2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的相似（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的相似（2024年9月）一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?交城縣期末）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)O，若OA＝1，OC＝3，BD＝7，則OD的長為（）A．72 B．4 C．214 D2．（2023秋?交城縣期末）如圖，在△ABC中，DE∥AB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，CF交DE于點(diǎn)G，且CDBDA．CEAE=32 C．DG＝EG D．S3．（2024?道里區(qū)校級開學(xué)）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使∠BAD＝∠C，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC：BC＝AD：BD B．AB2＝CD?BC C．AC：BC＝AB：AD D．AB2＝BD?BC4．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．5．（2023秋?岳陽縣期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點(diǎn)G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．DGBG=12 B．CDEF=126．（2024?海淀區(qū)校級模擬）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)A'是線段OA的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是（）A．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：1 B．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2 C．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的周長比為3：1 D．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為4：17．（2024?溫州模擬）如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2，今有井直徑CD為5尺，不知其深A(yù)D，立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點(diǎn)觀察井水水岸A處，測得“入徑CF”為4寸，問井深A(yù)D是多少？（其中1尺＝10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深A(yù)D為（）A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸8．（2024?陸豐市模擬）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（ParthenonTemple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD：DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割9．（2024?巧家縣模擬）如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．ADAC=CDBC D．AC210．（2024?五華區(qū)校級模擬）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，OC：CF＝1：2．若△ABC的周長為6，則△DEF的周長是（）A．6 B．12 C．18 D．24二．填空題（共5小題）11．（2024?哈爾濱模擬）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝15，BC＝24，AD是△ABC的角平分線，E在AC上，∠ADE＝30°，則線段DE的長為．12．（2024?永修縣校級模擬）已知ax=by=cz，則3x+2y-z3x-2y+z（其中3x﹣2y+z13．（2024?宛城區(qū)校級開學(xué)）已知34x=95y（x、y均不為0），則x，y成比例關(guān)系，x14．（2023秋?濰坊期末）已知a4=b3=c2≠015．（2024?湖北模擬）如圖，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM．若DPCP=12，則AEBE的值是三．解答題（共5小題）16．（2024?湖北模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)F，BE⊥CD，垂足為E，AC＝5，BC＝10．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AC＝CF，求AF和ED的長．17．（2024?榕江縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)G，連接DF、AC．（1）試判斷四邊形ACDF的形狀，并證明；（2）若CF＝12，求CG的長．18．（2024?斗門區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）當(dāng)AD＝2，AB＝3時，求AC的長．19．（2024?包河區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，并直接寫出C1點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出C2點(diǎn)坐標(biāo)；20．（2023秋?陵城區(qū)期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）以B為位似中心，在B的下方畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似且相似比為2：1；（3）直接寫出點(diǎn)A2和點(diǎn)C2的坐標(biāo)．

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的相似（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?交城縣期末）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)O，若OA＝1，OC＝3，BD＝7，則OD的長為（）A．72 B．4 C．214 D【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】先證明△AOB∽△COD，進(jìn)而得到OBOD=13，【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴OBOD∵OA＝1，OC＝3，∴OBOD∴ODBD∵BD＝7，∴OD7∴OD=21故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟記相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?交城縣期末）如圖，在△ABC中，DE∥AB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，CF交DE于點(diǎn)G，且CDBDA．CEAE=32 C．DG＝EG D．S【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】由DE∥AB得出△EDC∽△ABC，△ECG∽△ACF，△BCF∽△DCG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，△ECG∽△ACF，△BCF∽△DCG，∴DEBA=CDCB=∵CDBD∴CDCB∴CEAE=CEDEBA=3∵F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF，S△ACF∵DGBF=CDCB，∴DG∴DG＝EG故C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵CDCB=3∴S△CDGS△CBA故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2024?