2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專(zhuān)題3數(shù)列第1講等差數(shù)列等比數(shù)列課件

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列領(lǐng)航高考風(fēng)向標(biāo)通覽主干知識(shí)1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

3.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

4.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)公式法.(2)已知an+1-an=f(n),求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2,n∈N*).5.數(shù)列求和的常用方法

裂項(xiàng)相消求和法把數(shù)列的各項(xiàng)分解,使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消,前n項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減求和法當(dāng)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法,一般是和式兩邊同乘等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解拆項(xiàng)分組求和法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由幾個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)相加減得到的,那么可以把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新分組,使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求和并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的,尤其是當(dāng)各項(xiàng)的絕對(duì)值又構(gòu)成等差數(shù)列時(shí),可以先將相鄰的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)合并,再利用其他相關(guān)的方法進(jìn)行求和鏈高考1.(2024新高考Ⅱ,12)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=

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95微點(diǎn)撥

在應(yīng)用等比數(shù)列的此性質(zhì)時(shí),要注意Sm≠0,m為偶數(shù)且q=-1的情況不適用此公式.鏈高考2.(2024全國(guó)甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S9=1,則a3+a7=(

)B鏈高考3.(2023新高考Ⅰ,7)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.當(dāng)n=1時(shí)也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的充要條件.故選C.鏈高考4.(2021新高考Ⅰ,17節(jié)選)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.解

b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.鏈高考5.(2024全國(guó)甲,理18)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解

(1)因?yàn)?Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,兩式相減,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an,又4S1=3a1+4,則a1=4,故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4,公比為-3的等比數(shù)列,則an=4×(-3)n-1.(2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1).3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n),考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(2023全國(guó)甲,理5)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,S5=5S3-4,則S4=(

)C9考點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究預(yù)測(cè))考向1等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)(2023全國(guó)甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(

)A.25 B.22 C.20 D.15C(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=15,S9=99,則S6=

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48解析

因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因?yàn)镾3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.考向2等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)(2023新高考Ⅱ,8)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=(

)A.120 B.85 C.-85 D.-120C(2)已知等比數(shù)列{an}滿足log2a2+log2a13=1,且a5a6a8a9=16,則數(shù)列{an}的公比為(

)B解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22,得a2a13=2且a2,a13>0,所以a13=a2q11>0,則q>0.又a5a6a8a9=16,a6a9=a2a13=2,所以a5a8=8,[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,則數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為(

)A解析

∵{an}是等比數(shù)列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比數(shù)列,∵a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48,∴前8項(xiàng)和為a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故選A.(2)(2024山東淄博一模)已知等比數(shù)列{an}共有2n+1項(xiàng),a1=1,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42,則公比q=

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2解析

依題意,a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.考點(diǎn)三兩數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題例4(2020新高考Ⅰ,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為

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3n2-2n解析

數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n×1

×6=3n2-2n.規(guī)律方法求兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)的兩種方法不定方程法列出兩個(gè)項(xiàng)相等的不定方程,求出符合條件的項(xiàng),并解出相應(yīng)的通項(xiàng)公式周期法即尋找下一項(xiàng):通過(guò)觀察找到首項(xiàng)后,從首項(xiàng)開(kāi)始向后,逐項(xiàng)判斷,并找到規(guī)律(周期),分析相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系,從而得到通項(xiàng)公式[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]已知數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2n,bn=2n,現(xiàn)從數(shù)列{an}中剔除{an}與{bn}的公共項(xiàng)后,將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列,得到新的數(shù)列{cn},則數(shù)列{cn}的前150項(xiàng)之和為(

)A.23804 B.23946C.24100 D.24612