2023-2024學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省咸陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知a1=1，可排除A、B、D，故選C.2.設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：C.3.已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，直線與直線的斜率均存在直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)小于0，直線的縱截距應(yīng)小于0，故A圖象不符合；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)小于0，故B圖象不符合；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故C圖象不符合；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故D圖象符合．故選：D．4.雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到直線距離為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故選：C.5.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)兩條異面直線所成角為，且這兩條異面直線的方向向量分別是，，則，且，所以兩條異面直線所成的角，故選：A.6.已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題得，所以到平面距離為，故選：C.7.已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡(jiǎn)得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C8.中國(guó)自古就有“橋的國(guó)度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫(kù).如圖是某木拱廊橋的剖面圖是拱骨，是相等的步，相鄰的拱步之比分別為,若是公差為的等差數(shù)列，且直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知因?yàn)樗?，又是公差為的等差?shù)列，所以，所以，故選:B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故，則，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知三條直線：直線不能圍成一個(gè)封閉圖形，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】若中有兩條相互平行，或三條線過(guò)同一點(diǎn)都不可以圍成封閉圖形，若，由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得；若，由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得；聯(lián)立可得，可知的交點(diǎn)為，若交于同一點(diǎn)，可得，故選：ABC.11.在空間直角坐標(biāo)系中，若四點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則的坐標(biāo)可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意得.設(shè)的坐標(biāo)為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時(shí)的坐標(biāo)為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時(shí)的坐標(biāo)為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時(shí)的坐標(biāo)為，故選：ABC12.新定義：如圖，與直線a相離，過(guò)圓心I作直線a的垂線，垂足為H，交于P，Q兩點(diǎn)（Q在P，H之間），我們把點(diǎn)Q稱為關(guān)于直線a的“近點(diǎn)”，把的值稱為關(guān)于直線a的“秘鑰數(shù)”.根據(jù)新定義解決問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，1為半徑作.若與直線l相離，點(diǎn)是關(guān)于直線l的“近點(diǎn)”，且關(guān)于直線l的“秘鑰數(shù)”是6，則直線l的表達(dá)式為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】過(guò)圓心作直線l的垂線，垂足為，直線與的交點(diǎn)分別為，其中點(diǎn)是關(guān)于直線l的“近點(diǎn)”，1.若直線l與x軸垂直，則，此時(shí)，不合題意；2.若直線l不與x軸垂直，設(shè)直線，則有：（1）若，則，，符合題意；（2）若，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，因?yàn)?，由，可得，結(jié)合（1）可知，分別過(guò)作x軸垂線，垂足分別為，可知，，可得，則，即，解得，可知直線l過(guò)，，則，解得，所以直線；綜上所述：直線l的表達(dá)式為或.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在等差數(shù)列中.若，則______．【答案】52【解析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，所以，故答案是：52.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn).若，則______．【答案】4【解析】由拋物線方程，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，設(shè)點(diǎn)，得：，即，因?yàn)榇怪陛S于點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，則.故答案是：.15.當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】將直線，化為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，由，則點(diǎn)在圓內(nèi)，故當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，則，解得．故答案為：．16.已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為直徑的圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又，所以，則是直角三角形，且，又，，則，又P在橢圓上，故，即，所以，即橢圓E的離心率為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知三角形三頂點(diǎn)，求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）邊的中線所在的直線方程.解：（1）邊所在直線的斜率為，邊上的高所在的直線的斜率為2.邊上的高所在的直線方程為，即.（2）易知邊的中點(diǎn)為，則邊的中線過(guò)點(diǎn)和.所以邊的中線所在直線方程為，即.18.圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.解：（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得19.如圖,在平行六面體中,,.設(shè)，，．（1）用基底表示向量，，；（2）證明：平面．解：（1）已知，，，得：，，．（2）設(shè)，又，則，且，則，得，即，同理可得，因?yàn)?，，平面，平面，且，所以平面?0.已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為8.（1）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，由題意得，解得或，所以或.故或；（2）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為成等比數(shù)列，滿足條件.故，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，..故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.21.如圖，在直角梯形中，，，.以直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)得到直角梯形，且.