2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上冊(cè)11月診斷性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期11月診斷性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的方向向量為，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．下列說(shuō)法正確的是（

）A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，則個(gè)體被抽到的概率可能是0.2B．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的方差是C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，19，的第百分位數(shù)是D．若數(shù)據(jù)，，…，的方差為，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差是4．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)上，則（

）A．1 B． C．1或 D．5．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．設(shè)向量，（x，），滿足．則點(diǎn)的軌跡的方程是（

）A． B． C． D．7．如圖，一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A．事件與互斥，與相互對(duì)立B．C．但不滿足兩兩獨(dú)立D．且兩兩相互獨(dú)立8．已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（）A．“”是“直線與直線互相垂直”的必要不充分條件B．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C．直線的傾斜角的取值范圍是D．若、，直線過(guò)且與線段相交，則的斜率10．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，，分別是棱，的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．該內(nèi)切球的球的體積為B．平面被球截得的截面圓的面積為C．存在點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)，，的平面截該正方體所得截面的面積為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)為，，過(guò)左焦點(diǎn)斜率存在且不為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的切線為，的中點(diǎn)為，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的離心率為 B．的周長(zhǎng)為C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為．13．如圖所示，平行六面體中，，．用向量表示向量=．14．已知過(guò)動(dòng)點(diǎn)向圓作兩條相互垂直的切線，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)作兩條相互垂直的射線交分別為，線段的中點(diǎn)為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線為；過(guò)點(diǎn)分別作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面的夾角的余弦值．16．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差17．設(shè)點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若.（i）當(dāng)時(shí)，求的面積；（ii）求的取值范圍.18．為了增添學(xué)習(xí)生活的樂趣，甲、乙兩人決定進(jìn)行一場(chǎng)投籃比賽，每次投1個(gè)球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過(guò)抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．(1)求甲、乙投籃總次數(shù)不超過(guò)4次時(shí)，乙獲勝的概率；(2)求比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好投了2次籃的概率．19．已知與軸分別相交于，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于．(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，將圓沿軸折成直二面角，如圖，在上半圓上是否存在一點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡記為曲線，曲線與直線交于，直線與直線相交于，在定直線上，直線與直線相交于，在定直線上，判斷直線，的位置關(guān)系，并注明．

答案1．【正確答案】D【詳解】解：因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率為，即，又傾斜角，所以.故選：D2．【正確答案】B【詳解】直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)直線方程為，即；若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，設(shè)直線方程為：，把點(diǎn)代入可得：，解得．∴直線方程為：，即．綜上可得滿足條件的直線的條數(shù)為2．故選：B3．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，由題個(gè)體被抽到的概率可能是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，，，，的平均數(shù)為，則，則數(shù)據(jù)方差為：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序得：，，，，19，，，.因，則第百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)據(jù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，，…，的方差為，則，，…，的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，故D正確.故選：D4．【正確答案】C【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以其圓心為，半徑為設(shè)圓心為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以對(duì)稱圓的方程為：，因?yàn)閷?duì)稱圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得或，故選：C5．【正確答案】A【詳解】由題意得，，∴，即，由共面向量定理得，四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面上，的最小值為點(diǎn)到平面的距離.以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，設(shè)平面的法向量為，則，取，到平面的距離，即的最小值為.故選：A.6．【正確答案】C【詳解】由題意可得，即表示點(diǎn)到的距離和為4，且，則點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，可得點(diǎn)的軌跡的方程為，故選：C.7．【正確答案】C【詳解】因?yàn)槭录臉颖军c(diǎn)為：，事件所含的樣本點(diǎn)為：，事件所含的樣本點(diǎn)為.因?yàn)槭录及瑯颖军c(diǎn)2,3，所以，不互斥，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗臉颖军c(diǎn)為：，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗臉颖军c(diǎn)為：，所以，又，所以.又事件所含的樣本點(diǎn)為：，所以，又，所以，所以事件不獨(dú)立，即兩兩獨(dú)立錯(cuò)誤，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：C8．【正確答案】A【詳解】直線，即，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)；直線，即，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)；又，即直線與直線垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，（挖去點(diǎn)）故圓心是，半徑為，點(diǎn)的方程是（挖去點(diǎn)）；設(shè)，則以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，因?yàn)?，則，所以恒成立，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.故選：A9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線與直線互相垂直，則，解得或，所以，“”是“直線與直線互相垂直”充分不必要條件，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線與直線互相平行，則，解得，所以，“”是“直線與直線互相平行”的充要條件，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，直線的傾斜角的取值范圍是，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：設(shè)線段交軸于點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)，，，當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)往點(diǎn)（不包括點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)，直線的傾斜角為銳角，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線的傾斜角逐項(xiàng)增大，此時(shí)，直線的斜率為；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)（不包括點(diǎn)）往點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線的傾斜角逐漸增大，此時(shí)，直線的斜率為.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是，D對(duì).故選：BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，根據(jù)已知條件球?yàn)橐詾閳A心，半徑，內(nèi)切球的球面體積為，A正確；對(duì)于C，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則由題意可得，，，，設(shè)點(diǎn)，其中，，，，設(shè)平面法向量為n=x,y,z則，令，則y=?1，，所以為平面的一個(gè)法向量，若存在點(diǎn)，使平面，只需，因?yàn)椴怀闪ⅲ訡錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)平面法向量為，，則，令，則，，所以為平面的法向量，又因?yàn)?，設(shè)到平面的距離為，則，設(shè)平面被球截得的截面圓的半徑為，，所以平面被球截得的截面圓的面積為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長(zhǎng)，所以截面面積，D正確；故選：ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】A，，故A正確；B，的周長(zhǎng)為，由可得周長(zhǎng)為，故B正確；