道里區(qū)校級開學(xué)）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使∠BAD＝∠C，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC：BC＝AD：BD B．AB2＝CD?BC C．AC：BC＝AB：AD D．AB2＝BD?BC【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似．【答案】D【分析】由已知條件：∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，可判定△ABD∽△CBA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC即：AB2＝BD?BC．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)隱含條件公共角∠B是解答此題的關(guān)鍵．4．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【解答】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；B、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)符合題意；D、陰影三角形中，∠A的兩邊分別為6﹣2＝4，8﹣5＝3，則兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023秋?岳陽縣期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點(diǎn)G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．DGBG=12 B．CDEF=12【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴DGBG∵AC＝CG，∴DGBG故A正確，不符合題意；∵CD∥EF，∴CDEF∵AC＝CG，AG＝FG，∴FG＝2CG，∴EG＝2DG，∴CDEF故B正確，不符合題意；∵AB∥CD∥EF，∴BGEG∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵DGBG∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴DGBE故C錯誤，符合題意；∵CD∥EF，∴CG∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴CGCF故D正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐一分析四個結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．6．（2024?海淀區(qū)校級模擬）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)A'是線段OA的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是（）A．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：1 B．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2 C．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的周長比為3：1 D．四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為4：1【考點(diǎn)】位似變換．【專題】圖形的相似；幾何直觀．【答案】D【分析】先利用位似的性質(zhì)得到A′B′：AB＝1：2，然后根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)A'是線段OA的中點(diǎn)，∴OA′：OA＝1：2，∴A′B′：AB＝1：2，∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為2：1，周長的比為2：1，面積比為4：1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．兩個位似圖形必須是相似形；對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或共線．7．（2024?溫州模擬）如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2，今有井直徑CD為5尺，不知其深A(yù)D，立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點(diǎn)觀察井水水岸A處，測得“入徑CF”為4寸，問井深A(yù)D是多少？（其中1尺＝10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深A(yù)D為（）A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)常識和相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：5尺＝50寸，設(shè)BC＝x尺．∵四邊形ABCD是矩形，∴CF∥AB，∴△EFC∽△EAB，∴CFAB∴450解得x＝575，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝575是分式方程的解．∴AD＝575（寸）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2024?陸豐市模擬）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（ParthenonTemple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD：DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割【考點(diǎn)】黃金分割；軸對稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答．【解答】解：神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（ParthenonTemple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD：DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2024?巧家縣模擬）如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．ADAC=CDBC D．AC2【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案．【解答】解：A、當(dāng)∠ACD＝∠B時，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；B、當(dāng)∠ADC＝∠ACB時，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；C、當(dāng)ADAC=CDBC時，無法得出△D、當(dāng)AC2＝AD?AB時，即ACAB=ADAC，再由∠A＝∠A，可得出△故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．10．（2024?五華區(qū)校級模擬）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，OC：CF＝1：2．若△ABC的周長為6，則△DEF的周長是（）A．6 B．