2024-2025學(xué)年福建省福州市高三上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)z＝（7+i）i3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，則公比q＝（）A．2 B．﹣2 C． D．3．（5分）已知||＝1，||＝2，且與的夾角為，則|﹣|＝（）A． B．2 C． D．4．（5分）“﹣12≤a≤0”是“直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）某企業(yè)舉辦職工運(yùn)動(dòng)會(huì)，有籃球、足球、羽毛球、乒乓球4個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)有A，B兩個(gè)場(chǎng)地承擔(dān)這4個(gè)項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A．10種 B．12種 C．14種 D．20種6．（5分）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，則a+2b的最小值是（）A． B． C． D．7．（5分）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)f（x）的圖象，若f（x）在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）已知P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)Q在∠F1PF2的平分線上，O為原點(diǎn)，OQ∥PF1，且|OQ|＝2b，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列說(shuō)法中正確的有（）A．若隨機(jī)變量x，y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則x，y的取值呈現(xiàn)正相關(guān) B．若隨機(jī)變量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，則P（X＜0）＝0.15 C．若事件A，B相互獨(dú)立，則P（A|B）＝P（A） D．若5件產(chǎn)品中有2件次品，采取無(wú)放回的方式隨機(jī)抽取3件，則抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為1的概率是（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x2，則（）A．x＝0是f（x）的極大值點(diǎn) B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C．g（x）＝f（x）+1有2個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）（多選）11．（6分）已知曲線C：4x|x|＝y(tǒng)|y|﹣4．點(diǎn)，，則以下說(shuō)法正確的是（）A．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．曲線C存在點(diǎn)P，使得|PF1|﹣|PF2|＝4 C．直線y＝2x與曲線C沒(méi)有交點(diǎn) D．點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向y＝±2x作垂線，垂足分別為A，B，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）在的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)是．13．（5分）已知，則＝．14．（5分）已知△ABC為等邊三角形，PA⊥底面ABC，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為4π，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大?。唬?）若c＝2b，三角形ABC的面積為，求三角形ABC的周長(zhǎng)．16．（15分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面ABB1A1是正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB∥CD，，M為線段AB的中點(diǎn)，AD⊥B1M．（Ⅰ）求證：C1M∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直線AC1與平面MB1C1所成角的正弦值．17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是E上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線AF的傾斜角為時(shí)，|AF|＝4．（1）求E的方程；（2）已知點(diǎn)D（2，2），B，C是E上不同兩點(diǎn)．若四邊形ABCD是平行四邊形，證明：直線AC過(guò)定點(diǎn)．18．（17分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）．（1）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：．19．（17分）在n個(gè)數(shù)碼1，2，…，n（n∈N，n≥2）構(gòu)成的一個(gè)排列j1j2?jn中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱(chēng)它們構(gòu)成逆序，這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ（j1j2?jn），例如，τ（12）＝0，τ（4132）＝4．（1）比較τ（）與τ（15432）的大小；（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足，a1＝2，求{an}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)排列滿足，，，，證明：c5+c6+?+cn≥．

