2023-2024學(xué)年山西省忻州市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省忻州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則．故選：A.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故選：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)該扇形的圓心角為，則，解得．故選：C.5.已知函數(shù)在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值如下表：則該零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)和都是上的單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，將表格中數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下：由表格可得：，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得：函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所在的區(qū)間為.故選：C.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C.7.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖可得，，則，解得，由，得，解得，因?yàn)?，所以，或，，解得，或，，所以，符合題意．故選：D.8.若函數(shù)且在上的值域?yàn)椋瑒t的值為（）A.或 B.0或 C.或 D.或【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，解得，則，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，解得或（舍去），則，得，綜上，或.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列與的值相等的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，，，，．故選：AD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意可得，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.11.如圖，天津永樂(lè)摩天輪有著“天津之眼”的美譽(yù)，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為，，，且開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉(zhuǎn)動(dòng)10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（）A.B.該摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所用的時(shí)間為30分鐘C.D.該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米【答案】BCD【解析】依題知，則，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；由，則周期為，則該摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周需30分鐘，B正確；，由，可得，故座艙距離地面的最大高度為，CD正確.故選：BCD.12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C. D.函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)于A，由，得，可得的周期為4，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，得，結(jié)合周期畫(huà)出的部分圖象，由圖可得在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，令，得，畫(huà)出函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以與在上的圖象只有8個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得恰有16個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.__________；__________.【答案】1【解析】，.故答案為：1．14.函數(shù)（）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________．【答案】【解析】令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：.15.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)____________________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，令，得，解得，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以不等式的解集為．故答案為：.16.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以（），解得（），由（）得，故的取值范圍為．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知冪函數(shù)．（1）求的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．解：（1）依題意可得，解得，所以.（2）奇函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因，所以為奇函數(shù)．18.已知角是第一象限角，且滿足．（1）求，，的值；（2）求，的值．解：（1）因?yàn)榻鞘堑谝幌笙藿?，所以，，，由，解得或（舍去），則，．（2），，．19.已知函數(shù)，．（1）求的值域；（2）求方程的解集．解：（1）令，，因?yàn)?，則，可得，所以，即的值域?yàn)椋?）由，即，當(dāng)時(shí)，即，整理得，可得或，解得或；當(dāng)時(shí)，即，整理得，可得，解得；綜上所述：方程的解集為．20.某企業(yè)制定了一個(gè)關(guān)于銷(xiāo)售人員的提成方案，如下表：銷(xiāo)售人員個(gè)人每月銷(xiāo)售額/萬(wàn)元銷(xiāo)售額的提成比例不超過(guò)100萬(wàn)元的部分5%超過(guò)100萬(wàn)元的部分記銷(xiāo)售人員每月的提成為（單位：萬(wàn)元），每月的銷(xiāo)售總額為（單位：萬(wàn)元）．注：表格中的（）表示銷(xiāo)售額超過(guò)100萬(wàn)元的部分．另附參考公式：銷(xiāo)售額×銷(xiāo)售額的提成比例＝提成金額．（1）試寫(xiě)出提成關(guān)于銷(xiāo)售總額的關(guān)系式；（2）若某銷(xiāo)售人員某月的提成不低于7萬(wàn)元，試問(wèn)該銷(xiāo)售人員當(dāng)月的銷(xiāo)售總額至少為多少萬(wàn)元？解：（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故提成關(guān)于銷(xiāo)售總額的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)時(shí)，，則該銷(xiāo)售人員當(dāng)月的銷(xiāo)售總額必定超過(guò)100萬(wàn)元，令，得，解得，即該銷(xiāo)售人員當(dāng)月的銷(xiāo)售總額至少為135萬(wàn)元．21.已知函數(shù)（，）的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，將圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．解：（1）由，得，則，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以（），解得（），因?yàn)椋?，則．（2）因?yàn)?，所以，，則不等式對(duì)恒成立可轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍為．