12 C．18 D．24【考點(diǎn)】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得到△BOC∽△EOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BCEF【解答】解：∵OC：CF＝1：2，∴OC：OF＝1：3，∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△BOC∽△EOF，∴BCEF∴△ABC的周長：△DEF的周長＝1：3，∵△ABC的周長為6，∴△DEF的周長為18，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，熟記位似圖形的概念是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024?哈爾濱模擬）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝15，BC＝24，AD是△ABC的角平分線，E在AC上，∠ADE＝30°，則線段DE的長為221．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】221．【分析】先過點(diǎn)C作CT⊥AB于T，先算出BT=12，CT=123，再算出AC=AT2+CT2=21，然后過點(diǎn)B作BK∥AC交AD延長線于點(diǎn)K，證明△BDK∽△CDA，列式計算得BD＝10，CD＝14，運(yùn)用角的關(guān)系得出BD＝【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AB于T，∵BC＝24，∠ABC＝60°，∴BT=24∵AB＝15，∴AT＝AB﹣BT＝3，Rt△ACT中，AC=A過點(diǎn)B作BK∥AC交AD延長線于點(diǎn)K，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∵BK∥AC，∴∠K＝∠DAC，∴∠BAD＝∠K，∴BK＝AB＝15，∵∠BDK＝∠CDA，∴△BDK∽△CDA，∴BDCD∴BD＝10，CD＝14，∵∠B＝60°，∠BAD＝α，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°+α，∵∠ADE＝30°，∴∠EDC＝30°+α，∵∠DEC＝∠ADE+∠DAE＝30°+α，∴∠EDC＝∠DEC，∴EC＝CD＝14，∴AE＝AC﹣CE＝7，在AB上截取AF＝AE＝7，連接DF，∵AD＝AD，∴△FAD≌△EAD，∴DF＝DE，過點(diǎn)D作DL⊥AB于L，∴BL=5，Rt△DLF中，DF=2故答案為：2【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．（2024?永修縣校級模擬）已知ax=by=cz，則3x+2y-z3x-2y+z（其中3x﹣2y+z【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專題】分式；運(yùn)算能力．【答案】3a+2b-c3a-2b+c【分析】設(shè)xa=yb=zc=k，則x＝ak，【解答】解：∵ax∴x設(shè)xa則x＝ak，y＝bk，z＝ck，∴3x+2y-z3x-2y+z故答案為：3a+2b-c3a-2b+c【點(diǎn)評】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．13．（2024?宛城區(qū)校級開學(xué)）已知34x=95y（x、y均不為0），則x，y成正比例關(guān)系，x【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】正，512【分析】判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正、反比例，就看這兩種量是對應(yīng)的乘積一定還是商一定，如果是乘積一定，就成反比例，如果是商一定，就成正比例．【解答】解：因?yàn)?4x所以14x所以12x＝5y，所以xy所以x，y成正比例關(guān)系，xy故答案為：正，512【點(diǎn)評】本題考查了正比例、反比例的判斷，組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．14．（2023秋?濰坊期末）已知a4=b3=c2≠0【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專題】計算題；運(yùn)算能力．【答案】75【分析】設(shè)a4=b3=c2=k(k≠0)，則a＝4k，b＝【解答】解：∵a4∴可設(shè)a4∴a＝4k，b＝3k，c＝2k，∴a+bb+c故答案為：75【點(diǎn)評】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．15．（2024?湖北模擬）如圖，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM．若DPCP=12，則AEBE的值是【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】1213【分析】延長MN，BC交于點(diǎn)Q．根據(jù)△DMP∽△CQP得出MDQC【解答】解：如圖，延長MN，BC交于點(diǎn)Q．∵AD∥BC，∴△DMP∽△CQP．∴MDQC∴QC＝2MD，QP＝2MP，設(shè)DP＝a，MD＝x，則CP＝2a，QC＝2x，正方形ABCD邊長為3a，∴BQ＝3a+2x．由翻折和正方形的性質(zhì)可得，∠EMP＝∠EBC＝90°，EM＝EB＝3a﹣AE．∴∠EMB＝∠EBM．∴∠EMP﹣∠EMB＝∠EBC﹣∠EBM，即∠BMP＝∠MBC，∴MQ＝BQ＝3a+2x．∴MP=1在Rt△DMP中，MD2+DP2＝MP2，∴x2解得：x1＝0（舍），x2∴AM=3a-在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，∴A解得：AE=36∴BE=EM=3a-∴AEBE故答案為：1213【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2024?湖北模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)F，BE⊥CD，垂足為E，AC＝5，BC＝10．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AC＝CF，求AF和ED的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）AF=25，ED＝3【分析】（1）由直徑所對的圓周角等于90°得出∠ACB＝90°，由已知條件可知∠BED＝90°，由同弧所對的圓周角相等得出∠BDE＝∠BAC，即可證明△DBE∽△ABC．（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，由勾股定理求出AB，證明△ACG∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出AC2＝AG?AB，求出AG，由等腰三角形的性質(zhì)得出FG=AG=5，∠CAF＝∠CFA，即可求出AF，根據(jù)對頂角相等以及同弧所對的圓周角相進(jìn)一步得出∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，進(jìn)一步可求出BD，由（1）得結(jié)論得出BDAB=【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵BC?所對的圓周角為∠BDE和∠BAC∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC．（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝10，∴AB=A∵CG⊥AB，∴AGC＝∠ACB＝90°，又∠A＝∠A，∴△ACG∽△ABC，∴ACAB即AC2＝AG?AB，∴AG=5∵AC＝CF，∴FG=AG=5，∠CAF＝∠CFA∴AF=25∵∠CFA＝∠BFD，∠CAF＝∠BDF，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD=BF=AB-∵△DBE∽△ABC，∴BDAB即35∴ED＝3．