2024-2025學(xué)年安徽省高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題所給四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱 B．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱C．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱 D．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱2．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B．0 C． D．3．已知入射光線所在的直線的傾斜角為，與y軸交于點(diǎn)，則經(jīng)y軸反射后，反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．4．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．6．已知橢圓C：（且），直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（

）A．2 B．4 C． D．7．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，阿氏圓（阿波羅尼斯圓）是其成果之一.在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上，且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是圓，我們把這個(gè)軌跡稱之為阿波羅尼斯圓.在中，，且，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)P在橢圓C：上（點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)），，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，且，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知直線：，：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則D．若直線與軸負(fù)半軸和軸正半軸分別交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值是2010．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是A，B，M是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），則（

）A．離心率B．的周長(zhǎng)與點(diǎn)M的位置無(wú)關(guān)C．D．直線與直線的斜率之積為定值11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為上底面內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），，分別是棱和的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．當(dāng)直線和直線所成的角是30°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是B．若平面，則的最小值為C．若，則直線和底面所成的最大角是45°D．平面被正方體所截的截面形狀是六邊形第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12．已知圓C過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上，則該圓的半徑為.13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為.14．已知橢圓：，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知直線過(guò)點(diǎn)，求滿足下列條件的直線的方程.(1)與直線：垂直；(2)兩坐標(biāo)軸上截距相反.16．如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，分別為，的中點(diǎn)，，.(1)求證：異面直線和垂直；(2)求點(diǎn)到平面的距離17．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).(1)若弦的長(zhǎng)度為，求直線的方程；(2)在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)Q，無(wú)論直線如何運(yùn)動(dòng)，x軸都平分?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．如圖1，在矩形中，，，連接，沿折起到的位置，如圖2，.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.19．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，短軸長(zhǎng)為4.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)E的右焦點(diǎn)，求直線的方程；(3)兩條不同的直線，的交點(diǎn)為E的左焦點(diǎn)，直線，分別交E于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，點(diǎn)G，H分別是線段和的中點(diǎn)，，的斜率分別為，，且，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.1．B【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)稱關(guān)系判斷即可.【詳解】已知點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相等，所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱.故選：B.2．D【分析】根據(jù)共面向量定理結(jié)合題意設(shè)，然后將向量的坐標(biāo)代入列方程可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，，即，所以，解得.故選：D.3．A【分析】根據(jù)題設(shè)得反射光線所在直線的斜率為，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.【詳解】由題意，所求反射光線所在直線的斜率為，且與y軸交于點(diǎn)，所求直線的方程為，即.故選：A4．C【分析】根據(jù)圓的一般方程以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.5．A【分析】根據(jù)向量在向量上投影向量的計(jì)算公式求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：A6．B【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問(wèn)題求解即可.【詳解】設(shè)，，則，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，，兩式相減，得：，變形為，又直線的斜率為，所以，即，因此橢圓的焦距為，故選：B.7．D【分析】設(shè)，根據(jù)得到軌跡方程，并得到，表達(dá)出，當(dāng)時(shí)，面積最大，求出，，由余弦定理得到答案.【詳解】由題意設(shè)，，，由得：，化簡(jiǎn)得，故，∵，∴當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)不妨設(shè)，則，.∴.故選：D.8．C【分析】設(shè)Px0,y0，，結(jié)合橢圓上點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離比為離心率得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有，列方程求【詳解】根據(jù)對(duì)稱，不妨設(shè)Px0,由題意得，，，，則離心率，左準(zhǔn)線方程為，所以，因?yàn)?，所以由角平分線定理得，即，解得，所以.故選：C9．BD【分析】對(duì)于A、B，根據(jù)直線的位置關(guān)系，建立方程，通過(guò)驗(yàn)根，可得答案；對(duì)于C、D，由直線方程，求得斜率與截距、點(diǎn)的坐標(biāo)，建立不等式組，可得答案.【詳解】若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，這兩條直線重合，所以，故A錯(cuò)誤；若，則，解得，故B正確；若直線：不經(jīng)過(guò)第四象限，則，解得，故C錯(cuò)誤；，，則，解得，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：BD.10．BCD【分析】根據(jù)橢圓方程得到、、，即可求出離心率，從而判斷A，根據(jù)橢圓的定義判斷B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷C，設(shè)，表示出斜率，即可判斷D.【詳解】因?yàn)闄E圓C：，則，，，則離心率，故A錯(cuò)誤；∵M(jìn)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），∴，故B正確；因?yàn)?，即，故C正確；不妨設(shè)，，，則，所以，故D正確.故選：BCD.11．AB【分析】根據(jù)線面垂直得到線線垂直，即平面，則，進(jìn)而得到，得到點(diǎn)的軌跡可判斷A；由面面平行得到線面平行，即平面平面，則平面，得到點(diǎn)的軌跡可判斷B；根據(jù)向量關(guān)系式確定點(diǎn)的位置，設(shè)點(diǎn)在底面的投影為，求出直線和底面所成角的正弦值可判斷C；根據(jù)平面的性質(zhì)作出平面被正方體所截的截面可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正方體得平面，平面，，在中，，，則，所以點(diǎn)的軌跡是上底面內(nèi)以為圓心，以為半徑的弧，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是，故A正確；對(duì)于B，如圖1，

