吉林省汪清六中2025屆高考模擬考試試題數(shù)學(xué)試題試卷

吉林省汪清六中2025屆高考模擬考試試題數(shù)學(xué)試題試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知向量。與〃的夾角為60。，卜|=1,忖=6,則（）

百一33

A.--B.0C.0或——D.——

222

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz—2=i,則|z|=（）

A.V2B.6C.2D.y/5

3.若（2八十味）的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)"的值為（）

A.7B.6C.5D.4

4.已知函數(shù)/（x）=sin（如+°）3>0,|同<方的最小正周期為4J（x）的圖象向左平移季個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于），軸對(duì)

7T

稱(chēng)，則/（X-二）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

7T.571.7t.71,

A.----FK71y------FK71keZB.------+K7C.—+K71keZ

|_3636

TV,71.

C.-----十攵萬(wàn),——+K7TKeZD.------+K7T,—+K7TkeZ

121263

5.已知工與）'之間的一組數(shù)據(jù):

X1234

ym3.24.87.5

若V關(guān)于x的線性回歸方程為），=2.以一0.25,則〃?的值為（）

A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5

6.中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A、3、C、

D、E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且PT=正二IAP,則AT-苴二!■￡§=（）

22

A

PT

B

。*。

A.B.C.^^-RDD.!-/?C

2222

z

7.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x\x-x+2>0]f則A:8=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

8.如圖，在底面邊長(zhǎng)為1,高為2的正四棱柱ABC。-A4G。中，點(diǎn)尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P—BCD

的正視星與側(cè)視圖的面積之和為（）

C.4D.5

9.復(fù)數(shù)2滿(mǎn)足(1+山=卜，1,貝ljz二(）

A.1-iB.l+jC.-------/D.----1---1

2222

aa>b11

10.定義=｛y上，，已知函數(shù)/（1）=：；——，^?=-———,則函數(shù)/。）=/（乃③g。）的最小

/?,a<b2-sinx2-cos-x

值為（）

24

A.-B.]C.-D.2

33

11.已知空間兩不同直線〃?、〃，兩不同平面。，B,下列命題正確的是（）

A.若〃z|a且〃I。，貝!]〃2|〃B.若6_L￡且〃?_L〃，則，2II6

C.若〃z_La且〃2|則aJ■力D.若m不垂直于a,且〃ua,則"?不垂直于〃

12.若函數(shù)/（x）=xlnx-or2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.0,gB.（g,l）C.（1,2）D.（2,e）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/*）=85/一1082（2'+1）+以（。€/?）為偶函數(shù)，則4=.

14.已知三棱錐P-4BC中，AB1BC,PA=PB=AB=268C=起，且二面角尸-AB-C的大小為135。,

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.

15.若&《工一2）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則實(shí)數(shù)。的值為.

16.（5分）已知曲線。的方程為），=-，V+x（aeR）,其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,0）,則曲線。在點(diǎn)尸處的切線方程是

*

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)/。）=d一3/一公，asR.

（I）討論的單調(diào)性；

（II）4Kl時(shí)，若王工工2，f（xi）+f（x2）=2,求證：百+%2<0.

18.（12分）如圖所示，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCO為正方形，PAA.AB,PA=6,AB=8,PD=1（）,

N為尸。的中點(diǎn)，產(chǎn)為棱8C上的一點(diǎn).

（1）證明：^PAF^ABCD；

（2）當(dāng)“為AC中點(diǎn)時(shí)，求二面角4-八戶(hù)一。余弦值.

22

19.（12分）己知橢圓C：—y+親~=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,J^),且滿(mǎn)足〃+b=3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為!的直線與橢圓。交于兩個(gè)不同點(diǎn)4,比點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1）,設(shè)直線MA與M3的斜率分別為出，

2

kif試問(wèn)也十依是否為定值？并說(shuō)明理由.

20.（12分）如圖,在三棱柱48。一4出?中，ACA.BC,ABVBB,,4c=8C=，。為的中點(diǎn)，且?