【點(diǎn)評】本題主要考查了直徑所對的圓周角等于90°，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2024?榕江縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)G，連接DF、AC．（1）試判斷四邊形ACDF的形狀，并證明；（2）若CF＝12，求CG的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）四邊形ACDF是平行四邊形，見解析；（2）CG＝4．【分析】（1）先證明△AEF≌△DEC（ASA），則AF＝CD，可證四邊形ACDF是平行四邊形；（2）先證明△BCG∽△DEG，再由相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）四邊形ACDF是平行四邊形，證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD邊上的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∠FAE=∴△AEF≌△DEC（ASA），∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ACDF是平行四邊形；（2）∵四邊形ACDF是平行四邊形，∴ AE=DE=12DA，CE∵CF＝12，∴CE＝6，∵四邊形ACDF是平行四邊形，∴CB∥DA，BC＝DA，∴△BCG∽△DEG，DE=1∴CGEG∴CG＝4．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．18．（2024?斗門區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）當(dāng)AD＝2，AB＝3時，求AC的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）6．【分析】（1）利用∠ABC＝∠ACD，加上∠CAB＝∠DAC，則根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論；（2）由于△ABC∽△ACD，則利用相似比可求出AC的長．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ACD，∠CAB＝∠DAC，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ABAC=AC∴AC=6【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．利用相似三角形的性質(zhì)可以計算相應(yīng)線段的長．19．（2024?包河區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，并直接寫出C1點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出C2點(diǎn)坐標(biāo)；【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換；作圖﹣軸對稱變換．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀．【答案】（1）△A1B1C1見解答，（3，2）；（2）△A2B2C2見解答，（﹣6，4）．【分析】（1）分別作出三個頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）根據(jù)位似圖形的概念作出三個頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，由圖知，C1點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，C2點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，4）．【點(diǎn)評】本題主要考查作圖—軸對稱變換與位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換與位似變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點(diǎn)．20．（2023秋?陵城區(qū)期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）以B為位似中心，在B的下方畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似且相似比為2：1；（3）直接寫出點(diǎn)A2和點(diǎn)C2的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換；點(diǎn)的坐標(biāo)；作圖﹣軸對稱變換．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點(diǎn)即可求解；（3）根據(jù)作圖直接寫出坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）如圖1所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2BC2即為所求；（3）依據(jù)圖2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱變換的性質(zhì)，位似變換的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱變換以及位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．點(diǎn)的坐標(biāo)（1）我們把有順序的兩個數(shù)a和b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a，b）．（2）平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念①建立平面直角坐標(biāo)系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點(diǎn)且垂直的數(shù)軸．②各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸（橫軸），豎直數(shù)軸叫y軸（縱軸），x軸一般取向右為正方向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點(diǎn)叫坐標(biāo)系的原點(diǎn)．它既屬于x軸，又屬于y軸．（3）坐標(biāo)平面的劃分建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個象限．（4）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系．2．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．3．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．6．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．8．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．9．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．10．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．11．作圖-軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；③連接這些對稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形．④作出的垂線為最短路徑．12．翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．13．平移的性質(zhì)（1）平移的條件平移的方向、平移的距離（2）平移的性質(zhì)①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同