導(dǎo)數(shù)的計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算-復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)，是指f(x)在x處變化率的極限值。導(dǎo)數(shù)的公式導(dǎo)數(shù)用f'(x)或df(x)/dx表示，其公式為：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)線性性質(zhì)導(dǎo)數(shù)滿足線性性質(zhì)，即常數(shù)倍和加減運(yùn)算。乘積法則兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。商法則兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分母的平方除以分子導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母導(dǎo)數(shù)?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)1常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.2冪函數(shù)冪函數(shù)y=x^n的導(dǎo)數(shù)為y'=nx^(n-1).3指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=a^x的導(dǎo)數(shù)為y'=a^x*ln(a).4對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(a)x的導(dǎo)數(shù)為y'=1/(x*ln(a)).復(fù)合函數(shù)的定義函數(shù)圖像在一個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)，一個(gè)函數(shù)的值域與另一個(gè)函數(shù)的定義域重合，則可以將這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合，形成復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)是指多個(gè)函數(shù)依次作用的結(jié)果，即把一個(gè)函數(shù)的輸出作為另一個(gè)函數(shù)的輸入。函數(shù)組合復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算符可以是任何函數(shù)符號(hào)，例如：f(g(x))，其中f和g都是函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一般法則1鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)u=u(x)y=f(u)則y=f[u(x)]的導(dǎo)數(shù)為2求導(dǎo)步驟先求外函數(shù)對(duì)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以內(nèi)函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的本質(zhì)是利用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行推導(dǎo)。鏈?zhǔn)椒▌t可以理解為，求導(dǎo)的過程是將外函數(shù)對(duì)內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)，再乘以內(nèi)函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)，以此類推，直到最終得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例題1：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)Step1確定復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)。Step2分別求出內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。Step3利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，將內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例題2：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1求導(dǎo)函數(shù)已知y=sin(x^2+1),求dy/dx.2應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t令u=x^2+1,則y=sin(u).3求解dy/dx=dy/du*du/dx=cos(u)*2x=2x*cos(x^2+1).例題3：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1求導(dǎo)利用鏈?zhǔn)椒▌t求解2復(fù)合函數(shù)確定內(nèi)外函數(shù)3表達(dá)式明確函數(shù)表達(dá)式復(fù)合函數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)當(dāng)一個(gè)方程無法直接將y表示成x的函數(shù)形式時(shí)，稱為隱函數(shù)，例如：x^2+y^2=1求導(dǎo)方法對(duì)整個(gè)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，然后利用鏈?zhǔn)椒▌t求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)注意在求導(dǎo)過程中，要注意y是x的函數(shù)，需要使用鏈?zhǔn)椒▌t例題4：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1步驟1：兩邊求導(dǎo)對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)2步驟2：整理將導(dǎo)數(shù)項(xiàng)整理到一邊3步驟3：解出導(dǎo)數(shù)將導(dǎo)數(shù)項(xiàng)解出來例題5：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)對(duì)等式兩邊求導(dǎo)整理將關(guān)于y’的項(xiàng)移到一邊，其他項(xiàng)移到另一邊解方程解出y’化簡(jiǎn)盡可能化簡(jiǎn)求出的結(jié)果復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，需要先求一階導(dǎo)數(shù)，再對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)。高階導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，需要重復(fù)求導(dǎo)過程，直到達(dá)到所需的階數(shù)。鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要使用鏈?zhǔn)椒▌t，將內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘。例題6：求復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)1二階導(dǎo)數(shù)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)兩次2三階導(dǎo)數(shù)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三次3高階導(dǎo)數(shù)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)四次及以上例題7：求復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)1已知y=sin(x^2)2求y''3解y'=2xcos(x^2)4y''y''=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)可導(dǎo)且f'(x)≠0，則它的反函數(shù)x=f-1(y)在區(qū)間f(I)上可導(dǎo)，且(f-1(y))'=1/f'(x)2推導(dǎo)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得，對(duì)等式y(tǒng)=f(x)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到dy/dx=f'(x)3應(yīng)用反函數(shù)求導(dǎo)公式可以用來求解一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如，lnx的導(dǎo)數(shù)可以利用exp(x)的反函數(shù)求得例題8：求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1步驟一求函數(shù)的反函數(shù)2步驟二求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3步驟三將反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)例題9：求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1已知y=f(x)=x3+2x2求y'=(f?1(x))'3步驟1.求反函數(shù)y=f?1(x)4步驟2.對(duì)反函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用優(yōu)化問題尋找函數(shù)的最大值或最小值，例如在生產(chǎn)成本、利潤(rùn)最大化等方面。物理學(xué)描述物體運(yùn)動(dòng)、能量變化等物理現(xiàn)象，例如速度、加速度的計(jì)算。經(jīng)濟(jì)學(xué)分析市場(chǎng)供求關(guān)系、價(jià)格變化等經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，例如邊際成本、邊際收益的計(jì)算。例題10：復(fù)合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用1求解極值利用導(dǎo)數(shù)找到函數(shù)的極值點(diǎn)2建立模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型3應(yīng)用場(chǎng)景例如，求利潤(rùn)最大化或成本最小化例題11：復(fù)合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用問題描述已知某公司生產(chǎn)成本函數(shù)為C(x)=2x^2+10x，其中x表示產(chǎn)量。求該公司生產(chǎn)成本最小時(shí)的產(chǎn)量。求解思路首先求出成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)C'(x)=4x+10，然后令導(dǎo)數(shù)為0，解得x=-2.5。結(jié)果驗(yàn)證由于生產(chǎn)成本函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，其圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，因此在x=-2.5處取得最小值。結(jié)論該公司生產(chǎn)成本最小時(shí)的產(chǎn)量為x=-2.5。例題12：復(fù)合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用問題描述已知一個(gè)圓形區(qū)域，半徑為r，求該圓形區(qū)域的面積最大值。求解步驟將圓形區(qū)域的面積公式視為一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其中圓形區(qū)域的面積S是半徑r的函數(shù)，而半徑r是某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，例如時(shí)間t。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，求解面積S關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)等于零，即可得到面積S的最大值。應(yīng)用場(chǎng)景復(fù)合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用非常廣泛，例如在生產(chǎn)管理中，如何優(yōu)化生產(chǎn)成本和利潤(rùn)；在市場(chǎng)營(yíng)銷中，如何優(yōu)化廣告投放策略；在工程設(shè)計(jì)中，如何優(yōu)化結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性等。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的注意事項(xiàng)注意內(nèi)外函數(shù)的求導(dǎo)順序，先求外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。不要忽略鏈?zhǔn)椒▌t，它在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中至關(guān)重要。檢查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果，確保沒有錯(cuò)誤。常見錯(cuò)誤及糾正忘記鏈?zhǔn)椒▌t在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，忘記應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。混淆導(dǎo)數(shù)和微分將導(dǎo)數(shù)和微分混淆，導(dǎo)致求導(dǎo)公式錯(cuò)誤。符號(hào)錯(cuò)誤在求導(dǎo)過程中，符號(hào)錯(cuò)誤，例如忘記負(fù)號(hào)或使用錯(cuò)誤的符號(hào)。練習(xí)題11求導(dǎo)2復(fù)合函數(shù)3應(yīng)用練習(xí)題21求函數(shù)y=sin(x^2+1)的導(dǎo)數(shù)2求函數(shù)y=ln(2x+1)的導(dǎo)數(shù)3求函數(shù)y=e^(cos(x))的導(dǎo)數(shù)練習(xí)題31求導(dǎo)2簡(jiǎn)化3驗(yàn)證復(fù)習(xí)與總結(jié)