(D求證：平面ABC；

(2)求銳二面角C—Z)4—儲(chǔ)的余弦值.

21.(12分)在三棱錐5-月8。中，4AC=々BA=々CA=90c,4AB=45°HSAC=60。刃為枝的中點(diǎn),SA=2

⑺證明：SD,BC;

(〃)求直線BD與平面S3c所成角的正弦值.

22.(10分)已知橢圓+的焦距是2a，點(diǎn)P是橢圓。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上關(guān)于

原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)(與。不同)，若直線的斜率之積為-J.

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

(U)A8是拋物線C2:X=4y上兩點(diǎn)，且A3處的切線相互垂直，直線AB與橢圓G相交于CD兩點(diǎn)，求OCD

的面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

由數(shù)量和的定義表示出向量〃與〃+〃的夾角為60。，再由/=,(，/：=|〃『代入表達(dá)式中即可求出

【題目詳解】

由向量4與4+〃的夾角為60。,

得a.(〃+/?)=〃+ab=aa+bcos60°

所以。?=J(a+Z?)

+2a-b+b,

,.I--2-2-2-2

又。=1,b=\J3,a=a,b=b,

所以1+4包=5、1、Jl+2a?1+3,解得ab=0?

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.

【題目詳解】

解：由題意知，iz=2+i.

2+i_(2+i)i—l+2i

??z-"—

A|z|=|l-2i|=Jl2+(-2)2=V5,

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法.

3、C

【解題分析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，(〃+勿”的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2"計(jì)算.

【題目詳解】

2x+的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2“，:2"=32,二.n=5.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4、D

【解題分析】

先由函數(shù)/(x)=sin(s+0)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)/(x)=sin(ox+0)的解析式，從而

得出/(彳-5)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)/(x)=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)/(x-g)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選

66

項(xiàng).

【題目詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/。)=sin(公E+夕)3>0,冏<])的最小正周期是不，所以兀=(，即啰=2,所以/(x)=sin(2x+0),

/.*)=sin(2x+0)的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為

.c冗

y=sin2x+—+(p=sin2x+—+(p,

一I6J；I3J

由于其圖象關(guān)于),軸對(duì)稱(chēng)，所以?+。=彳+2版"MEZ,又如(7所1以。吟兀所以小An2一十

JJ26

所以/(入一看)=$由2卜7T71

+-=sin2x--\t

66J

因?yàn)?。)=sinx的遞增區(qū)間是:一+24肛2k九+—,keZ

22f

TTJT7TTT7T

由一生+2k/rV2x—華工2〃乃+生，keZ,得：----Fkjr<x<k7i-\—,kE,Z,

26263

所以函數(shù)f(x—371)的單調(diào)遞增區(qū)間為-J+k小三+k兀(&eZ).

6o3

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時(shí)，注意自變量的系數(shù)，屬于

中檔題.

5、D

【解題分析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到；=2.5,代入回歸方程，可得］=5,再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.

【題目詳解】

利用表格中數(shù)據(jù)，可得1=2.5,

又)，=2.1x-0.25,「.y=5,

/.m+3.2+4.8+7.5=20.

解得m=4.5

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解題分析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問(wèn)題.

【題目詳解】

解：AT-^-^-ES=SD-SR=RD=^^-QR.

22

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

7、D

【解題分析】

先求出集合M再與集合A求交集即可.

【題目詳解】

由已知，X2-X+2=(X-^)2+^>0,故/=/?,所以4nB={-2,-1,0,1,2}.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.

8、A

【解題分析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.

