2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。把正確的答案涂在答題卡中相應(yīng)的位置。）1．（4分）經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，0）且傾斜角為60°的直線的方程是（）A．x﹣y﹣1＝0 B． C． D．2．（4分）圓x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圓心坐標(biāo)為（）A．（﹣2，4） B．（2，﹣4） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）3．（4分）若M（1，0，1），N（2，m，3），P（2，2，n+1）三點(diǎn)共線，則m+n＝（）A．4 B．﹣2 C．1 D．04．（4分）已知直線l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（4分）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k的值為（）A． B． C． D．26．（4分）圓x2﹣8x+y2+12＝0與圓x2+y2﹣6y﹣7＝0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切7．（4分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知，＝，＝，＝，則＝（）A．﹣﹣+ B．﹣+ C．+ D．+8．（4分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線l是底面ABCD所在平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，記直線A1C與直線l所成的角為α，則sinα的最小值是（）A． B． C． D．9．（4分）已知圓C：（x﹣2）2+（y+a）2＝2（a∈R）關(guān)于直線l：y＝x﹣1對(duì)稱，過點(diǎn)P（2a，a）作圓C的兩條切線PA和PB，切點(diǎn)分別為A、B，則|AB|＝（）A． B． C． D．10．（4分）曲線C：x3+y3＝1．給出下列結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1；③曲線C只經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11．（5分）經(jīng)過點(diǎn)（3，a），（﹣2，0）的直線與直線x﹣2y+3＝0垂直，則a＝．12．（5分）已知定點(diǎn)B（﹣2，1）和點(diǎn)C（3，2），Rt△ABC以BC為斜邊，則直角頂點(diǎn)A的軌跡方程為．13．（5分）由直線y＝x上一點(diǎn)向圓（x﹣4）2+y2＝1引切線，則切線長的最小值為．14．（5分）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長為4π，則該球的半徑是．15．（5分）給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算：．規(guī)定：（?。橥瑫r(shí)與，垂直的向量；（ⅱ），，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；（ⅲ）．如圖2，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），線段AC的中點(diǎn)M；（1）求過M點(diǎn)和直線BC平行的直線方程；（2）求BC邊的高線所在直線方程．17．（14分）已知圓C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）與y軸相切．（Ⅰ）直接寫出圓心C的坐標(biāo)及r的值；（Ⅱ）直線l：3x﹣4y﹣1＝0與圓C交于兩點(diǎn)A，B，求|AB|．18．（14分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)E、F、H分別為AB、BC、D1C1的中點(diǎn)，直線A1D1交平面EFH于點(diǎn)G．（1）證明：G為A1D1中點(diǎn)；（2）求異面直線D1F與HE所成角的大?。?9．（15分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段BB1的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面AED1；（2）求點(diǎn)A1到平面AED1的距離；（3）直線AA1與平面AED1所成角的正弦值．20．（15分）已知圓C經(jīng)過A（2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，且圓C的圓心在直線x+y﹣6＝0上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線3x+y﹣7＝0與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．21．（15分）在如圖所示的多面體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一點(diǎn)N，使得直線MN與平面EMC所成的角為60°．若存在，指出點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。把正確的答案涂在答題卡中相應(yīng)的位置。）1．（4分）經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，0）且傾斜角為60°的直線的方程是（）A．x﹣y﹣1＝0 B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程和一般式方程即可求出．解：傾斜角為60°的直線的方程的斜率k＝tan60°＝，∴經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，0）且傾斜角為60°的直線的方程是y﹣0＝（x+1），即為x﹣y+＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)斜式方程和一般式方程，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）圓x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圓心坐標(biāo)為（）A．（﹣2，4） B．（2，﹣4） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）【正確答案】C【分析】由方程x2+y2﹣2x+4y+3＝0可得（x﹣1）2+（y+2）2＝2，即可得到圓心的坐標(biāo)．解：由方程x2+y2﹣2x+4y+3＝0可得（x﹣1）2+（y+2）2＝2，∴圓心坐標(biāo)為（1，﹣2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其配方法，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）若M（1，0，1），N（2，m，3），P（2，2，n+1）三點(diǎn)共線，則m+n＝（）A．