2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題2（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知兩直線與直線平行，則（）A． B．6 C． D．2．在空間坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．過點的直線與圓交于A，B兩點，當(dāng)弦AB最短時，直線的方程為（）A． B． C． D．4．已知橢圓的焦距為6，則的值是（）A．5 B．32 C．5或77 D．32或505．若直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線一定過定點（）A． B． C． D．6．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍為（）A． B．C． D．7．如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點，為的中點，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中，正確的有（）A．點斜式可以表示任何直線B．直線在軸上的截距為C．直線關(guān)于點對稱的直線方程是D．過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是10．已知圓和圓，則（）A．若兩圓相交，則B．直線可能是兩圓的公切線C．兩圓公共弦長的最大值為D．兩圓公共弦所在的直線方程可以是11．已知正方體棱長為，為平面內(nèi)一點，為中點.下列論述正確的是（）A．若，則B．若，則到直線的距離為C．若，則有且僅有一個點，使得平面D．若，則平面與底面所成角正弦值的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，分別是平面、的法向量，若，則.13．平面內(nèi)點滿足，其中、，且，則的面積為.14．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，、，是、兩點的直線距離，定義：叫做、兩點的“城市街區(qū)距離”.已知是圓上一點，是直線上一點，則、兩點的直線距離最小值是，、兩點的“城市街區(qū)距離”最小值是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，已知，邊上的中線所在直線方程是，邊的高線所在直線方程是.(1)求點的坐標(biāo)；(2)判斷的形狀.16．在平行六面體中，在上且，為的中點，，，，，記，，，(1)用，，表示；(2)求異面直線與所成角的余弦值.17．如圖，某海面上有，，三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，圓經(jīng)過，，三點.

(1)求圓的方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有暗礁，現(xiàn)有一船在島的北偏西方向距島千米處，正沿著北偏東方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？18．如圖，四邊形與均為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)為線段上的動點，求與平面所成角正弦值的最大值；(3)設(shè)中點為，為四邊形內(nèi)的動點（含邊界）且，求動點的軌跡長度.19．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，是橢圓上任一點，的面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形頂點在橢圓上，且對角線、過原點，設(shè)，，①若，求證：直線和直線的斜率之和為定值；②若，求四邊形周長的取值范圍.

答案1．【正確答案】A【詳解】解：，直線的斜率，直線，易知時與不平行，即，故直線的斜率，兩直線與直線平行，，即，解得.故選：A.2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的特征，可得點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)是.故選：A.3．【正確答案】A【詳解】當(dāng)最短時，直線，所以，又，所以，所以直線的方程為，即..故選：A.4．【正確答案】D【詳解】根據(jù)橢圓方程可知當(dāng)焦點在軸上時，可得，解得；當(dāng)焦點在軸上時，可得，解得；綜上可知，的值是32或50.故選：D5．【正確答案】C【詳解】易知直線恒過點，所以可得直線一定過關(guān)于直線的對稱點；設(shè)對稱點坐標(biāo)為，可得，解得，即直線一定過定點.故選：C6．【正確答案】B【詳解】表示圓心為，半徑為2的圓，表示過點和點直線的斜率，如圖所示：直角中，，，,故，同理可得.所以.故選：B.7．【正確答案】B【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】因為，為的中點，則，由圓錐的幾何性質(zhì)可知平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因為，所以，點到平面的距離為.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，又，所以，，，所以，所以橢圓的離心率為.故選：D.9．【正確答案】BC【詳解】對于A選項，點斜式不表示傾斜角為的直線，A錯；對于B選項，在直線的方程中，令，可得，所以，直線在軸上的截距為，B對；對于C選項，直線關(guān)于點對稱的直線方程為，其中，則，可得，因為，解得，所以，直線關(guān)于點對稱的直線方程是，C對；對于D選項，若所過直線過原點，該直線的斜率為，此時，所求直線方程為，若所求直線不過原點，設(shè)所求直線方程為，則，解得，此時，所求直線方程為，綜上所述，過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是或，D錯.故選：BC.10．【正確答案】ABC【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，圓的圓心為，半徑為，對于A選項，因為，若兩圓相交，則，即，因為，解得，A對；對于B選項，原點到直線的距離為，則直線與圓相切，若直線與圓相切，則，即當(dāng)時，直線是兩圓的公切線，B對；對于C選項，將兩圓方程作差可得，當(dāng)直線過原點時，即時，即當(dāng)時，兩圓的相交弦的弦長取最大值，且此時兩圓的相交弦為圓的一條直徑，C對；對于D選項，若兩圓的相交弦方程為，則有，因為，解得，不合乎題意，D錯.故選：ABC.11．【正確答案】ABD【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，對于A選項，，則，，所以，，故，A對；對于B選項，若，則為線段的中點，即點，，，所以，點到直線的距離為，B對；對于C選項，，其中，則，，因為平面，則，即，，解得，因此，不存在點，使得平面，C錯；對于D選項，若，其中，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，可得，且，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與底面所成角為，所以，，則，D對.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】因為向量，分別是平面、的法向量，且，則，則，解得，，故.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)，，，則，由余弦定理可得，所以，可得，所以，，因為，則，故.故答案為.14．【正確答案】【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，所以，、兩點的直線距離最小值為原點到直線的距離減去半徑，故、兩點的直線距離最小值為，不妨設(shè)點、，則，則、兩點的“城市街區(qū)距離”為，令，則關(guān)于的函數(shù)在連續(xù)，則該函數(shù)在上遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，為銳角，且，所以，當(dāng)時，、兩點的“城市街區(qū)距離”取最小值.故；.15．【正確答案】(1)(2)直角三角形【詳解】（1）設(shè)，因為邊的高線所在直線方程是，所以，又，所以①，又點在直線上，所以②，由①②解得，所以點的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，因為點在上，所以，因為邊上的中線所在直線方程是，所以，解得，所以，所以，，所以，所以，又，，所以是直角三角形.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）易知；（2）根據(jù)題意可知，且;所以可得；又易知；所以，因此異面直線與所成角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)該船沒有觸礁的危險【詳解】（1）根據(jù)題意可知，易知圓的圓心在線段的垂直平分線上，可設(shè)圓心，又可得，解得，所以半徑，因此圓的方程為.（2）由在島的北偏西方向距島千米處，可得；由行駛方向為北偏東可知行駛直線所在直線斜率為，因此行駛直線方程為，圓心到直線的距離為，即行駛直線與暗礁區(qū)域圓相離，因此該船沒有觸礁的危險.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為四邊形為菱形，則，設(shè)，連接，則為的中點，因為，則，因為，、平面，故平面.（2）連接，因為四邊形為菱形，則，又因為，則為等邊三角形，因為為的中點，則，又因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為，四邊形為菱形，且，則是邊長為的等邊三角形，所以，，，，同理可得，所以，A3,0,0、、、、、，則，，設(shè)平面的法向量為m=x則，取，可得，因為為上的動點，設(shè)，其中，且，，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)時，取最大值，且最大值為，因此，與平面所成角正弦值的最大值為.（3）因為為的中點，則，設(shè)點，則，，因為，即，即，化簡可得，故動點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓在四邊形內(nèi)的部分，即圓心角為的圓弧，故所求軌跡的長度為.19．【正確答案】(1)(2)①見解析；②【詳解】（1）由題意知：當(dāng)點是橢圓的上、下頂點時，的面積取最大值，即，再根據(jù)離心率為，可得：，由，解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①如圖所示：當(dāng)