【題目詳解】

由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐P-BCO的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長(zhǎng)為2高為1的三角形，其面積都是

^xlx2=l,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為1+1=2,

2

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解題分析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【題目詳解】

解.^(1-0_^(l-0,V2也

1+/1+Z(1+/)(1-/)222

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>f(x),F(x)>g(x),則2F(x)>/Q)+g(x),再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【題目詳解】

依題意得F(x)>/(x),F(x)>g(x),則2F(x)>f(x)+g(x),

fM+g(x)=--!(--)[(2-sin2x)+(2-cos2x)]

2-sin-x2-cos"x32-sin-x2-cos'x

」(2+2上了+2小」」2+2卜3、.2一如晨)，(當(dāng)且僅當(dāng)"0=生”￡,即

32-sin~x2-cos~x3V2-sin~x2-cos~x32-sirrx2-cos'x

i242

22

sinx=cosx=5時(shí)*”成立.此時(shí),〃_r)=s(x)=-f2F(x)>-,/.F(x)的最小值為-,

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考食求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2尸(x)2/(刈+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

11、C

【解題分析】

因答案A中的直線機(jī)，〃可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線〃U夕也成立，故不正確；答案C中的直線〃，

可以平移到平面力中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面￡互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可

能垂直于直線〃，故不正確.應(yīng)選答案C.

12、A

【解題分析】

試題分析：由題意得/'(x)=lnx+l—2ar=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以/"(x)=,-2。=()必有解，則a＞0,

X

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)

【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(I)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為。的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).

(2)已知函數(shù)求極值.求P(X)―＞求方程r(X)=0的根一＞列表檢驗(yàn)r(X)在r(x)=o的根的附近兩側(cè)的符

號(hào)一一＞下結(jié)論.

(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(X)在點(diǎn)(xo,yo)處取得極值，則F(X0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)

相反.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

2

【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡(jiǎn)求得。的值.

【題目詳解】

由于/(1)為偶函數(shù)，所以〃一力=〃克)，

rx

即cos(-x)-log2(2-4-1)-ar=cosx-log2(2+l)+ar,

x

即cosx-log2(2~+l)-ar=cosx-log2(2*+1)+ax,

即log?。'+1）-log2。'+1）-2依=0,

（2'+1）2（2'+1）2

即1暇臺(tái)金一2辦=0,即1唯（2-，+1）.2「2翅二°，BP10g2L__L_一2冰=0,即

log2T-2ax=x-2ctx=（\-2a）x=0f所以1-2。=0,。=’.

2

故答案為：—

2

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

14、32乃

【解題分析】

設(shè)的中心為丁，A3的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過(guò)M,7做平面ABC,平面小3

的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O,將or,的長(zhǎng)度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半

徑.

【題目詳解】

設(shè)ARAB的中心為T(mén)，48的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為分別過(guò)M,T做平面A8C,平面

的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O,如圖所示

因?yàn)?48=26，BC=C，所以77V=1，W=—,AC=V14，

2

又二面角P?AB-。的大小為135。，則N77VM=135,ATOM=45,所以

TM?=TN?+MN?-2MNTNcos乙TNM=',

2

設(shè)外接球半徑為R,則OA/2=R2-g,OT2=R2-4,

在△O7M中，由余弦定理，得7M2=W2+MO2—2MO：TOCOSNTOM,

即1=於_4+求2_1_?2R2-7)(12—4),解得箱=8，

故三棱錐P-ABC外接球的表面積5=4加大=32不.

故答案為：32乃.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三棱錐外接球的表面積問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計(jì)算量較大，

是一道難題.

15、-3

【解題分析】

依題意可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為乙1二水：號(hào)2.1—2)即可得到方程，解得即可；

kX)

【題目詳解】

，八S(八3

解：:二項(xiàng)式以x-一的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為心=即廳?——=-8067=240,

IX)IX)

??解得ci——3.

故答案為：-3

【題目點(diǎn)撥】

本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

16、2x-y—2=0

【解題分析】

依題意,將點(diǎn)尸。,0)的坐標(biāo)代入曲線C的方程中，解得。=1.由y=-V+x,得)，，=-3/+|,則曲線。在點(diǎn)。處切線

的斜率4=)，］“=-2,所以在點(diǎn)尸處的切線方程是y=-2*-l),即2'+)，-2=0.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解題分析】

(1)首先對(duì)函數(shù)/*)求導(dǎo)，再根據(jù)參數(shù)。的取值，討論了'(X)的正負(fù)，即可求出關(guān)于/(x)的單調(diào)性即可；

(2)首先通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明%+々＜°?

