新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)7.3.2-三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)-教學(xué)課件

第1課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象第2課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)P51

第3課時(shí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)P90

7.3.2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.正弦曲線(1)正弦曲線正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象叫正弦曲線.(2)正弦函數(shù)圖象的畫法①幾何法:(ⅰ)利用正弦線畫出y=sinx,x∈[0,2π]的圖象;(ⅱ)將圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度).②“五點(diǎn)法”:(ⅰ)畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0),_________,(π,0),________,(2π,0),用光滑的曲線連接;(ⅱ)將所得圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度).(3)本質(zhì):正弦曲線是正弦函數(shù)的圖形表示,是正弦函數(shù)的一種直觀表示.(4)應(yīng)用:根據(jù)正弦曲線,能幫助學(xué)生更直觀地認(rèn)識(shí)正弦函數(shù),進(jìn)而根據(jù)正弦曲線推導(dǎo)正弦函數(shù)的一些常用性質(zhì).【思考】在作y=2+sinx的圖象時(shí),應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)?提示:作正弦函數(shù)y=2+sinx,x∈[0,2π]的圖象時(shí),起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè):(0,2),,(π,2),,(2π,2).2.余弦曲線(1)余弦曲線余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象叫余弦曲線.(2)余弦函數(shù)圖象的畫法①要得到y(tǒng)=cosx的圖象,只需把y=sinx的圖象向___平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.②用“五點(diǎn)法”畫余弦曲線y=cosx在[0,2π]上的圖象時(shí),所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1),,________,,________,再用光滑的曲線連接.左(π,-1)(2π,1)【思考】y=cosx(x∈R)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象平移得到的原因是什么?提示:因?yàn)閏osx=sin,所以y=sinx(x∈R)的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度可得y=cosx(x∈R)的圖象.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)“五點(diǎn)法”作正、余弦函數(shù)的圖象時(shí)的“五點(diǎn)”是指圖象上的任意五點(diǎn). (

)(2)余弦函數(shù)y=cosx的圖象與y=sinx的圖象形狀和位置都不一樣. (

)(3)函數(shù)y=sinx與y=sin(-x)的圖象完全相同. (

)提示:(1)×.取的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0,,π,

,2π.(2)×.函數(shù)y=cosx的圖象與y=sinx的圖象形狀一樣,只是位置不同.(3)×.二者圖象不同,關(guān)于x軸對(duì)稱.2.以下對(duì)正弦函數(shù)y=sinx的圖象描述不正確的是(

)A.在x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上的圖象形狀相同,只是位置不同B.介于直線y=1與直線y=-1之間C.關(guān)于x軸對(duì)稱D.與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn)【解析】選C.畫出y=sinx的圖象(圖略),根據(jù)圖象可知A,B,D三項(xiàng)都正確.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)函數(shù)y=-xcosx的部分圖象是 (

)【解析】選D.因?yàn)閥=-xcosx是奇函數(shù),它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以排除A,C項(xiàng);當(dāng)x∈時(shí),y=-xcosx<0,所以排除B項(xiàng).類型一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識(shí)(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.用“五點(diǎn)法”作y=sin2x的圖象時(shí),首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(

)

A.0,,π,,2πB.0,,,,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,

2.下列圖象中,是y=-sinx在[0,2π]上的圖象的是 (

)3.下列函數(shù)圖象相同的是 (

)A.f(x)=sinx與g(x)=sin(π+x)B.f(x)=sin與g(x)=sinC.f(x)=sinx與g(x)=sin(-x)D.f(x)=sin(2π+x)與g(x)=sinx【解析】1.選B.分別令2x=0,,π,,2π,可得x=0,,,,π.2.選D.函數(shù)y=-sinx的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.3.選D.A中g(shù)(x)=-sinx;B中f(x)=-cosx,g(x)=cosx;C中g(shù)(x)=-sinx;D中f(x)=sinx.【解題策略】利用正弦、余弦函數(shù)圖象解題(1)熟練掌握正余弦函數(shù)的圖象,必要時(shí)用“五點(diǎn)法”作出圖象觀察.(2)熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式變形,通過(guò)函數(shù)解析式的關(guān)系確定圖象關(guān)系.(3)掌握常見(jiàn)的圖象變換,如-f(x),f(-x),f(|x|)等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=sin|x|的圖象是 (

