基礎(chǔ)知識梳理及基礎(chǔ)題型歸納-立體幾何模塊

基礎(chǔ)知識梳理及基礎(chǔ)題型歸納

立體幾何模塊目錄

第一節(jié)簡單空間幾何體..............................................1

【知識點(diǎn)1】認(rèn)識簡單幾何體..........................................1

【知識點(diǎn)2】投影問題................................................7

【知識點(diǎn)3】三視圖回題（備選內(nèi)容）..................................9

【知識點(diǎn)4】斜二測畫法.............................................11

第二節(jié)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.......................................15

【知識點(diǎn)5】平面的概念及點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系...................15

【知識點(diǎn)6】空間兩條直線的位置關(guān)系.................................21

【知識點(diǎn)7】平行公理（公理4）...............................................................................22

【知識點(diǎn)8】等角定理及異面直線所成的角.............................23

【知識點(diǎn)9】直線和平面的位置關(guān)系...................................27

【知識點(diǎn)101兩個(gè)平面的位置關(guān)系....................................28

第三節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)..............................31

【知識點(diǎn)11】直線與平面平行的判定..................................31

【知識點(diǎn)12】平面與平面平行的判定定理..............................35

【知識點(diǎn)13】直線與平面平行的性質(zhì)..................................39

【知識點(diǎn)14］平面與平面平行的性質(zhì).................................44

第四節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)..............................51

【知識點(diǎn)15】直線與平面垂直的判定..................................51

【知識點(diǎn)16】直線與平面所成的角....................................55

【知識點(diǎn)17】距離問題..............................................58

【知識點(diǎn)18］二面角的概念..........................................62

【知識點(diǎn)19］平面與平面垂直........................................65

【能力提升】垂直問題難點(diǎn)突破專題..................................68

第五節(jié)空間幾何體的表面積卻體積..................................73

【知識點(diǎn)20】空間幾何體的表面積....................................73

【知識點(diǎn)21】空間幾何體的體積......................................82

第六節(jié)空間向量與立體幾何.........................................89

一、空間向量的線性運(yùn)算............................................89

【知識點(diǎn)1］空間向量的概念.........................................89

【知識點(diǎn)2】空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律.............................90

【知識點(diǎn)3】數(shù)乘向量運(yùn)算...........................................91

二、空間向量的基本定理............................................93

【知識點(diǎn)4】共線向量定理...........................................93

【知識點(diǎn)5】共面向量定理...........................................94

【知識點(diǎn)6】空間向量分解定理.......................................95

三、兩個(gè)向量的數(shù)量積..............................................98

1

【知識點(diǎn)7】兩個(gè)向量的數(shù)量積.......................................98

四、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.......................................103

【知識點(diǎn)8】空間向量的坐標(biāo)表示....................................103

【知識點(diǎn)9】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算....................................104

【知識點(diǎn)101空間向量的平行、垂直及模、夾角.......................104

第七節(jié)立體幾何中的向量方法.....................................108

一、空間向量與平行關(guān)系...........................................108

二、空間向量與垂直關(guān)系...........................................112

三、空間向量與空間角.............................................115

四、空間向量與距離...............................................120

2

篇一立體幾何知識點(diǎn)全面掃描及典例體驗(yàn)

第節(jié)簡單空間幾何體

【知識點(diǎn)1】認(rèn)識簡單幾何體

1.空間幾何體

（1）概念：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫做空

間幾何體.

（2）多面體與旋轉(zhuǎn)體

多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體（如圖），圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面;

相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

2.幾種常見的多面體

多而體定義圖形及表示相關(guān)概念

有兩個(gè)面互相平行，其余各

底面（底）：兩個(gè)互相平行的面

面都是四邊形，并且每相鄰

側(cè)面:其余各面..

棱柱兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

如圖可記作：棱柱ABCDEF側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.

平行，由這些面所圍成的多

-A'B'CD'E'F'頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).

面體叫做棱柱.

N聯(lián)炊

有一個(gè)面是多邊形，其余各分MJ：\\^?W底面（底）：多邊形面.側(cè)面：有

面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面

棱錐

角形，由這些面所圍成的多人B側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.

如圖可記作，

面體叫做棱錐.頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn).

棱錐S-ABCD

蕖上底面：原棱錐的截面

/八、

:件：下底面：原棱錐的底面.

用一個(gè)平行于棱錐底面的平

側(cè)面：其余各面

棱臺面去截棱錐，底面與截面之

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.

間的部分叫做棱臺.

如圖可記作：棱臺頂點(diǎn)：側(cè)面與上（下）底面的公

ABCD-A'B'CD'共頂點(diǎn).