答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)z＝（7+i）i3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．解：z＝（7+i）i3＝（7+i）（﹣i）＝1﹣7i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣7）位于第四象限．故選：D．2．（5分）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，則公比q＝（）A．2 B．﹣2 C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，分析可得（S3﹣S2）＝a4﹣a3，變形即可得答案．解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，兩式相減可得：（S3﹣S2）＝a4﹣a3，即a3＝a4﹣a3，變形可得：a4＝2a3，變形可得q＝2．故選：A．3．（5分）已知||＝1，||＝2，且與的夾角為，則|﹣|＝（）A． B．2 C． D．【正確答案】A【分析】先計(jì)算出向量，的數(shù)量積，計(jì)算出|﹣|2，從而得出結(jié)論．解：∵||＝1，||＝2，且與的夾角為，∴＝1×2×＝，∴|﹣|2＝﹣2??+3＝1﹣2+3×22＝7，故|﹣|＝，故選：A．4．（5分）“﹣12≤a≤0”是“直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系及充分、必要條件的定義判定選項(xiàng)即可．解：若直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點(diǎn)，易知圓心（1，3），半徑，則圓心到直線l的距離，解之得﹣12≤a≤﹣2，又{a|﹣12≤a≤﹣2}?{a|﹣12≤a≤0}，所以“﹣12≤a≤0”是“直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點(diǎn)”的必要不充分條件．故選：B．5．（5分）某企業(yè)舉辦職工運(yùn)動(dòng)會(huì)，有籃球、足球、羽毛球、乒乓球4個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)有A，B兩個(gè)場(chǎng)地承擔(dān)這4個(gè)項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A．10種 B．12種 C．14種 D．20種【正確答案】C【分析】分一個(gè)場(chǎng)地承辦一個(gè)項(xiàng)目，另一個(gè)場(chǎng)地承辦三個(gè)項(xiàng)目與每個(gè)場(chǎng)地都承辦兩個(gè)項(xiàng)目?jī)煞N情況討論，按照先分組，再分配的方法計(jì)算可得．解：若一個(gè)場(chǎng)地承辦一個(gè)項(xiàng)目，另一個(gè)場(chǎng)地承辦三個(gè)項(xiàng)目，則有種安排；若每個(gè)場(chǎng)地都承辦兩個(gè)項(xiàng)目，則有種安排；綜上可得一共有8+6＝14種不同的安排方法．故選：C．6．（5分）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，則a+2b的最小值是（）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由2a+b＝ab+1可得，后由基本不等式可得答案．解：因2a+b＝ab+1，則a＝，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故選：A．7．（5分）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)f（x）的圖象，若f（x）在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【正確答案】B【分析】根據(jù)伸縮變換規(guī)則可得，再由余弦函數(shù)圖象性質(zhì)以及極值點(diǎn)個(gè)數(shù)解不等式可得結(jié)果．解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若f（x）在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則由y＝2cosx的圖像可得，解得，因?yàn)棣亍蔔*，所以ω的最大值為3．故選：B．8．（5分）已知P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)Q在∠F1PF2的平分線上，O為原點(diǎn)，OQ∥PF1，且|OQ|＝2b，則C的離心率為（）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由題意得出△QAP是等腰直角三角形，列方程組得到含a，c的齊次方程即可求解離心率．解：如圖，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，延長(zhǎng)OQ交PF2于A，由題意知OQ∥PF1，O為F1F2的中點(diǎn)，故A為PF2中點(diǎn)，又，即PF1⊥PF2，則，又點(diǎn)Q在的平分線上，則，故△QAP是等腰直角三角形，因此，則，所以m﹣n＝4b，又m+n＝2a，所以，又在Rt△PF1F2中，，即m2+n2＝4c2，即（a+2b）2+（a﹣2b）2＝4c2，化簡(jiǎn)得：a2+4b2＝2c2，又b2＝a2﹣c2，所以5a2＝6c2，所以，即．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列說(shuō)法中正確的有（）A．若隨機(jī)變量x，y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則x，y的取值呈現(xiàn)正相關(guān) B．若隨機(jī)變量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，則P（X＜0）＝0.15 C．若事件A，B相互獨(dú)立，則P（A|B）＝P（A） D．若5件產(chǎn)品中有2件次品，采取無(wú)放回的方式隨機(jī)抽取3件，則抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為1的概率是【正確答案】BCD【分析】根據(jù)回歸方程即可判斷A；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可判斷B；根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式及條件概率公式即可判斷C；根據(jù)古典概型的概率公式即可判斷D．解：對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量x，y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，所以x，y的取值呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，所以P（X＜0）＝P（x＞6）＝0.15，故B正確；對(duì)于C，若事件A，B相互獨(dú)立，則P（AB）＝P（A）P（B），所以，故C正確；對(duì)于D，由題意抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為1的概率，故D正確．故選：BCD．（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x2，則（）A．x＝0是f（x）的極大值點(diǎn) B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C．