)【解析】選B.y=sin|x|=故選B.類型二用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象(直觀想象)【典例】用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖.(1)y=1-sinx(0≤x≤2π);(2)y=2+cosx,x∈[0,2π].【思路導(dǎo)引】求作三角函數(shù)的圖象,需要先列表,再描點(diǎn),最后用平滑曲線連線.【解析】(1)①列表:x0

π2πsinx010-101-sinx10121②描點(diǎn)連線,如圖所示.(2)①列表:x0

π

2πcosx10-1012+cosx32123②描點(diǎn)連線,如圖所示.【解題策略】“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asinx+b(A≠0)在[0,2π]上的簡(jiǎn)圖的步驟(1)列表:x0

π

2πsinx010-10yy1y2y3y4y5(2)描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中描出下列五個(gè)點(diǎn):(0,y1),,(π,y3),,(2π,y5).(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái).【跟蹤訓(xùn)練】請(qǐng)補(bǔ)充完整下面用“五點(diǎn)法”作出y=-sinx(0≤x≤2π)圖象的列表.x0

①

2π-sinx②-10③0①________;②________;③________.

【解析】用“五點(diǎn)法”作y=-sinx(0≤x≤2π)的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為(0,0),,(π,0),,(2π,0),故①為π,②為0,③為1.答案:①π②0③1類型三正弦、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用(邏輯推理)

角度1零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

【典例】在同一坐標(biāo)系中,作函數(shù)y=sinx和y=lgx的圖象,根據(jù)圖象判斷出方程sinx=lgx的解的個(gè)數(shù).【解析】建立平面直角坐標(biāo)系xOy,先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象.描出點(diǎn)(1,0),(10,1),并用光滑曲線連接得到y(tǒng)=lgx的圖象,如圖所示.由圖象可知方程sinx=lgx的解有3個(gè).【變式探究】根據(jù)函數(shù)圖象求方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,是常見(jiàn)的考查模式;將典例中問(wèn)題改為:方程sinx=的根的個(gè)數(shù)是 (

)

A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選A.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=和y=sinx的圖象如圖所示.根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根.角度2利用正、余弦函數(shù)的圖象解不等式

【典例】在[0,2π]內(nèi),不等式2sinx-1≥0的解集為 (

)【思路導(dǎo)引】在[0,2π]上,作出y=sinx的圖象,再在這個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出直線y=,觀察圖象,找到滿足sinx≥的x的取值范圍.【解析】選D.因?yàn)?sinx-1≥0,所以sinx≥.在同一坐標(biāo)系下,作函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象以及直線y=.由函數(shù)的圖象知,sin=sin

=.所以根據(jù)圖象可知,sinx≥的解集為

【解題策略】用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟(1)作出正弦函數(shù)在[0,2π]或的圖象,余弦函數(shù)在[0,2π]或[-π,π]上的圖象.(2)寫出適合不等式在給定區(qū)間上的解集.【題組訓(xùn)練】1.方程x2-cosx=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.作函數(shù)y=cosx與y=x2的圖象,如圖所示,由圖象可知,原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.2.使不等式-2sinx≥0在[-π,π]上成立的x的取值范圍是 (

)A.B.C.D.【解析】選C.不等式可化為sinx≤.作圖,正弦曲線及直線y=如圖所示.又x∈[-π,π],結(jié)合圖象可知x的解集為3.在(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x的取值范圍是________.

