中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題復(fù)習(xí)攻略（講+練）專題09 全等三角形和相似三角形（原卷版）

專題09全等三角形和相似三角形復(fù)習(xí)考點攻略考點一全等三角形的性質(zhì)和判定1．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．2．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．3.判定兩個三角形全等的思路：（1）已知兩邊SKIPIF1<0（2）已知一邊、一角SKIPIF1<0（3）已知兩角SKIPIF1<0【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，F(xiàn)分別在AB，AC上，CF=CB．連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．（1）求證：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD．求∠BDC的度數(shù)．【例2】如圖，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．考點二比例線段及其性質(zhì)1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．2．比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．判定四條線段是否成比例：只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．4.黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=SKIPIF1<0ABSKIPIF1<00.618AB5.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例?！纠?】在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列條件能夠判斷DE∥BC的是（）A． B． C． D．【例4】生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下SKIPIF1<0與全身SKIPIF1<0的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中SKIPIF1<0為2米，則SKIPIF1<0約為（）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米考點三相似三角形的性質(zhì)和判定1．相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定（1）有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法】判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．3.相似三角形模型模型一：“A、8”模型已知：SKIPIF1<0，結(jié)論SKIPIF1<0模型二：共邊共角型已知：SKIPIF1<0，結(jié)論：SKIPIF1<0模型三：一線三角型模型四：旋轉(zhuǎn)型模型五：垂直型如圖，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高結(jié)論：SKIPIF1<0∽△BCD4.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形；相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．5．相似多邊形性質(zhì);（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．【例5】如圖，已知∠CAE=∠BAD，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0【例6】如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，D為BC邊上的一點，且∠CAD=∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為A．2a B．SKIPIF1<0aC．3a D．SKIPIF1<0a考點四位似圖形的性質(zhì)1.位似圖形:如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．位似圖形的性質(zhì)（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．【例7】在如圖所示的網(wǎng)格中，以點SKIPIF1<0為位似中心，四邊形SKIPIF1<0的位似圖形是（）A．四邊形SKIPIF1<0B．四邊形SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0D．四邊形SKIPIF1<0【例8】如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為SKIPIF1<0的位似圖形△OCD，則點C坐標(biāo)（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣SKIPIF1<0，﹣1） C．（﹣1，﹣SKIPIF1<0） D．（﹣2，﹣1）第一部分選擇題一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）1.在下列圖形中，不是位似圖形的是（）A． B． C． D．2.如圖，OA=OB，∠A=∠B，有下列3個結(jié)論：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③點E在∠O的平分線上，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3如圖，已知∠ADB=∠CBD，下列所給條件不能證明△ABD≌△CDB的是（）A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD已知線段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正確的是（）A．a(chǎn)+b=7 B．5a=2b C．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0=1如圖，在△ABC中，DE∥AB，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0如圖，直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0被SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所截，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（）A．2 B．3 C．4 D．SKIPIF1<0古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段SKIPIF1<0分為兩線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得其中較長的一段SKIPIF1<0是全長SKIPIF1<0與較短的段SKIPIF1<0的比例中項，即滿足SKIPIF1<0，后人把SKIPIF1<0這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段SKIPIF1<0的“黃金分割”點．如圖，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若D，E是邊SKIPIF1<0的兩個“黃金分割”點，則SKIPIF1<0的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0如圖，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于點G，下列結(jié)論錯誤的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09.如圖，在和中，，連接交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．110.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0填空題填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．12.如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G．設(shè)三角形EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1：S2=__________．已知，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則與__________是位似圖形，位似比為____________.14.如圖，在中，點E是的中點，，的延長線交于點F．若的面積為1，則四邊形的面積為________．15.如圖，等腰中，，邊的垂直平分線交于點，交于點．若的周長為，則的長為________．16.如圖，矩形中，，，點在對角線上，且，連接并延長，交的延長線于點，連接，則的長為_______．第三部分解答題三、解答題（本題有7小題，共56分）17.如圖，在四邊形中，，點E，F(xiàn)分別在，上，，，求證：．18.如圖，，，．，與交于點．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．如圖，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，求的值