞減,不符合題意；③若,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,所以,由,得,設,則,當時,,單調遞減；當時,,單調遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點睛】本題考查利用導函數研究函數的零點問題,考查利用導函數求最值,考查運算能力與分類討論思想.19、（1）（2）見解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，基本事件總數為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，而甲、丙兩個小組學生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學生的人數的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數學期望.【詳解】（1）由題設易得，問卷調查從四個小組中抽取的人數分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調查的12名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學生的人數的可能取值為0，1，2,因為所以隨機變量的分布列為：012所求的期望為【點睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識，考查運算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據兩個曲線的焦點相同，得到，再根據與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據導數的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數量積得出，則問題得以證明；（3）設直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為