分別取棱和的中點(diǎn)，，連接，，，，易證平面平面，若平面，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，故的最小值即到的距離，即，故B正確；對(duì)于C，由得點(diǎn)在線段上，設(shè)點(diǎn)在底面的投影為，易得點(diǎn)在線段上，則為直線和底面所成的角，則，當(dāng)最大時(shí)最小，因?yàn)?，所以，則直線和底面所成的最小角是45°，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖2，

延長(zhǎng)，分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，連接，，分別交，于點(diǎn)，，則平面被正方體所截的截面是五邊形，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．【分析】求得線段垂直平分線方程并與直線可得圓心為，即可得半徑為.【詳解】由題意得的中點(diǎn)為，，則線段的垂直平分線為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，所以該圓的半徑為.故13．【分析】由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與半圓上點(diǎn)與點(diǎn)連接的直線的斜率.，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】因?yàn)?，所以，其表示為圓的上半部分.設(shè)半圓上一動(dòng)點(diǎn)Px,y表示的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連接的直線的斜率，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，直線的斜率取最大值，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得或（舍去），則直線的斜率的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為2,1時(shí)，則直線的斜率取最小值，為，綜上，的取值范圍為.故答案為.

14．【分析】根據(jù)已知條件列方程，求得的取值范圍，由此列不等式，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，由于，所以當(dāng)或時(shí)，有最小值為，所以，則，即，即，解得.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：橢圓焦點(diǎn)和離心率的應(yīng)用：通過(guò)利用橢圓的焦半徑和離心率關(guān)系，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)條件，推導(dǎo)出離心率的范圍，這是解題的關(guān)鍵步驟.不等式解的準(zhǔn)確性：通過(guò)解不等式，得出離心率的范圍，確保計(jì)算過(guò)程中的符號(hào)處理正確，是確保結(jié)論正確的關(guān)鍵.15．(1)(2)或.【分析】（1）由兩條直線垂直求出所求直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程即可；（2）分截距為零和截距不為零兩大類進(jìn)行討論求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，則直線的方程為，即.（2）當(dāng)兩坐標(biāo)軸上截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入，得，解得，∴，即.當(dāng)兩坐標(biāo)軸上截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入，得，解得，∴，即.綜上，直線的方程為或.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建系，由方向向量的垂直即可求解；（2）建系，通過(guò)點(diǎn)到面距離的向量法即可求解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，，，，，.易得，，所以，所以異面直線和垂直.（2）易得，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.17．(1)或.(2)存在，【分析】（1）分斜率存在與否進(jìn)行分析，結(jié)合弦長(zhǎng)公式.列方程求解，可得答案；（2）分斜率存在與否進(jìn)行分析，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，不妨得，，則，與題意不符，舍去.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx?1，即.由弦長(zhǎng)公式得圓心到直線的距離為，所以，解得，故直線的方程為或.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，直線的方程為，不妨得，，此時(shí)x軸平分.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx?1，，Ax1,y1聯(lián)立，得，，所以，.若x軸平分，則，即，即，則，即，解得.綜上，當(dāng)點(diǎn)Q為時(shí)，能使得x軸平分恒成立.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P，B分別向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)O，E，利用空間向量可得，進(jìn)而可得線面、面面垂直；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P，B分別向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)O，E.因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)?，，所以，即，所以，所?因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）如圖，以（1）中的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.平面與平面夾角的余弦值.19．(1)(2)或.(3).【分析】（1）根據(jù)離心率與短軸長(zhǎng)，結(jié)合a,b,c的關(guān)系式，建立方程組，可得答案；（2）分直線斜率是否存在進(jìn)行分析，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理與圓的性質(zhì)，可得答案；（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）由題意得，，所以.因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為4，所以，解得，所以，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）