【題目詳解】

(1)f\x)=ex-x-a,令g(x)=/'a),

貝Ug'(x)=ex-I,令g'(x)=e'-1=0x=0,

當(dāng)x￡(F,0)時(shí)，g'(x)<0則g(幻在(-oo,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)元w(0,+oo)時(shí)，g'(x)>0則g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

所以gmie)=g(°)=l-。，

當(dāng)。<1時(shí)，gmin(X)=l一。2°，即g0)=r(x)之0,則/(幻在R上單調(diào)遞增,

當(dāng)。>1時(shí)，gmin(X)=l一。<()，

易知當(dāng)X7—8時(shí)，g(X)->ZO,

當(dāng)x7”時(shí)，g(x)->y,

由零點(diǎn)存在性定理知，3XPX2,不妨設(shè)使得用(西)二月*2)=0，

當(dāng)XE(YO,芭)時(shí),g(x)>0,即/")>0,

當(dāng)工￡(西,無(wú)2)時(shí)，g(X)<0，即/'(X)v0,

當(dāng)X￡(W，+8)時(shí)，g(x)>0,即/'(幻>0,

所以/(x)在(-8,%)和(々,+8)上單調(diào)遞增，在(%，七)單調(diào)遞減；

(2)證明：構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)+/(-x)-2,x>0,

F(x)=ex-—x2-CLX+e~x-—x2+av-2,x>0,

22_

整理得尸(x)=e'+/-2-2,

xx

F\x)=e-e--2xt

尸〃(“)="十e~x-2>2y/exe~x-2=0(當(dāng)x=。時(shí)等號(hào)成立)，

所以F'。)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則FU)>尸(0)=0,

所以FW在［0,位)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0,

這里不妨設(shè)W>0,欲證內(nèi)+々<°，

即證內(nèi)<一々由(1)知時(shí)，JS)在R上單調(diào)遞增，

則需證/(%)</(一馬)，

由已知/(/)+/(￡)=2有/(占)=2-/32),

只需證/(x1)=2-f(x2)</(-x2),

即證/。2)+/(一看)>2,

由F(x)=/(x)+f(-x)-2在［0,-W)上單調(diào)遞增，且&>。時(shí)，

有F(X2)=f(x2)+f(-x2)-2>0,

故/(12)+/(一工2)>2成立，從而內(nèi)+/<。得證.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類(lèi)討論單調(diào)性，借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式，屬于難題.

18、(1)證明見(jiàn)解析；(2)-%叵.

【解題分析】

(D要證明面即_1面48。。，只需證明必_1面48。即可；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以45,A。，AP分別為x,》，z軸建系，分別計(jì)算出面ANF法向量i，面P3C的法

LU1

向量〃j再利用公式計(jì)算即可.

【題目詳解】

證明：(1)因?yàn)榈酌嫒?8為正方形，所以人。=八。=8

又因?yàn)镋4=6,PD=10,滿(mǎn)足RV+A￡>2=/>￡)2,

所以BAJ_AD

XPAA.AB>ADczffiABCDfABIffiABCD,

ABr>AD=Af

所以％_1面45。.

又因?yàn)镋Au面BA尸，所以，面粉尸J_面A6CO.

(2)由(1)知48,AD.AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以45,AD,AP分別為工，)'，軸建系如圖所示,

ABx

則A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,￡>（0,8,0）則N（4,4,3）,F（8,4,0）.

所以A盧=（8,4,0）,A7V=（4,4,3）,BC=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

_-z[n^AF=0[8x4-4y.=0

設(shè)面4所法向量為4=（x，y,zJ,則由?…八得J/'°八，

、/[n]AN=0[4芭+4y+3Z1=（）

33?「33、

令4=1得％=^，=--?即〃|=1『一5』1；

同理，設(shè)面P3C的法向量為4二(X2，%，Z2)，

n?PC=0Sx+8%—6Z=0

則由，2<22

n2-BC=0[Sy2=0

令z?=4得9=3,)，2=0,即丐=(3,0,4),

3

-x3+0+lx45相

所以COS<,%-6T，

〃2

0）+卜（1+『'際7

設(shè)二面角A—AE—C的大小為0,則

1-61

所以二面角人一版一。余弦值為一己叵.