4 B．﹣2 C．1 D．0【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量平行坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算求解即可．解：因?yàn)?，，所以，解得m＝n＝2．故m+n＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的運(yùn)算，三點(diǎn)共線，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．4．（4分）已知直線l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】a＝2時(shí)可以推出兩條直線平行，兩條直線平行時(shí)，可得a的值，判斷出“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件．解：a＝2時(shí)，直線l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x﹣y+2＝0，可得兩條直線的斜率相同，在y軸的截距不同，所以兩條直線平行，即此時(shí)“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充分條件；l1∥l2時(shí)，則＝≠，整理可得，解得a＝2，此時(shí)a＝2”是“l(fā)1∥l2”的必要條件，綜上所述：“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充要條件的證法，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k的值為（）A． B． C． D．2【正確答案】B【分析】直接利用弦長判定圓心在直線上，利用代入法求出結(jié)果．解：由圓C：x2+y2＝2，得C（0，0），半徑r＝，圓心C到直線l：y＝kx+2的距離d＝．又|AB|＝2，所以12+（）2＝2，解得：k＝±．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．6．（4分）圓x2﹣8x+y2+12＝0與圓x2+y2﹣6y﹣7＝0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【正確答案】B【分析】根據(jù)兩圓圓心距離與半徑和差的關(guān)系判斷即可．解：因?yàn)閳Ax2﹣8x+y2+12＝0的圓心為（4，0），半徑2，圓x2+y2﹣6y﹣7＝0的圓心為（0，3），半徑4，則兩圓圓心距離為，兩圓半徑之差為4﹣2＝2，兩圓半徑之和為4+2＝6，因?yàn)?＜5＜6，所以圓x2﹣8x+y2+12＝0與圓x2+y2﹣6y﹣7＝0的位置關(guān)系是相交．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題．7．（4分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知，＝，＝，＝，則＝（）A．﹣﹣+ B．﹣+ C．+ D．+【正確答案】A【分析】利用空間向量加法法則直接求解．解：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∵，＝，＝，＝，∴＝+＝（+）﹣＝（﹣+﹣）﹣＝﹣﹣+＝﹣﹣+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．8．（4分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線l是底面ABCD所在平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，記直線A1C與直線l所成的角為α，則sinα的最小值是（）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】過點(diǎn)C作l的平行線，過A1作該平行線的垂線，垂足為P，則∠A1CP＝α，則sinα＝，根據(jù)|A1P|≥|A1A|可求出結(jié)果．解：如圖，過C作l的平行線，過A1作該平行線的垂線，垂足為P，則∠A1CP＝α，∴sinα＝，設(shè)正方體的棱長為1，則|A1C|＝，|A1P|≥|A1A|＝1，∴sinα＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)P與A重合時(shí)，取得等號(hào)，∴sinα的最小值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角的定義及正弦值求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．9．（4分）已知圓C：（x﹣2）2+（y+a）2＝2（a∈R）關(guān)于直線l：y＝x﹣1對(duì)稱，過點(diǎn)P（2a，a）作圓C的兩條切線PA和PB，切點(diǎn)分別為A、B，則|AB|＝（）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】將圓心C的坐標(biāo)代入直線l的方程，求得a的值，再寫出以CP為直徑的圓的方程，將其與圓C的方程相減，可得弦AB所在直線的方程，然后根據(jù)弦長的計(jì)算方法，求解即可．解：由題意知，C（2，﹣a），因?yàn)閳AC關(guān)于直線l對(duì)稱，所以點(diǎn)C在直線l上，即﹣a＝2﹣1，解得a＝﹣1，所以P（﹣2，﹣1），C（2，1），圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2①，所以|CP|＝2，線段CP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），故以CP為直徑的圓的方程為x2+y2＝5②，因?yàn)镻A，PB是切線，所以A，B兩點(diǎn)也在以CP為直徑的圓上，②﹣①得，弦AB所在的直線方程為2x+y﹣4＝0，所以圓心C到直線AB的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A與圓的公共弦所在直線方程的求法，弦長的計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．（4分）曲線C：x3+y3＝1．給出下列結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1；③曲線C只經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③【正確答案】C【分析】將方程中的x換成﹣x，y換成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，則x3+y3＝﹣1，曲線C關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱；曲線C：x3+y3＝1過點(diǎn)M（x，），M到原點(diǎn)O（0，0）的距離：|MO|＝≥1；曲線C：x3+y3＝1經(jīng)過（1，0），（0，1）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)．