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）將直角梯形繞著旋轉(zhuǎn)得到直角梯形，故且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，，，所以兩兩垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋O(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，此時(shí)與重合，直線和平面垂直，不滿足所成角的正弦值為，舍去；當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線和平面所成角的正弦值為，則，解得或（舍去），綜上，在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為，此時(shí).22.已知拋物線：上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到軸的距離大1．（1）求拋物線的方程；（2）直線，滿足，，交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)．求四邊形面積的最小值．解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，再由到焦點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，可得準(zhǔn)線到軸的距離為，即，可得，拋物線的方程為：．（2）由（1）可得焦點(diǎn)F1,0由題意直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線方程為，Ax1,y1，，聯(lián)立整理得，可得，，由拋物線的性質(zhì)可得，同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，四邊形面積的最小值為．陜西省咸陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知a1=1，可排除A、B、D，故選C.2.設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：C.3.已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，直線與直線的斜率均存在直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)小于0，直線的縱截距應(yīng)小于0，故A圖象不符合；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)小于0，故B圖象不符合；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故C圖象不符合；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故D圖象符合．故選：D．4.雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到直線距離為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故選：C.5.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)兩條異面直線所成角為，且這兩條異面直線的方向向量分別是，，則，且，所以兩條異面直線所成的角，故選：A.6.已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題得，所以到平面距離為，故選：C.7.已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡(jiǎn)得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C8.中國(guó)自古就有“橋的國(guó)度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫(kù).如圖是某木拱廊橋的剖面圖是拱骨，是相等的步，相鄰的拱步之比分別為,若是公差為的等差數(shù)列，且直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知因?yàn)樗?，又是公差為的等差?shù)列，所以，所以，故選:B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故，則，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知三條直線：直線不能圍成一個(gè)封閉圖形，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】若中有兩條相互平行，或三條線過(guò)同一點(diǎn)都不可以圍成封閉圖形，若，由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得；若，由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得；聯(lián)立可得，可知的交點(diǎn)為，若交于同一點(diǎn)，可得，故選：ABC.11.在空間直角坐標(biāo)系中，若四點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則的坐標(biāo)可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意得.設(shè)的坐標(biāo)為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時(shí)的坐標(biāo)為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時(shí)的坐標(biāo)為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時(shí)的坐標(biāo)為，故選：ABC12.新定義：如圖，與直線a相離，過(guò)圓心I作直線a的垂線，垂足為H，交于P，Q兩點(diǎn)（Q在P，H之間），我們把點(diǎn)Q稱為關(guān)于直線a的“近點(diǎn)”，把的值稱為關(guān)于直線a的“秘鑰數(shù)”.根據(jù)新定義解決問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，1為半徑作.若與直線l相離，點(diǎn)是關(guān)于直線l的“近點(diǎn)”，且關(guān)于直線l的“秘鑰數(shù)”是6，則直線l的表達(dá)式為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】過(guò)圓心作直線l的垂線，垂足為，直線與的交點(diǎn)分別為，其中點(diǎn)是關(guān)于直線l的“近點(diǎn)”，1.若直線l與x軸垂直，則，此時(shí)，不合題意；2.若直線l不與x軸垂直，設(shè)直線，則有：（1）若，則，，符合題意；（2）若，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，因?yàn)?，由，可得，結(jié)合（1）可知，分別過(guò)作x軸垂線，垂足分別為，可知，，可得，則，即，解得，可知直線l過(guò)，，則，解得，所以直線；綜上所述：直線l的表達(dá)式為或.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在等差數(shù)列中.若，則______．【答案】52【解析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，所以，故答案是：52.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn).若，則______．【答案】4【解析】由拋物線方程，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，設(shè)點(diǎn)，得：，即，因?yàn)榇怪陛S于點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，則.故答案是：.15.當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】將直線，化為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，由，則點(diǎn)在圓內(nèi)，故當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，則，解得．故答案為：．16.已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為直徑的圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又，所以，則是直角三角形，且，又，，則，又P在橢圓上，故，即，所以，即橢圓E的離心率為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知三角形三頂點(diǎn)，求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）邊的中線所在的直線方程.解：（1）邊所在直線的斜率為，邊上的高所在的直線的斜率為2.邊上的高所在的直線方程為，即.（2）易知邊的中點(diǎn)為，則邊的中線過(guò)點(diǎn)和.所以邊的中線所在直線方程為，即.18.圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.解：（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得19.如圖,在平行六面體中,,.設(shè)，，．（1）用基底表示向量，，；（2）證明：平面．解：（1）已知，