【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出y=sinx,x∈(0,2π)與y=cosx,x∈(0,2π)的圖象如圖所示,由圖象可觀察出當(dāng)x∈時(shí),sinx>cosx.答案:

【補(bǔ)償訓(xùn)練】y=1+sinx,x∈[0,2π]的圖象與直線y=交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (

)

A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=1+sinx,x∈[0,2π]的圖象,作出直線y=的圖象如圖所示,由圖可知,這兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).1.用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=2-3sinx的圖象時(shí),首先應(yīng)描出五點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 (

)

A.0,

,π B.0,,π,,2πC.0,π,2π,3π,4π D.0,

【解析】選B.所描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)與函數(shù)y=sinx的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,即0,,π,,2π,故選B.2.函數(shù)y=cosx與函數(shù)y=-cosx的圖象 (

)A.關(guān)于直線x=1對(duì)稱 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于y軸對(duì)稱【解析】選C.由解析式可知y=cosx的圖象過(guò)點(diǎn)(a,b),則y=-cosx的圖象必過(guò)點(diǎn)(a,-b),由此推斷兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]與y=sinx,x∈[2π,4π]的圖象 (

)A.重合 B.形狀相同,位置不同C.關(guān)于y軸對(duì)稱 D.形狀不同,位置不同【解析】選B.根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]與y=sinx,x∈[2π,4π]的圖象只是位置不同,形狀相同.4.如圖是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象 (

)A.y=1+sinx,x∈[0,2π]B.y=1+2sinx,x∈[0,2π]C.y=1-sinx,x∈[0,2π]D.y=1-2sinx,x∈[0,2π]【解析】選C.把這一點(diǎn)代入選項(xiàng)檢驗(yàn),即可排除A、B、D.5.在[0,2π]內(nèi),不等式sinx<-的解集是 (

)A.(0,π) B.C. D.【解析】選C.畫出y=sinx,x∈[0,2π]的圖象如圖:因?yàn)閟in=,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]內(nèi),滿足sinx=-的是x=或x=.可知不等式sinx<-的解集是第2課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)=sinxy=cosx圖象

值域______________[-1,1][-1,1]解析式y(tǒng)=sinxy=cosx單調(diào)性在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減在_______________________上單調(diào)遞增,在______________________上單調(diào)遞減最值x=________________時(shí),ymax=1;x=________________時(shí),ymin=-1x=____________時(shí),ymax=__;x=_______________時(shí),ymin=___[-π+2kπ,2kπ],(k∈Z)[2kπ,π+2kπ],(k∈Z)2kπ,(k∈Z)1π+2kπ,(k∈Z)-1(2)本質(zhì):函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減是描述圖象上升、下降的性質(zhì).(3)應(yīng)用:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及取得最值時(shí)自變量x的值.【思考】從圖象的變化趨勢(shì)來(lái)看,正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值點(diǎn)分別處在什么位置?提示:正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值點(diǎn)均處于圖象拐彎的地方.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)y=sinx在(0,π)上單調(diào)遞增. (

)(2)存在x∈R滿足sinx=. (

)(3)在區(qū)間[0,2π]上,函數(shù)y=cosx僅當(dāng)x=0時(shí)取得最大值1. (

)提示:(1)×.y=sinx在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)×.正弦函數(shù)y=sinx的值域?yàn)閇-1,1],所以sinx=無(wú)解.(3)×.當(dāng)x=2π時(shí),cosx=1也成立.2.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)函數(shù)y=2-sinx取得最大值時(shí),x的取值集合為_(kāi)_______.

【解析】當(dāng)sinx=-1時(shí),ymax=2-(-1)=3,此時(shí)x=2kπ-,k∈Z.答案:

3.若cosx=m-1有意義,則m的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)?1≤cosx≤1,要使cosx=m-1有意義,則-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.答案:[0,2]類型一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.下列函數(shù),在上單調(diào)遞增的是 (

)

A.y=sinx B.y=cosxC.y=sin2x D.y=cos2x2.函數(shù)y=sin,x∈的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______.