3.棱柱、棱錐、棱臺的關(guān)系

在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系可以用下圖表示出來（以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例）.

上底面變小上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)

上底面擴(kuò)大到頂點(diǎn)拓展為與下底面平

與下底面相等行，相似但不全等的面

4.（1）各種棱柱之間的關(guān)系

①棱柱的分類

'正棱柱（底面是正多邊形）

直棱柱（側(cè)棱垂直底面）?

棱柱一般的直棱柱

斜棱柱（側(cè)棱不垂直底面）

②常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

底面是平行四邊形側(cè)橫垂直于底面

平行六面體

四

棱

柱

側(cè)柱垂直于底面底面是平行四邊形

直四楂柱

底

底面是正方形-面

_是

所

_長

有

_方

棱

_形

K_

相_

等

體

方

長

⑦所有棱長相等體底面是矩形平行六面體

（2）棱柱、棱錐、棱臺在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表:

平行于底面

名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧?/p>

的截面

平行且全等的兩個(gè)

斜棱柱平行四邊形平行且相等與底面全等

多邊形

棱柱

平行且全等的兩個(gè)平行、相等且垂等于

直棱柱矩形與底面全等

多邊形直于底面?zhèn)壤?/p>

全等的等腰三有一個(gè)公共頂

正棱錐一個(gè)正多邊形過底面中心與底面相似

角形點(diǎn)且相等

棱錐

其他棱有一個(gè)公共頂

一個(gè)多邊形三角形與底面相似

錐點(diǎn)

平行.旦相似的兩個(gè)全等的等腰梯相等且延長后

正棱臺與底面相似

正多邊形形交于一點(diǎn)

棱臺

其他棱平行且相似的兩個(gè)延長后交于一

梯形與底面相似

臺多邊形點(diǎn)

2

溫馨提醒：正四面體是所有極長相等的特殊的正三棱錐。正楂柱：底面是正多邊形的直棱柱。

5.旋轉(zhuǎn)體

（1）圓柱

①定義：以矩形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.

②相關(guān)概念（圖1）

③表示法：圓柱用表示它的軸的字母表示，圖中圓柱表示為圓柱（70.

底而

圓錐

圖1圖2

（2）圓錐

①定義：以直角三角形的一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.

②相關(guān)概念（圖2）

③表示法：圓錐用表示它的軸的字母表示，圖中圓錐表示為圓錐SO.

（3）圓臺

①定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

②相關(guān)概念（圖3）

③表示法：圓臺用表示軸的字母表示，圖中圓臺表示為圓臺00。

（4）球

①定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.

②相關(guān)概念（圖4）

③表示法：球常用表示球心的字母表示，圖中的球表示為球O.

（5）圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示.

隹上底縮小

上底縮小,/：為一點(diǎn)

頂點(diǎn)拓

工底擴(kuò)大至展為

行

與面

平

：4底

等下底面■一

的

但

全等

L不

上面

底

圓柱圓臺

6.簡單組合體

（1）概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、

3

球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組成的.

(2)基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

【典型題型】

【例1】下列幾何體中，是棱柱，是棱錐，是棱臺(僅填相應(yīng)序號).

【變式1】下列幾何體是臺體的是(

【變式2】如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形

成的幾何體的形狀是.

【例2】下列說法正確的有(填序號).

①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)；

③棱臺的側(cè)面有的是平行四邊形，有的是梯形；④棱臺的惻棱所在直線均相交于同一點(diǎn)；

⑤多面體至少有四個(gè)面.

【變式1】判斷下列各命題是否正確：

(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；

(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；

(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形;

(4)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球.

4

【例3】在正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，那么一個(gè)正

五棱柱對角線的條數(shù)共有（）

A.20B.15C.12D.10

【變式1】過球面上任意兩點(diǎn)4、8作大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）

A.有且只有一個(gè)B.一個(gè)或無窮多個(gè)C.無數(shù)個(gè)D.以上均不正確

【例4】某同學(xué)制作了一個(gè)對面圖案相同的正方體禮品盒（如圖），則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該

為（）

【變式1】如圖，在4X3的紙上用線條勾畫出一個(gè)圖形，使每一格作為一個(gè)面，能折成一個(gè)正方體.你能

畫出4個(gè)這樣的圖形嗎？

【例5】（1）在半徑等于13cm的球內(nèi)有一個(gè)截面，它的面積是25ncm2,求球心到截面的距離.

（2）一個(gè)圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4ncm?和25兀cm?.求：

①圓臺的高：

②截得此圓臺的圓錐的母線長.