g（x）＝f（x）+1有2個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）【正確答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明f（x）+f（1﹣x）＝﹣1得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理判斷選項(xiàng)C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項(xiàng)D．解：對(duì)于A，函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x2，f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝1，故當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故0是f（x）的極大值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒（x）+f（1﹣x）＝2x3﹣3x2+2（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2＝2x3﹣3x2+2﹣6x+6x2﹣2x3﹣3+6x﹣3x2＝﹣1，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，g（x）＝f（x）+1＝2x3﹣3x2+1，易知g（x），f（x）的單調(diào)性一致，而g（1）＝0，故g（x）＝f（x）+1有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，﹣1＜x2﹣1＜x﹣1＜0，而f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，故f（x2﹣1）＜f（x﹣1），故D錯(cuò)誤．故選：ABC．（多選）11．（6分）已知曲線C：4x|x|＝y(tǒng)|y|﹣4．點(diǎn)，，則以下說(shuō)法正確的是（）A．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．曲線C存在點(diǎn)P，使得|PF1|﹣|PF2|＝4 C．直線y＝2x與曲線C沒(méi)有交點(diǎn) D．點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向y＝±2x作垂線，垂足分別為A，B，則【正確答案】CD【分析】分x，y的零的大小討論，得到曲線方程，并畫(huà)出圖形，由對(duì)稱(chēng)性可得A錯(cuò)誤；由雙曲線的定義可得B錯(cuò)誤；由漸近線方程可得C正確；由點(diǎn)到直線的距離公式可得D正確；解：當(dāng)x≥0，y＞0時(shí)，曲線C：4x2＝y(tǒng)2﹣4，即；x≤0，y≥0時(shí)，曲線C：﹣4x2＝y(tǒng)2﹣4，即；當(dāng)x≥0，y＜0時(shí)，曲線C：4x2＝﹣y2﹣4，即；不存在；x＜0，y≤0時(shí)，曲線C：﹣4x2＝﹣y2﹣4，即；畫(huà)出圖形如下：對(duì)于A，由圖可得曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x≥0，y＞0時(shí)，方程是以F1，F(xiàn)2為上、下焦點(diǎn)的雙曲線，曲線C存在點(diǎn)P，使得|PF2|﹣|PF1|＝4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，一三象限曲線的漸近線方程為y＝2x，所以直線y＝2x與曲線C沒(méi)有交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)Q（x0，y0），設(shè)點(diǎn)A在直線y＝2x上，點(diǎn)B在直線y＝﹣2x，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，，所以，又點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，代入曲線方程可得，故D正確．故選：CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）在的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)是﹣160．【正確答案】﹣160．【分析】直接根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可．解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令12﹣3r＝3，得r＝3，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為．故﹣160．13．（5分）已知，則＝．【正確答案】．【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式計(jì)算即得．解：由題意可知，＝．故14．（5分）已知△ABC為等邊三角形，PA⊥底面ABC，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為4π，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值是．【正確答案】．【分析】由已知求得外接球的半徑，設(shè)等邊三角形ABC的外接圓的半徑為r，把三棱錐P﹣ABC體積用含有r的函數(shù)表示，利用導(dǎo)數(shù)求最值．解：設(shè)三棱錐P﹣ABC外接球的半徑為R，由4πR2＝4π，得R＝1，設(shè)等邊三角形ABC的外接圓的半徑為r，∴，即1＝，∵r＜R，∴0＜r＜1，則PA＝＝，，∴＝．令y＝r4﹣r6，則y′＝2r3（2﹣3r2），∵0＜r＜1，令y′＝0，可得r＝，當(dāng)r∈（0，）時(shí)，y′＞0，當(dāng)r∈（，1）時(shí)，y′＜0，∴當(dāng)r＝時(shí)，，∴三棱錐P﹣ABC體積的最大值是．故．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若c＝2b，三角形ABC的面積為，求三角形ABC的周長(zhǎng)．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出A；（2）由三角形的面積公式可得bc＝4，結(jié)合c＝2b及余弦定理即可求出a，即可得出結(jié)果．解：（1）由正弦定理得asinB＝bsinA，所以，所以，整理得，因?yàn)锳∈（0，π），所以sinA＞0，因此cosA＞0，所以，所以；（2）由△ABC的面積為，得，解得，又c＝2b，則，，由余弦定理得，解得a＝2，，所以△ABC的周長(zhǎng)為．16．（15分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面ABB1A1是正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB∥CD，，M為線段AB的中點(diǎn)，AD⊥B1M．