3.求函數(shù)y=1+sin,x∈[-4π,4π]的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】1.選D.對(duì)于A,B,C,在上顯然都不是單調(diào)遞增的,對(duì)于函數(shù)y=cos2x,令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ(k∈Z),即+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z),故y=cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),則當(dāng)k=0時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為2.由+2kπ≤3x+≤+2kπ(k∈Z),得又x∈,所以函數(shù)y=sin,x∈的單調(diào)遞減區(qū)間為.答案:

3.y=1+sin=-sin+1.由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z).解得4kπ-≤x≤4kπ+π(k∈Z).又因?yàn)閤∈[-4π,4π],所以函數(shù)y=1+sin的單調(diào)遞減區(qū)間為【解題策略】單調(diào)區(qū)間的求法求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,要先把ω化為正數(shù),(1)當(dāng)A>0時(shí),把ωx+φ整體代入y=sinx或y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi),求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當(dāng)A<0時(shí),把ωx+φ整體代入y=sinx或y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi),求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;代入y=sinx或y=cosx的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi),可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.提醒:求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),把ωx+φ看作一個(gè)整體,借助y=sinx的單調(diào)區(qū)間來(lái)解決.當(dāng)A<0或ω<0時(shí),要注意原函數(shù)的單調(diào)性與y=sinx的單調(diào)性的關(guān)系.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.函數(shù)y=cosx在區(qū)間[-π,a]上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是________.

2.已知函數(shù)y=cos,則它的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______.

【解析】1.因?yàn)閥=cosx在[-π,0]上是單調(diào)遞增的,在[0,π]上單調(diào)遞減,所以只有-π<a≤0時(shí)滿足條件,故a∈(-π,0].答案:(-π,0]2.y=cos=cos,由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+k∈Z,所以單調(diào)遞減區(qū)間是答案:(k∈Z)類型二利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小(直觀想象)【典例】利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小.(1)cos,cos.(2)cos1,sin1.(3)sin164°,cos110°.【思路導(dǎo)引】先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較.【解析】(1)cos=cos,cos=cos,因?yàn)?<<<π,而y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減,所以cos>cos,即cos>cos.(2)因?yàn)閏os1=sin,而0<<1<且y=sinx在上單調(diào)遞增,所以sin<sin1,即cos1<sin1.(3)sin164°=sin(180°-16°)=sin16°,cos110°=cos(90°+20°)=-sin20°.因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以-sin20°<sin16°,即cos110°<sin164°.【解題策略】三角函數(shù)值大小比較的策略(1)利用誘導(dǎo)公式,對(duì)于正弦函數(shù)來(lái)說(shuō),一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到或內(nèi);對(duì)于余弦函數(shù)來(lái)說(shuō),一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到[-π,0]或[0,π]內(nèi).(2)不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù).(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間時(shí),先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),借助正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小.

【跟蹤訓(xùn)練】1.已知α,β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則以下結(jié)論正確的是(

)A.sinα<sinβ B.cosα<sinβC.cosα<cosβ D.cosα>cosβ【解析】選B.α,β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,α+β>,α>-β,α∈,-β∈,所以cosα<cos=sinβ.2.將cos150°,sin470°,cos760°按從小到大排列為_(kāi)_______.

【解析】cos150°<0,sin470°=sin110°=cos20°>0,cos760°=cos40°>0且cos20°>cos40°,所以cos150°<cos760°<sin470°.答案:cos150°<cos760°<sin470°類型三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域、最值問(wèn)題

角度1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域問(wèn)題

【典例】函數(shù)y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域?yàn)開(kāi)_______.

【思路導(dǎo)引】先用平方關(guān)系轉(zhuǎn)化,即cos2x=1-sin2x,再將sinx看作整體,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題.【解析】y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.因?yàn)?1≤sinx≤1,所以-4≤y≤0,所以函數(shù)y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域?yàn)閇-4,0].答案:[-4,0]【變式探究】將典例中題目改為:求函數(shù)f(x)=sin2x+cosx-的最大值.【解析】因?yàn)閒(x)=sin2x+cosx-,f(x)=1-cos2x+cosx-,令cosx=t且t∈[0,1],則y=-t2+t+=-+1,則當(dāng)t=時(shí),f(x)取最大值1.角度2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在固定區(qū)間上求值域問(wèn)題

【典例】已知函數(shù)f(x)=asin+b(a>0).當(dāng)x∈時(shí),f(x)的最大值為,最小值是-2,求a和b的值.【思路導(dǎo)引】先由x∈,求2x-的取值范圍,再求sin的取值范圍,最后表示出f(x)min,f(x)max,列方程組求解.【解析】因?yàn)?/p>