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；（2）設(shè)，若，，，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，即，，解得，即零點(diǎn)為5．（2），，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，即對(duì)任意的恒成立，設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，則，解得，故的取值范圍為．山西省忻州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則．故選：A.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故選：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)該扇形的圓心角為，則，解得．故選：C.5.已知函數(shù)在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值如下表：則該零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)和都是上的單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，將表格中數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下：由表格可得：，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得：函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所在的區(qū)間為.故選：C.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C.7.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖可得，，則，解得，由，得，解得，因?yàn)?，所以，或，，解得，或，，所以，符合題意．故選：D.8.若函數(shù)且在上的值域?yàn)?，則的值為（）A.或 B.0或 C.或 D.或【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，解得，則，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，解得或（舍去），則，得，綜上，或.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列與的值相等的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，，，，．故選：AD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意可得，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.11.如圖，天津永樂(lè)摩天輪有著“天津之眼”的美譽(yù)，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為，，，且開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉(zhuǎn)動(dòng)10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（）A.B.該摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所用的時(shí)間為30分鐘C.D.該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米【答案】BCD【解析】依題知，則，因?yàn)椋?，A錯(cuò)誤；由，則周期為，則該摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周需30分鐘，B正確；，由，可得，故座艙距離地面的最大高度為，CD正確.故選：BCD.12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C. D.函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)于A，由，得，可得的周期為4，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，得，結(jié)合周期畫(huà)出的部分圖象，由圖可得在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，令，得，畫(huà)出函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以與在上的圖象只有8個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得恰有16個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.__________；__________.【答案】1【解析】，.故答案為：1．14.函數(shù)（）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________．【答案】【解析】令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：.15.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)____________________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，令，得，解得，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以不等式的解集為．故答案為：.16.已知函數(shù)（）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以（），解得（），由（）得，故的取值范圍為．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知冪函數(shù)．（1）求的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．解：（1）依題意可得，解得，所以.（2）奇函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因，所以為奇函數(shù)．18.已知角是第一象限角，且滿足．（1）求，，的值；（2）求，的值．解：（1）因?yàn)榻鞘堑谝幌笙藿?，所以，，，由，解得或（舍去），則，．（2），，．19.已知函數(shù)，．（1）求的值域；（2）求方程的解集．解：（1）令，，因?yàn)?，則，可得，所以，即的值域?yàn)椋?）由，即，當(dāng)時(shí)，即，整理得，可得或，解得或；當(dāng)時(shí)，即，整理得，可得，解得；綜上所述：方程的解集為．20.某企業(yè)制定了一個(gè)關(guān)于銷(xiāo)售人員的提成方案，如下表：銷(xiāo)售人員個(gè)人每月銷(xiāo)售額/萬(wàn)元銷(xiāo)售額的提成比例不超過(guò)100萬(wàn)元的部分5%超過(guò)100萬(wàn)元的部分記銷(xiāo)售人員每月的提成為（單位：萬(wàn)元），每月的銷(xiāo)售總額為（單位：萬(wàn)元）．注：表格中的（）表示銷(xiāo)售額超過(guò)100萬(wàn)元的部分．另附參考公式：銷(xiāo)售額×銷(xiāo)售額的提成比例＝提成金額．（1）試寫(xiě)出提成關(guān)于銷(xiāo)售總額的關(guān)系式；（2）若某銷(xiāo)售人員某月的提成不低于7萬(wàn)元，試問(wèn)該銷(xiāo)售人員當(dāng)月的銷(xiāo)售總額至少為多少萬(wàn)元？解：（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故提成關(guān)于銷(xiāo)售總額的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)時(shí)，，則該銷(xiāo)售人員當(dāng)月的銷(xiāo)售總額必定超過(guò)100萬(wàn)元，令，得，解得，即該銷(xiāo)售人員當(dāng)月的銷(xiāo)售總額至少為135萬(wàn)元．21.已知函數(shù)（，）的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，將圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有的點(diǎn)的