5

【變式1】已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5n和8口，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1,那么這

個(gè)球的半徑是（）

A.4B.3C.2D.O.5.

【能力】【例6】如圖所示，在側(cè)棱長為2百的正三棱錐V—ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40°,

過A作截面AEF,求截面4AEF周長的最小值.

V

B

【探究變式】

【變式1】如圖所示，在所有棱長均為1的直三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行

一周到達(dá)點(diǎn)A1,則爬行的最短路程為.

【變式2】如圖，一只正三棱錐ABC-A1B1C1的底面邊長為1,高為8,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的

側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1的最短路線長為？

6

【變式3】如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r=1,母線長/=4,M為母線以上的一個(gè)點(diǎn)，且SM=

x,從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)4求：

(1)繩子的最短長度的平方次防；

(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離;

(3次用的最大值.

【知識點(diǎn)2】投影問題

1.投影問題

光是直線傳播的，由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上會留下這個(gè)物體的影子,這種現(xiàn)象叫做投影.

其中的光線叫做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面.

中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做中心投影

平行投影：把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影。

在平行投影中，投影線正對著(即垂直)投影面時(shí)叫做正投影，否則叫做斜投影.

例1.如圖所示，在正方體力5co中中，M、N分別是BC的中點(diǎn).則圖中陰影部分在平面

力。。上的正射影為()

7

CD

3

aMb0HD-x

人

【變式1】如圖所示，在正方體ABCD-AMCR中，M為DD的中點(diǎn),則圖中陰影部分BC.M在平面BCC,B,±

的正投影是（）

C1_B.CiBiCiBi

N。0

D.Bk

cCBCBc

【變式2］將正方體（如圖①所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖②所示的幾何體，則該幾何體在平面BCGBi的正

投影為

ABCD

【答案】B

【變式3】下列圖形：①線段；②直線：③球；④梯形；⑤長方體，其中投影不可能是線段的是

（填序號）.

【例2】如圖所示，棱長為1的正方體中，若E,尸分別為/Ui，CMi的中點(diǎn)，G是正

方形BCGB］的中心，則空間四邊形AEFG在該正方體的面上的投影的面積的最大值為.

8

【變式1】半徑為R的球。放置在水平平面a上，點(diǎn)P位于球O的正上方，且到球。表面的最小距離為R,

則從點(diǎn)P發(fā)出的光線在平面a上形成的球。的中心投影的面積等于.

【知識點(diǎn)3］三視圖問題（備選內(nèi)容）

（1）光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖,叫做幾何體的正視圖;

（2）光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖,叫做幾何體的側(cè)視圖:

（3）光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖,叫做幾何體的俯視圖;

正視圖、側(cè)視圖、俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.

太難了，有沒有熟悉的場景理解三視圖?。块L方體看為空間，下面對應(yīng)的面看為投影面。

熟悉1：簡單幾何體的三視圖

9

正視圖州視圖

動(dòng)動(dòng)手：作出三棱錐P-ABD的三視圖

例1.將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()

例2.若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()

B

正視圖側(cè)視圖

B

俯視圖

【變式2】沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為)

【變式3】如圖(1)(2)(3)(4)為四個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這匹個(gè)幾何體依次分別為()

10

二A

正視圖側(cè)視圖

俯視圖俯視圖

(1)(4)

A.三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺B.三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺D.三棱柱、三棱臺、圓錐、圓令

【例3】如圖所示，畫出下列組合體的三視圖.

----

①

【變式1】某組合體的三視圖如圖所示，試畫圖說明此組合體的結(jié)構(gòu)特征.

S：土

由正視圖：側(cè)視圖

俯視圖

【知識點(diǎn)4】斜二測畫法

1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則

(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)。，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的f

軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O,且使//。了=45。(或135。)，它們確定的平面表示水平面.

(2)畫線：已知圖形中平行于X軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于V軸或y軸的線段.

(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原來的長度不變,平行于y軸的線段，袋

度變?yōu)樵瓉淼囊话?

2.立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則：畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時(shí)，要多畫一條與平面，O'垂直

的軸O'z',且平行于O'z'的線段長度不變，其他同平面圖形的畫法.

【典例】

11

例1（平面圖形的直觀圖）畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖.

OB

【思考】若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？

【反思】在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鈍之一，一般要使平面多邊形

盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線

段來作出其對應(yīng)線段.確定多邊形頂點(diǎn)的位置是關(guān)鍵之二，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這

些頂點(diǎn)順次連結(jié)即可.

變式1：如圖所示，為一個(gè)水平放置的正方形/8CO,它在直角坐標(biāo)系xOv中，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,2）,則在

用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)夕到/軸的距離為.

