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文檔簡介
浙江省杭州市余杭高級中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.12.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個3.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.4.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.8.已知中,,則()A.1 B. C. D.9.如圖所示,正方體的棱,的中點分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.10.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點,,是圓上的動點,點關(guān)于直線的對稱點為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.11.三棱柱中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.12.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.140二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為________.14.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實數(shù)的值為_____.15.命題“”的否定是______.16.若且時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.18.(12分)若數(shù)列前n項和為,且滿足(t為常數(shù),且)(1)求數(shù)列的通項公式:(2)設(shè),且數(shù)列為等比數(shù)列,令,.求證:.19.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),為的前n項和,求證:.20.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點,求.21.(12分)對于很多人來說,提前消費的認(rèn)識首先是源于信用卡,在那個工資不高的年代,信用卡絕對是神器,稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買,甚至于分期買,然后慢慢還!現(xiàn)在銀行貸款也是很風(fēng)靡的,從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸.信用卡“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了各大小城市的大街小巷.為了解信用卡在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人)經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中,按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人,然后,再從這10人中隨機選出4人贈送積分,求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率;②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品,記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為,求隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522.(10分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項和,,求證:數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項.【點睛】考查集合并集運算,屬于簡單題.2、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點:集合的運算.3、A【解析】
根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標(biāo)運算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.4、A【解析】
根據(jù)或,驗證交集后求得的值.【詳解】因為,所以或.當(dāng)時,,不符合題意,當(dāng)時,.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為:,位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù).7、B【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.8、C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運算,屬于中檔題.9、C【解析】
以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.10、B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯誤選項,得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時,P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項;當(dāng)時,,由圖象可知選B.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、B【解析】
設(shè),,,根據(jù)向量線性運算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設(shè)棱長為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項:【點睛】本題考查異面直線所成角的求解,關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題.12、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
注意平移是針對自變量x,所以,再利用整體換元法求值域(最值)即可.【詳解】由已知,,,又,故,,所以的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.15、,【解析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因為特稱命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
將不等式兩邊同時平方進行變形,然后得到對應(yīng)不等式組,對的取值進行分類,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時求參數(shù)范圍,列出對應(yīng)不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以或,當(dāng)時,對且不成立,當(dāng)時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當(dāng)時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.【點睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨分離出來,再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)公差為,列出關(guān)于的方程組,求解的值,即可得到數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,即可利用裂項相消求解數(shù)列的和.試題解析:(1)設(shè)公差為.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考點:等差數(shù)列的通項公式;數(shù)列的求和.18、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)利用可得的遞推關(guān)系,從而可求其通項.(2)由為等比數(shù)列可得,從而可得的通項,利用錯位相減法可得的前項和,利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】(1)由題意,得:(t為常數(shù),且),當(dāng)時,得,得.由,故,,故.(2)由,由為等比數(shù)列可知:,又,故,化簡得到,所以或(舍).所以,,則.設(shè)的前n項和為.則,相減可得【點睛】數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系式,我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式,如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯位相減法;如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差,那么用裂項相消法;如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項求和法.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當(dāng)時,;當(dāng),,可得,又∵當(dāng)時也成立,;(2),【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項求和法,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理,可得△ABC為直角三角形,然后可計算b,可得結(jié)果.(2)計算,然后根據(jù)余弦定理,可得,利用平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以;所以△ABC的面積為.(2)設(shè)D靠近點B,則BD=DE=EC=1.,所以所以.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.21、(1)不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān);(2)①;②分布列見解析,,【解析】
(1)計算再對照表格分析即可.(2)①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.②利用二項分布的特點求解變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】(1)由列聯(lián)表可知,,因為,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān).(2)①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有(人),偶爾或不用信用卡的有(人).則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.②由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,,,.故隨機變量的分布列為:0123故隨機變量的數(shù)學(xué)期望為,方差為.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點,包括分類討論以及二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式等.屬于中檔題.22、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析:將,求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時和時的單調(diào)性證明,求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式,利用當(dāng)時,得,下面證明:解析:(Ⅰ)因為,所以,
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