61

【題目點(diǎn)撥】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),

是一道中檔題.

19、(1)—+^=1(2)佑+匕為定值0,見(jiàn)解析

82

【解題分析】

(1)利用己知條件直接求解。涉，得到橢圓的方程；

(2)設(shè)直線在),軸上的截距為〃?，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)4(%,)。，3(/，%)，利用韋達(dá)定理

求出K+B，然后化簡(jiǎn)求解即可.

【題目詳解】

（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)則/?=&，又Cl+b=3叵，所以4=2及，

r22

故橢圓的方程為土+上v二1

82

（2）4+&=0,證明如下:

設(shè)直線在）’軸上的截距為"?，所以直線的方程為：），=gx+,〃,

y=—x+m

?2,,

由《22得：f+2〃LY+2〃--4=(),

--+---=I

82

由￡,=4m2-8/n2+16>0得一2vmv2,

設(shè)4（與方），8（孫％），則＜+電=-26,“2=2"/-4,

所以小二"+2m(2),

X1—2X-,—z,—2.jyX-y—

011

又)1=5玉+機(jī)，yi=~x2+in>

所以()1-1)(占-2)+(%-1)(力-2)FW+(〃L2)(X+々)—4(〃?—1)

=2M-4+(/w-2)(-2/7z)-4(/?2-1)=0,

故人+&=0.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想,

考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

20、（1）證明見(jiàn)解析：（2）巫.

5

【解題分析】

（1）證明CZ）_LAB后可得COJ_平面BqAA,從而得CO_LB圖，結(jié)合已知得線面垂直;

（2）以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C8為x軸，cq為軸，。為z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=2,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求

出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.

【題目詳解】

(1)證明：因?yàn)锳C=〃C,。為9C中點(diǎn),

所以CD_LA8,又CQ_LQA|,AB^}AiD=Df

所以COJ_平面又平面44出出,

所以CDLB】B,又48_LA8,ABr\CD=Dt

所以A8J_平面ABC.

(2)由已知及(1)可知C8,CC,,C4兩兩垂直，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C8為工軸，CG為)'軸，。為z建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。0=2,則

C（0,0,0）,5（2,0,0）,4（0,0,2）,C,（0,2,0）,/A,（0,2,2）,Dll,0,l）.

設(shè)平面OCA的法向量〃i=C+y,zJ,則

n.?CD-0x.+z.-0,、

1，即《￡+2釬。,令"T則eui）；

%.。4=0

設(shè)平面。G4的法向量%二(W，%，Z2)，則

〃“。=。，即x,-2y+Z）=（）/、

_9-

/_n，令刈=1，則%=（2,1,0）,

%?GA=o乙乙、—U

所以8s如“"黑3_厲

石xb一5,

故銳二面角C-DA.-Q的余弦值為叵.

5

【題目點(diǎn)撥】

本題考查證明線面垂直，解題時(shí)注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角，求空間角一般是建立空間直

角坐標(biāo)系，用向量法易得結(jié)論.

21、⑺證明見(jiàn)解析；(〃)：

【解題分析】

(7)過(guò)Df乍于E,連接即，根據(jù)勾股定理得到SE4c,。后/8。得到8。/平面即》得到證明.

(〃)過(guò)點(diǎn)冰D"人SE于證明平面MC,故4TS。為直線SD與平面S8C所成角，計(jì)算夾角得到答案.

【題目詳解】

⑺過(guò)C作D2?/反、干員連接題.根據(jù)角度的垂官關(guān)系易知：

AC=1，AB=SB=&，CS=CB=VJ.故BE=BDCGSMBD=4，

DE=BDsinMBD=［