例2（由直觀圖還原平面圖形）如圖所示，B'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還

原成平面圖形.

12

【反思】由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵

(1)平行,軸的線段長度不變，平行V軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍.

(2)對于相鄰兩邊不與/、軸平行的頂點(diǎn)可通過作/軸，/軸的平行線確定其在x。，中的位置.

【變式2】如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm,

CD'=2cm,則原圖形是

【例3】(原圖形與直觀圖的面積計(jì)算)如圖所示，梯形是一平面圖形力8co的直觀圖.若

401〃。'y',A\B\//C\D\,48i=；GDi=2,A\D\=O'1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形

的面積.

【反思】(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實(shí)際圖形中的高，在直觀圖中

變?yōu)榕c水平直線成45。(或135。)角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高.

(2)若一個(gè)平面多邊形的面積為S,它的直觀圖面積為S',則S'=S.

4

【變式3】如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形HB'0',若O'B1

=1?那么原三角形ABO的面積是.

13

【例4】(簡單幾何體的直觀圖)用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體

ABCD—A1B'CD'的直觀圖.

【反思】直觀圖中應(yīng)遵循的基本原則

(1)用斜二測畫法畫空間圖彩的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸、n軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平

行于.一軸、yf軸、z'軸的線段.

(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼模?/p>

(3)直觀圖畫法口訣“一斜、二半、三不變”.

【變式4】用斜二測畫法畫出六棱錐尸一488所的直觀圖，其中底面48CDE尸為正六邊形，點(diǎn)P在底

面上的投影是正六邊形的中心0.(尺寸自主)

14

第二節(jié)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

【知識點(diǎn)5】平面的概念及點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

1.平面的概念

(1)平面的概念：

廣闊的草原、平靜的湖面都給我們以平面的形象.和點(diǎn)、直線一樣，平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的

幾何概念.

(2)平面的畫法：

D_______c

一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖4_/7

AB

一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被

遮擋部分用虛線畫出來.

AEX/B

(3)平面的表示方法

平面通常用希臘字母a,夕，y…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母表示，如圖中的平面a、

平面AC等.

2.點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

點(diǎn)、立線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)

位置關(guān)系符號表示

點(diǎn)尸在直線上PW4B

點(diǎn)C不在直線彳B上C^AB

點(diǎn)M在平面AC內(nèi)平面AC

點(diǎn)4不在平面4C內(nèi)4至平面AC

直線AB與直線BC交于點(diǎn)BABQBC=B

直線4B在平面4C內(nèi)48U平面/C

直線441不在平面4C內(nèi)441a平面AC

15

3.平面的基本性質(zhì)

公理(推論)文字語言圖形語言符號語言作用

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一(1)判定直線在平面

A^a

公理1個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所內(nèi)：

%///BGa

有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(2)證明點(diǎn)在平面內(nèi)

(1)判斷兩個(gè)平面是

如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

P^a否相交；

那么它們還有其他公共點(diǎn)，這=>aCl^=/

公理2受PW(2)判定點(diǎn)是否在直

些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)

舊_PRl線上：

公共點(diǎn)的一條直線

(3)證明點(diǎn)共線問題

力，8,。不共線今4,

經(jīng)過不在同一條直線上的三

公理3ZBB,C確定一個(gè)平面

點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面3

a

經(jīng)過一條直線和這條直線外A^l=^A和/確七一(1)確定一個(gè)平面的

推論1

的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面ZiV個(gè)平面a依據(jù)；

(2)證明平面重合;

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有aC\b=A—a,b確定

推論2(3)證明點(diǎn)、線共面

一個(gè)平面/2/一個(gè)平面a

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有a"b=a、b確定一

推論3

一個(gè)平面Z—：/個(gè)平面a

【典例講解】

類型一、符號表示問題

【例1】(點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示)如圖,用符號表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間

的位置關(guān)系.

(1)

【反思】(1)用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖彩時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之

間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.

(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

16

【變式1】若點(diǎn)4在直線b上，匕在平面夕內(nèi)，則點(diǎn)4直線人平面日之間的關(guān)系可以記作.（填

序號）

①ASbSB；②ASbU氏③AUbU0；④AUbe艮

【變式2】空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是.

【思考1】在正方體力8c。一小BiGOi中，P,Q,R分別是川5,4D,81cl的中點(diǎn)，那么正方體經(jīng)過P,Q,

R的截面圖形是.

【變式1】如圖，直角梯形。中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形”DC所在平面外一點(diǎn)，畫出平

面SBD和平面SAC的交線.

類型二、點(diǎn)線共面問題

【例2】（點(diǎn)線共面）如圖，已知：tfCa,bUa,aQb=A,PBb,PQ//af求證：PQUa.