解：將方程中的x換成﹣x，y換成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，則x3+y3＝﹣1，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；曲線C：x3+y3＝1過點(diǎn)M（x，），M到原點(diǎn)O（0，0）的距離：|MO|＝≥1，故②正確；曲線C：x3+y3＝1經(jīng)過（1，0），（0，1）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，故③正確；故正確的結(jié)論的序號(hào)是：②③，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查曲線的對(duì)稱性、曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和整點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11．（5分）經(jīng)過點(diǎn)（3，a），（﹣2，0）的直線與直線x﹣2y+3＝0垂直，則a＝﹣10．【正確答案】﹣10．【分析】根據(jù)題意，由兩直線垂直列出斜率的方程計(jì)算，即可得到結(jié)果．解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)（3，a），（﹣2，0）的直線與直線x﹣2y+3＝0垂直，則，解得a＝﹣10．故﹣10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與直線垂直與直線斜率的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．（5分）已知定點(diǎn)B（﹣2，1）和點(diǎn)C（3，2），Rt△ABC以BC為斜邊，則直角頂點(diǎn)A的軌跡方程為（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．【正確答案】（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．【分析】設(shè)點(diǎn)A（x，y），根據(jù)題意利用兩點(diǎn)間距離公式求出|BC|，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，可知點(diǎn)A的軌跡是圓，然后寫出方程即可．解：設(shè)點(diǎn)A（x，y），點(diǎn)D為點(diǎn)B（﹣2，1）和點(diǎn)C（3，2）的中點(diǎn)，則D，|BC|＝＝，∵Rt△ABC以BC為斜邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，∴|AD|＝＝，∴點(diǎn)A的軌跡是以D為圓心，為半徑的圓，除點(diǎn)B，C之外的部分，∴點(diǎn)A的軌跡方程為（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．故（x﹣）2+（y﹣）2＝（x≠﹣2且x≠3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，屬基礎(chǔ)題．13．（5分）由直線y＝x上一點(diǎn)向圓（x﹣4）2+y2＝1引切線，則切線長的最小值為．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】要使切線長最小，必須直線y＝x上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，0）到直線的距離m，求出m，由勾股定理可求切線長的最小值．解：要使切線長最小，必須直線y＝x上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，0）到直線的距離m，由點(diǎn)到直線的距離公式得m＝＝2，由勾股定理求得切線長的最小值為＝．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理的應(yīng)用．14．（5分）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長為4π，則該球的半徑是4．【正確答案】4．【分析】根據(jù)已知條件，作出截面圖，再結(jié)合圓的周長公式和勾股定理，即可求解．解：作出截面圖，如圖所示，則OA＝，∵截面圓的周長為4π，∴2π?AB＝4π，解得AB＝2，∴球的半徑R＝＝．故4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體與球的關(guān)系，考查空間想象能力與思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算：．規(guī)定：（?。橥瑫r(shí)與，垂直的向量；（ⅱ），，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；（ⅲ）．如圖2，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【正確答案】①③④．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“叉乘運(yùn)算”的定義，依次分析四個(gè)結(jié)論，綜合可得答案．解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于①，|×|＝||||sin90°＝2×2×1＝4，||＝4，又由與、都垂直且三個(gè)向量構(gòu)成右手系，則，①正確；對(duì)于②，，而×＝，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，+＝，則有|（+）×|＝|×|＝2×4×1＝8，（+）×方向與相同，|×|＝2×4×1＝8，×與方向相同，|×|＝2×4×1＝8，且×與方向相同，故|×+×|＝8，且×+×的方向與+即方向相同，則有，③正確；對(duì)于④，由于，則（×）?＝?＝4×4＝16，V＝2×2×4＝16，④正確；故①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，注意理解“叉乘運(yùn)算”的定義以及運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），線段AC的中點(diǎn)M；（1）求過M點(diǎn)和直線BC平行的直線方程；（2）求BC邊的高線所在直線方程．【正確答案】（1）x﹣3y+17＝0，（2）3x+y＝0．【分析】（1）根據(jù)A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，和直線直線BC的斜率，寫出直線方程；（2）根據(jù)，得到BC邊的高線的斜率，寫出直線方程．