C，因?yàn)?，所以，?dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，，所以當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在到之間變化時(shí)，的長(zhǎng)度一定有小于的情況，故C錯(cuò)誤；D，設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩式相減可得，即，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，則，，所以，又，所以，又，即，代入斜率表達(dá)式并結(jié)合化簡(jiǎn)可得，所以，故D正確；故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】由.故13．【正確答案】【詳解】由題意得，.故答案為.14．【正確答案】【詳解】可做出如下示意圖：

設(shè)，在直角中，，在直角中，可得.代入點(diǎn)坐標(biāo)得：，平方去根號(hào)，化簡(jiǎn)得到：；圓心為，半徑為，過(guò)圓外一點(diǎn)做切線，可知切線和半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形的直角邊，兩個(gè)切點(diǎn)之間的弦的長(zhǎng)度為這個(gè)直角三角形的高的兩倍.由數(shù)量積的定義：，結(jié)合下圖可以得到結(jié)論，

兩條切線長(zhǎng)度大于圓的半徑，即兩切線夾角為銳角時(shí)，點(diǎn)距離圓心越近，則切線長(zhǎng)度越短，且夾角越大，兩個(gè)向量的數(shù)量積越小.又由題意點(diǎn)和原點(diǎn)以及與圓兩個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為半徑的正方形，可得到原點(diǎn)距離為，所以可得曲線：，所以點(diǎn)到的圓心的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立；此時(shí)切線或和圓的半徑，點(diǎn)到圓心的連線構(gòu)成直角三角形，半徑為.所以；所以切點(diǎn)弦的長(zhǎng)度.由余弦定理，可求出兩條切線的夾角的余弦值為，所以的最小值為，點(diǎn)取在位置時(shí)，最小.故；4.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則A2,0,0、、、，則，，則，可得，又因?yàn)椋?，、平面，所以，平?（2）由（1）知，平面.則平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)為直線與平面所成的角，因此，而，則，所以平面直線與平面的夾角的余弦值為.16．【正確答案】(1)0.030(2)84(3)總平均數(shù)是62，總方差是23.【詳解】（1）每組小矩形的面積之和為1，，；（2）成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，所以；由樣本方差計(jì)算總體方差公式，得總方差為17．【正確答案】(1)(2)(i)；(ii)【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)是，所以直線的斜率是，同理，直線的斜率是，由已知，有，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程是，點(diǎn)的軌跡是除去，兩點(diǎn)的橢圓；（2）（i）設(shè)，，，，在中，由余弦定理得：，，（ii）設(shè)，則，即，，，，，，，，.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)總次數(shù)分三種情況討論，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）分甲贏得比賽與乙贏得比賽兩類討論，根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2，3次，所以；若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3，4次，所以；記甲、乙投籃總次數(shù)不超過(guò)4次時(shí)且乙獲勝為事件，則，所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過(guò)4次時(shí)，乙獲勝的概率為；（2）若比賽結(jié)束時(shí)甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；若比賽結(jié)束時(shí)乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3，4次，則；②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4，5次乙投中，則；④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5，6次乙投中，則；綜上可得比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好投了2次籃的概率.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是分析得到甲恰好投了2次籃的所有情況，從而結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式即可得解.19．【正確答案】(1)(2