（Ⅰ）求證：C1M∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直線AC1與平面MB1C1所成角的正弦值．【正確答案】（Ⅰ）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由線面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理可證得AD，AA1，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線C1M和平面ADD1A1的法向量，由線面平行的向量表示即可證得；（Ⅱ）求出直線AC1的方向向量和平面MB1C1的法向量，由向量的夾角公式計(jì)算即可．解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，因?yàn)槠矫鍭BB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，AA1?平面ABB1A1，所以AA1⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以AA1⊥AD，又AD⊥B1M，AA1與B1M延長(zhǎng)后相交，AA1，B1M?平面AA1B1B，所以AD⊥平面AA1B1B，又AB?平面AA1B1B，所以AD⊥AB，所以AD，AA1，AB兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AA1，AB所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AB＝2，則AD＝1，DC＝1，AA1＝2，則A（0，0，0），B（0，0，2），M（0，0，1），D（1，0，0），D1（1，2，0），A1（0，2，0），B1（0，2，2），C1（1，2，1），因?yàn)?，平面ADD1A1的一個(gè)法向量為，所以，即，因?yàn)镃1M?平面ADD1A1，所以C1M∥平面ADD1A1；（Ⅱ）因?yàn)?，，，設(shè)平面MB1C1的法向量為，則，令x＝2，則y＝﹣1，z＝2，所以，設(shè)直線AC1與平面MB1C1所成角為θ，所以sinθ＝＝＝＝＝．17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是E上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線AF的傾斜角為時(shí)，|AF|＝4．（1）求E的方程；（2）已知點(diǎn)D（2，2），B，C是E上不同兩點(diǎn)．若四邊形ABCD是平行四邊形，證明：直線AC過(guò)定點(diǎn)．【正確答案】（1）y2＝4x；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H1，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H2，由拋物線的性質(zhì)結(jié)合題意可得|AH2|＝p+2＝4，求出p即可得解；（2）設(shè)直線AC方程為x＝my+n，A（x1，y1），C（x2，y2），B（x0，y0），聯(lián)立方程組，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，由四邊形ABCD是平行四邊形可得，y0＝y(tǒng)1+y2﹣2＝4m﹣2，即可得B（4m2+2n﹣2，4m﹣2），然后代入拋物線方程求出m，n的關(guān)系即可得證．（1）解：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H1，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H2，如圖，由拋物線定義，得|AH2|＝|AF|＝4，因?yàn)橹本€AF的傾斜角為，則|FH1|＝2，所以|AH2|＝p+2，即p+2＝4，所以p＝2，故E的方程為y2＝4x；（2）證明：設(shè)直線AC方程為x＝my+n，A（x1，y1），C（x2，y2），B（x0，y0），聯(lián)立方程組，消去x整理得y2﹣4my﹣4n＝0，則Δ＝16m2+16n＞0，故m2+n＞0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，，y0＝y(tǒng)1+y2﹣2＝4m﹣2，即B（4m2+2n﹣2，4m﹣2），代入y2＝4x中，得（4m﹣2）2＝4（4m2+2n﹣2），即，滿足m2+n＞0，所以直線AC方程為x＝my，即，所以直線AC過(guò)定點(diǎn)．18．（17分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）．（1）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：．【正確答案】（1）a＝1；（2）[，+∞）；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）（x＞1），并設(shè)u（x）＝f'（x）（x＞1），求得，由于，因此根據(jù)2a≤0、2a≥1以及0＜2a＜1分類(lèi)討論f（x）＜0（x＞1）是否恒成立，從而得參數(shù)范圍；（3）由（2）不等式變形得＜1，再用代x后變形及放縮得，然后令x＝2，3，…，n后相加可證．解：（1）f'（x）＝lnx+1﹣2ax，由題意曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為x+y﹣1＝0，則f'（1）＝1﹣2a＝﹣1，解得a＝1；（2）f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1），x＞1，f′（x）＝lnx+1﹣2ax，令u（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞1），則，當(dāng)2a≤0，即a≤0時(shí)，u'（x）＞0，u（x）即f′（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，因此f′（x）＞f′（1）＝﹣2a＞0，f（x）是增函數(shù)，所以f（x）＞f（1）＝0，不合題意，舍去；當(dāng)2a≥1，即時(shí)，u'（x）＜0，u（x）即f'（x）是（1，+∞）上的減函數(shù)，所以f'（x）＜f'（1）＝1﹣2a≤0，所以f（x）是（1，+∞）上的減函數(shù)，從而f（x）＜f（1）＝0恒成立；當(dāng)0＜2a＜1，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，u'（x）＞0，u（x）在單調(diào)遞增，時(shí)，u'（x）＜0，u（x）在（單調(diào)遞減，又u（1）＝1﹣2a＞0，所以時(shí)，u（x）＞0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，此時(shí)f（x）在上單調(diào)遞增，因此f