因?yàn)閍>0,所以f(x)max=a+b=,f(x)min=-a+b=-2.【解題策略】求y=sin(ωx+φ)型三角函數(shù)的值域的方法令t=ωx+φ,根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y=sint的最值(值域).【題組訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=-2sinx+1,x∈的值域是 (

)A.[1,3] B.[-1,3]C.[-3,1] D.[-1,1]【解析】選B.因?yàn)閤∈,所以sinx∈[-1,1],所以-2sinx+1∈[-1,3].2.函數(shù)y=3-4sinx-4cos2x的值域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】y=3-4sinx-4cos2x=3-4sinx-4(1-sin2x)=4sin2x-4sinx-1,令t=sinx,則-1≤t≤1.所以y=4t2-4t-1=4-2(-1≤t≤1).所以當(dāng)t=時(shí),ymin=-2,當(dāng)t=-1時(shí),ymax=7.即函數(shù)y=3-4sinx-4cos2x的值域?yàn)閇-2,7].答案:[-2,7]3.若函數(shù)y=a-bcosx(b>0)的最大值為,最小值為-,則函數(shù)的解析式為y=________.

【解析】因?yàn)閥=a-bcosx(b>0),所以ymax=a+b=,ymin=a-b=-.所以y=-cosx.答案:-cosx1.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)函數(shù)y=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間是 (

)A.B.C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)D.【解析】選B.令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,則y=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間是

.2.y=2sin的值域是 (

)

A.[-2,2] B.[0,2]C.[-2,0] D.[-1,1]【解析】選A.因?yàn)閟in∈[-1,1],所以y∈[-2,2].3.下列函數(shù)中,既為偶函數(shù)又在(0,π)上單調(diào)遞增的是 (

)A.y=|cosx| B.y=cos|-x|C.y=sin D.y=-sin【解析】選C.y=|cosx|在上單調(diào)遞減,排除A;y=cos|-x|=cos|x|在(0,π)上單調(diào)遞減.排除B;y=sin=-sin=-cosx是偶函數(shù),且在(0,π)上單調(diào)遞增,符合題意;y=-sin在(0,π)上是單調(diào)遞減的,排除D.4.若y=asinx+b的最大值為3,最小值為1,則ab=________.

【解析】當(dāng)a>0時(shí),得當(dāng)a<0時(shí),得所以ab=±2.答案:±25.sin1,sin2,sin3按從小到大排列的順序?yàn)開(kāi)_______.

【解析】因?yàn)?<<2<3<π,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.y=sinx在上單調(diào)遞增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)<sin1<sin(π-2),即sin3<sin1<sin2.答案:sin3<sin1<sin2第3課時(shí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)=tanx圖象

定義域

解析式y(tǒng)=tanx值域R周期π奇偶性___函數(shù)對(duì)稱中心________,k∈Z單調(diào)性在每一個(gè)區(qū)間_____________________上都單調(diào)遞增奇(2)本質(zhì):根據(jù)正切函數(shù)的解析式、圖象,總結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì).(3)應(yīng)用:畫正切函數(shù)的圖象,解決關(guān)于正切函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等問(wèn)題.【思考】正切函數(shù)在整個(gè)定義域上都是增函數(shù)嗎?提示:不是.正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間

(k∈Z)上是單調(diào)遞增的.但在整個(gè)定義域上不是增函數(shù).【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R. (

)(2)正切函數(shù)是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是原點(diǎn). (

)(3)存在某個(gè)區(qū)間,使正切函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞減的. (

)提示:(1)×.正切函數(shù)的值域?yàn)镽,而定義域是(2)×.正切函數(shù)的對(duì)稱中心是(k∈Z).(3)×.正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間(k∈Z)上都是單調(diào)遞增的.2.(2020·揚(yáng)州高一檢測(cè))若f(x)=tanωx(ω>0)的周期為1,則f的值為(

)

A.- B.- C. D.【解析】選D.因?yàn)閒(x)=tanωx(ω>0)的周期為=1,所以ω=π,即f(x)=tanπx,則f=tan=.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)函數(shù)y=tan的定義域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】因?yàn)?x-≠kπ+,k∈Z,所以x≠k∈Z,所以函數(shù)y=tan的定義域?yàn)榇鸢?