解：（1）因?yàn)锳（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），所以M（1，6），，所以過M點(diǎn)和直線BC平行的直線方程為，即x﹣3y+17＝0；（2）因?yàn)?，所以BC邊的高線的斜率為﹣3，所以BC邊的高線所在直線方程y﹣9＝﹣3（x+3），即3x+y＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．（14分）已知圓C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）與y軸相切．（Ⅰ）直接寫出圓心C的坐標(biāo)及r的值；（Ⅱ）直線l：3x﹣4y﹣1＝0與圓C交于兩點(diǎn)A，B，求|AB|．【正確答案】（Ⅰ）（2，0），2；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件，結(jié)合相切的定義，直接求解；（Ⅱ）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．解：（Ⅰ）圓C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）與y軸相切，則圓心C的坐標(biāo)為（2，0），半徑r＝2；（Ⅱ）圓心C到直線l的距離d＝，故|AB|＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)E、F、H分別為AB、BC、D1C1的中點(diǎn)，直線A1D1交平面EFH于點(diǎn)G．（1）證明：G為A1D1中點(diǎn)；（2）求異面直線D1F與HE所成角的大小．【正確答案】（1）證明過程見詳解；（2）．【分析】（1）由正方體的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)可得HG∥EF，再由題意可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，由題意可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出D1F與HE的方向向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值，可得兩條異面直線所成角的余弦值，再求出它們的夾角．（1）證明：在正方體中，因?yàn)槠矫鍭1B1C1D1∥平面ABCD，A1D1交平面EFH于點(diǎn)G，所以G∈平面EFH，平面A1B1C1D1∩平面EFH＝GH，平面ABCD∩平面EFHE＝EF，所以HG∥EF，又因?yàn)辄c(diǎn)E、F、H分別為AB、BC、D1C1的中點(diǎn)，連接AC，A1C1，可得EF∥AC，且EF＝AC，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以HG∥A1C1，且GH＝A1C1，所以G為A1D1的中點(diǎn)；（2）解：設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2），可得E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），H（0，1，2），可得＝（1，2，﹣2），＝（2，0，﹣2），所以?＝1×2+2×0+（﹣2）×（﹣2）＝6，||＝＝3，||＝＝2，所以cos＜，＞＝＝＝，設(shè)異面直線D1F與HE所成角為θ，θ∈（0，]，可得cosθ＝，所以θ＝．即異面直線D1F與HE所成角為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用空間向量的方法求異面直線所成角的大小及面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（15分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段BB1的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面AED1；（2）求點(diǎn)A1到平面AED1的距離；（3）直線AA1與平面AED1所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明過程見解答；（2）；（3）．【分析】（1）通過證明四邊形ABC1D1是平行四邊形得出BC1∥AD1即可證明BC1∥平面AED1；（2）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A1到平面AED1的距離；（3）利用向量法能求出直線AA1與平面AED1所成角的正弦值．解：（1）證明：在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段BB1的中點(diǎn)，∴AB∥C1D1，且AB＝C1D1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∵BC1?平面AED1，AD1?平面AED1，∴BC1∥平面AED1；（2）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A1（0，0，2），A（0，0，0），D1（2，0，2），E（0，2，1），則＝（0，0，2），＝（2，0，2），＝（0，2，1），設(shè)平面AED1的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，取y＝1，得＝（2，1，﹣2），則點(diǎn)A1到平面AED1的距離為：d＝＝；（3）平面AED1的法向量為＝（2，1，﹣2），設(shè)直線AA1與平面AED1所成角為θ，則直線AA1與平面AED1所成角的正弦值為：sinθ＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面角、點(diǎn)到平面的距離、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（15分）已知圓C經(jīng)過A（2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，且圓C的圓心在直線x+y﹣6＝0上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線3x+y﹣7＝0與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．【正確答案】（1）（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10；（2）1．【分析】（1）求出AB的中垂線方程聯(lián)立x+y﹣6＝0，即可求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，可求得圓的方程；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線和圓的方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求得答案．解：（1）因?yàn)锳（2，0），B（0，4），所以，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），則AB的中垂線方程為，即