【變式1】求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi).

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【反思】證明多線共面的兩種方法

(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).

(2)重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.

【變式2】已知/2n/3=Z?>!\(^h=c,如圖所示.求證；直線/】，，2，，3在同一平面內(nèi).

類型三，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題

【例3】(點(diǎn)共線)如圖，在正方體川?45Goi中，設(shè)線段4c與平面力3c交于點(diǎn)0,求證：B,

Q,小三點(diǎn)共線.

【反思】證明多點(diǎn)共線通常利用公理2,即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證

明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在直線上.

18

【變式1】已知△48C在平面a外，其三邊所在的直線滿足/18Ga=P,8Cria=0,ACQa=R,如圖所

示.求證：P,0,R三點(diǎn)共線.

【變式2】若直線/與平面a相交于點(diǎn)O,A,BGi,C,D^a,且4C〃8。，則O,C,。三點(diǎn)的位置關(guān)系

是.

【例4】（線共點(diǎn)問題）如圖所示，在正方體488—小田中，E為48的中點(diǎn)，尸為彳出的中點(diǎn).求

證：CE,DiF,。力三線交于一點(diǎn).

【反思】證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直

線的交點(diǎn)在此直線上.此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別

交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).

19

【變式,1］如圖，已知。，E是△/8C佗邊AC,8c上的點(diǎn)，平面a經(jīng)過。，E兩點(diǎn),若直線48與平面a

的交點(diǎn)是P,則點(diǎn)P與直線。E的位置關(guān)系是

【變式2】如圖所示，在空間四邊形48co中，E,廠分別是⑷5和C8上的點(diǎn)，G,，分別是。。和40上

的點(diǎn),啥吐AHCG.

c

求證：EH,BD,產(chǎn)G三條直線相交于同一點(diǎn).

20

【知識點(diǎn)6】空間兩條直線的位置關(guān)系

1.在同一平面內(nèi)，兩條直線位置關(guān)系：平行與相交.

空間中，既不平行又不相交的兩條直線叫做異面直線。

空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

相交直線在同一平面內(nèi)有且只有二個(gè)

平行直線在國二平面內(nèi)沒有

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有

判斷異面直線的方法

方法內(nèi)容

定義法不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線

定理法過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線

反證法判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是異面直線

典型例題異面直線的判斷

【例1】（1）在四棱錐尸一/8CO中，各棱所在的直線互為異面的有對.

（2）如國是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么48,CD,EF,G//這四條線段所在直線是

異面直線的有幾對？分別是哪幾對?

【反思】（1）判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的關(guān)鍵點(diǎn)

①建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線.

②重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.

（2）判定兩條直線是異面直線的方法

①證明兩條直線既不平行又不相交.

②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是

異面直線.用符號語清可表示為4任。，Bi=a,B年I,/JQ,則力片與/是異面直線（如圖）.

21

【變式1］（1）如果把兩條異面直線看成“1對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有

________對.

（2）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:

?ABLEF；

②七戶與A/N是異面直線；

③MN〃CD.

以上結(jié)論中正確的序號為

【變式2】如圖所示，在三棱錐4—8C。中，E,F是棱4D上異于4,。的兩個(gè)不同點(diǎn)，G,H是梭BC

上異于8,。的兩個(gè)不同點(diǎn)，給出下列說法:

①48與8互為異面直線；

②切分別與。C,互為異面直線;

③EG與/互為異面直線；

④EG與48互為異面直線.

其中說法正確的是.（填序號）

【知識點(diǎn)7】平行公理（公理4）

jj?

平行公理（公理4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示：

hi/c

典型例題

【例1】（概念理解）.下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是.

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

②平行于同一直線的兩直線平行；

③若直線mb,c滿足q〃b,b_Lc,則a_Lc；

④若直線4，/2是異面直線，則與人/2都相交的兩條直線是異面直線.

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【變式1】下列三種說法：

①若直線a,8相交，b,c相交，則a,c相交；

②若a〃4則a,6與。所成的角相等；

③若a_Lb,b-Lc,則a〃c.

其中正確的個(gè)數(shù)是.

【思考1］已知在空間四邊形48CQ中，M,N分別是48,8的中點(diǎn)，且4c=4,BD=6,則MN的取

值范圍為.

【知識點(diǎn)8】等角定理及異面直線所成的角

（1）等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別壬丘并且方向桓同，那么這兩個(gè)角相等.

（2）異面直線所成的角

前提兩條異面直線出b

定義作法經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,作直線//a,b'//b

結(jié)論我們把加