類型一正切函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.函數(shù)y=tan的最小正周期是 (

)

A.4 B.4π C.2π D.22.函數(shù)f(x)=cos+tanx為 (

)A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)3.函數(shù)y=的定義域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】1.選D.T==2.2.選A.f(x)=cos+tanx=sinx+tanx,定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)閒(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),所以它是奇函數(shù).3.根據(jù)題意,得所以函數(shù)的定義域?yàn)榇鸢?

【解題策略】1.判斷函數(shù)定義域的方法求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí),除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)y=tanx有意義即x≠+kπ,k∈Z.2.怎樣求正切類函數(shù)的奇偶性判斷正切類函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域,判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若不對(duì)稱,則該函數(shù)無(wú)奇偶性,若對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求函數(shù)y=+lg(1-tanx)的定義域.【解析】由題意得即-1≤tanx<1.在內(nèi),滿足上述不等式的x的取值范圍是,又y=tanx的周期為π,所以函數(shù)的定義域是(k∈Z).類型二正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例】函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)區(qū)間為_(kāi)_______.

【思路導(dǎo)引】把看作一個(gè)整體,根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】由題意知,k∈Z,即k∈Z,所以故單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).答案:(k∈Z)【變式探究】如果將本例中函數(shù)變?yōu)閥=tan,求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】y=由

得2kπ-<x<2kπ+π,k∈Z,所以函數(shù)y=tan的單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z.角度2利用正切函數(shù)比較大小

【典例】1.比較大小:①tan32°________tan215°;

②tan________tan.

2.tan1,tan2,tan3,tan4從小到大的排列順序?yàn)開(kāi)_______.

【思路導(dǎo)引】運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi);再運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系.【解析】1.①tan215°=tan(180°+35°)=tan35°,因?yàn)閥=tanx在(0°,90°)上單調(diào)遞增,32°<35°,所以tan32°<tan35°=tan215°.②

因?yàn)閥=tanx在上單調(diào)遞增,

答案:①<

②<2.因?yàn)閥=tanx在區(qū)間上單調(diào)遞增,且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,所以tan2<tan3<tan4<tan1.答案:tan2<tan3<tan4<tan1角度3求正切函數(shù)的值域、最值

【典例】1.函數(shù)y=的值域是 (

)A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,+∞)2.函數(shù)y=tan2x+4tanx-1的值域是________.

【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),求出y=的值域即可.2.換元,把函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域;注意,換元時(shí)一定要求出新元的取值范圍.【解析】1.選B.當(dāng)-<x<0時(shí),-1<tanx<0,所以<-1;當(dāng)0<x<時(shí),0<tanx<1,所以>1.即當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).2.令t=tanx,則t∈R,故y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5,所求的值域?yàn)閇-5,+∞).答案:[-5,+∞)【解題策略】1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+(k∈Z),求得x的范圍即可.(2)若ω<0,可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系數(shù)化為正值,再利用“整體代換”的思想,求得x的范圍即可.2.比較正切值的大小第一步:運(yùn)用學(xué)過(guò)的三角函數(shù)的周期和誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間上;第二步:運(yùn)用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小.3.求與正切函數(shù)相關(guān)的值域的方法(1)對(duì)于y=tanx在不同區(qū)間上的值域,可以結(jié)合圖象,利用單調(diào)性求值域.(2)對(duì)于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整體,結(jié)合圖象,利用單調(diào)性求值域.(3)對(duì)于與y=tanx相關(guān)的二次函數(shù),可以把tanx看成整體,利用配方法求值域.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知f(x)=tan2x-2tanx求f(x)的值域.【解析】令u=tanx,因?yàn)閨x|≤,所以u(píng)∈所以函數(shù)化為y=u2-2u.對(duì)稱軸為u=1∈所以當(dāng)u=1時(shí),ymin=12-2×1=-1.當(dāng)u=-時(shí),ymax=3+2.所以f(x)的值域?yàn)閇-1,3+2].類型三正切函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱中心;(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;(3)作出函數(shù)y=f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.【思路