2025屆高考數(shù)學二輪總復習專題1函數(shù)與導數(shù)專題突破練6利用導數(shù)研究函數(shù)的零點課件

專題突破練6利用導數(shù)研究函數(shù)的零點12341.(17分)(2024江蘇南京模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.(1)若a=e2-2,求函數(shù)f(x)在[0,2]上的最值;(2)當a<0時,證明:F(x)=f(x)-ax2在(0,2)內存在唯一零點.1234(1)解

當a=e2-2時,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2.令f'(x)>0,得x>ln

2;令f'(x)<0,得x<ln

2,所以f(x)在[0,ln

2]上單調遞減,在[ln

2,2]上單調遞增,又f(0)=1,f(ln

2)=2-2ln

2,f(2)=e2-4>1,所以f(x)在[0,2]上的最小值為2-2ln

2,最大值為e2-4.令g(x)=ex-ax+a-e2,則g'(x)=ex-a>0.所以g(x)在(0,2)內單調遞增,又因為g(0)=1+a-e2<0,g(2)=-a>0,所以存在x0∈(0,2),使得g(x0)=0,即當x∈(0,x0)時,g(x)<0,當x∈(x0,2)時,g(x)>0,所以F(x)在(0,x0)內單調遞減,在(x0,2)內單調遞增,又F(0)=1>0,F(x0)<F(2)=-e2<0,所以F(x)在(0,x0)內存在一個零點,在(x0,2)內沒有零點,故F(x)=f(x)-ax2在(0,2)內存在唯一零點.12342.(17分)(2024四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)=xe-x+asinx,e是自然對數(shù)的底數(shù),若x=0恰為f(x)的極值點.(1)求實數(shù)a的值;1234123412343.(17分)(2024北京陳經(jīng)綸中學模擬)已知函數(shù)f(x)=xex-(x+1)2(m≥0).(1)當m=0時,求函數(shù)f(x)的極小值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上有且只有一個零點,求m的取值范圍.1234解

(1)當m=0時,f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1.當x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(-1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以函數(shù)f(x)的極小值為f(-1)=-.(2)若m=0,f(x)=xex,令f(x)=0,解得x=0,當x<0時,f(x)<0;當x>0時,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上有且只有一個零點,符合題意.若m>0,由f'(x)=(x+1)(ex-m),令f'(x)=0,解得x=-1或x=ln

m.123412344.(17分)(2024河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+a(x>0),g(x)=xlnx+ax2-2x.(1)若f(x),g(x)的導數(shù)分別為f'(x),g'(x),且{x|f'(x)<0}?{x|g'(x)<0},求a的取值范圍;(2)用min{a,b}表示a,b中的最小值,設h(x)=min{f(x),g(x)},若|a|>1,判斷h(x)的零點個數(shù).1234解

(1)因為f(x)=-x3+3x2+a(x>0),所以f'(x)=-3x2+6x,由f'(x)<0,得x>2,因為g(x)=xln

x+ax2-2x,所以g'(x)=ln

x+2ax-1,12341234存在唯一x1∈(0,2)使得m(x1)=0,則g(x1)=0,h(x1)=0,當x∈[2,+∞)時,m(x)=ln

x+ax-2>ln

2+2a-2>0,g(x)>0,當x∈[2,+∞)時,f'(x)<0,f(x)在[2,+∞)上單調遞減,且f(2)=a+4>0,f(4a)=-64a3+48a2+a<-64a3+48a3+a3=-