【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)浙教版】第12講 特殊三角形重難點(diǎn)題目訓(xùn)練 -【專題突破】（解析版）

第第頁第12講特殊三角形重難點(diǎn)題目訓(xùn)練一．選擇題（共11小題）1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正確的是（）A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④【分析】只要證明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正確，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正確，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正確，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正確，故選：A．2．（共斜邊的直角三角形＋勾股定理）如圖，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D點(diǎn)，CE⊥AB于E點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC、DE的中點(diǎn)，若ED＝10，則FG的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．8 D．9【分析】連接EF、DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：連接EF、DF，∵BD⊥AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G為DE的中點(diǎn)，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，F(xiàn)G＝＝2，故選：A．3．（直角三角形勾股定理與面積）如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個(gè)正三角形，則S1、S2、S3、S4的關(guān)系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定【分析】如圖，設(shè)Rt△ABC的三條邊AB＝c，AC＝b，BC＝a，根據(jù)△ACG，△BCH，△ABF是等邊三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根據(jù)勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)Rt△ABC的三條邊AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等邊三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故選：C．4．（軸對(duì)稱與勾股定理綜合）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)是（）A．3 B．5 C． D．6【分析】連接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性質(zhì)得出CF＝DF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CE＝DE，由SSS證明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，設(shè)CE＝DE＝x，則BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：連接DE，如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，設(shè)CE＝DE＝x，則BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故選：B．5．（勾股定理＋中點(diǎn)）如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，則AB的長(zhǎng)為（）A．10 B．4 C． D．8【分析】設(shè)EC＝x，DC＝y(tǒng)，則直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程組可求得x、y，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理求得AB．【解答】解：設(shè)EC＝x，DC＝y(tǒng)，∠ACB＝90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25．在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55，解得x＝，y＝．在直角△ABC中，AB＝＝＝8．故選：D．6．（勾股定理與面積規(guī)律）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】過F作AM的垂線交AM于D，通過證明S2＝SRt△ABC；S3＝S△FPT；S4＝SRt△ABC，進(jìn)而即可求解．【解答】解：過F作AM的垂線交AM于D，可證明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝SRt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可進(jìn)一步證得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可證得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．易證Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝SRt△ABC，∴S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC＝6﹣6+6＝6，故選：B．7．（勾股定理與整體思想）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高線，E是邊AC上一點(diǎn)，分別作EF⊥AD于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，幾何原本中曾用該圖證明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD與△AEF的面積和為8.5，BG＝5，則CG的長(zhǎng)為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，從而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【解答】解：由題意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，S，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故選：C．8．（等邊三角形“手拉手”模型）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列六個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤BD∥MN．⑥CP平分∠BPD其中，正確的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，則∠ACE＝60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根據(jù)“ASA”判斷△ACN≌△BCM，即可解決問題；③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，則∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BPD＝120°，即可得到結(jié)論；④由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根據(jù)“ASA”判斷△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；⑤由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，則根據(jù)等邊三角形的判定即可得到△CMN為等邊三角形，得到∠CMN＝60°，所以∠CMN＝∠BCM，于是根據(jù)平行線的判定即可得到MN∥BC；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根據(jù)角平分線的判定定理即可得到CP平分∠BPD．【解答】證明：①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正確；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN＝BM，∠BMC＝∠ANC；故②④正確；③∵∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE+∠CDA＝60°，∴∠BPD＝120°，∴∠APM＝60°；故③正確；⑤∵△ACN≌△BCM，∴CN＝BM，而∠MCN＝60°，∴△CMN為等邊三角形；∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠BCM，∴MN∥BC；故⑤正確；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，∵△ACD≌△BCE，∴CQ＝CH，∴CP平分∠BPD，故⑥正確．正確的有：①②③④⑤⑥，共6個(gè)．故選：D．9．（三角形與特殊三角形性質(zhì)的綜合）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G．下列結(jié)論正確的有（）個(gè)．①BF＝AC；②CE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF＝BC；⑤；A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由“AAS”可證△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得AE＝EC＝AC＝BF，故②正確，由角的數(shù)量關(guān)系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正確．由全等三角形的性質(zhì)可得DF＝DA，則可得BC＝AB＝BD+DF，故④正確；由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)F到AB的距離等于點(diǎn)F到BC的距離，由三角形的面積公式可求＝，故⑤正確，即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正確．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正確，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，∴△DGF是等腰直角三角形，故③正確．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正確；∵BE平分∠ABC，∴點(diǎn)F到AB的距離等于點(diǎn)F到BC的距離，∴＝，故⑤正確，故選：A．10．（折疊與勾股定理求長(zhǎng)度）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝2，BC＝3，將△CBE沿直線CE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)F處，則線段FG的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．1【分析】由將△CBE沿直線CE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，CF＝EF，設(shè)FG＝x，則CF＝EF＝x+2，根據(jù)勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵將△CBE沿直線CE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，設(shè)FG＝x，則CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，F(xiàn)G2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故選：A．11．（三角形與特殊三角形性質(zhì)的綜合）如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，D為斜邊AB的中點(diǎn)，Rt∠EDF在△ABC內(nèi)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊AC，BC點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合），下列說法正確的是（）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由“ASA”可證△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判斷①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判斷②，由特殊位置可求CD的范圍，可判斷③，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝△CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正確；∴EC＝BF，∵CF2+CE2＝EF2；∴BF2+AE2＝EF2；故②正確；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，EF＝AC＝CD，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，則DF⊥BC，∴四邊形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴CD≤EF＜CD，故③錯(cuò)誤，故選：A．二．填空題（共7小題）12．（中垂線性質(zhì)定理與特殊角的應(yīng)用）在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，DE＝2，則AC的長(zhǎng)為．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，說明△BCE和△ADB是等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BEA和∠BDC的度數(shù)，利用特殊的直角三角形的性質(zhì)求出BE、DB的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，∴CE＝BE，BD＝AD．∴∠C＝∠CBE＝30°，∠A＝∠ABD＝15°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，∠BEA＝∠C+∠CBE＝60°．∴∠EBD＝90°．在Rt△BED中，∵ED＝2，∠BDC＝30°，∴BE＝1，BD＝．∴CE＝BE，AD＝BD．∴AC＝CE+AD+ED＝1+2+＝3+．故答案為：3+．13．（特殊三角形的判定）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝度．【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，△EBE′是直角三角形，進(jìn)而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：連接EE′∵△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE與△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案為：135．14．（趙爽弦圖）如圖由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，則S2的值是．【分析】先設(shè)一個(gè)直角三角形的面積為x，然后結(jié)合正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積關(guān)系和S1+S2+S3＝60得到S2的值．【解答】解：設(shè)一個(gè)直角三角形的面積為x，∵圖中的三角形全等，∴S1＝S2﹣4x，S3＝S2+4x，∵S1+S2+S3＝60，∴S2﹣4x+S2+S2+4x＝60，∴S2＝20．故答案為：20．15．（直角三角形的分類討論）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B與B′是關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)△CPB'是直角三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)＝．【分析】分兩種情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：如圖1中，當(dāng)∠PCB′＝90°時(shí)，設(shè)PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性質(zhì)可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．如圖2中，當(dāng)∠CPB′＝90°，設(shè)PB＝y(tǒng)．過點(diǎn)A作AT⊥B′P交B′P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則四邊形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍棄），∴PB＝1，綜上所述，PB的值為：1或．16．（將軍飲馬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．【分析】如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．首先證明E，A，F(xiàn)共線，則PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F(xiàn)共線，∵M(jìn)E＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2PA，∴當(dāng)PA⊥BC時(shí)，PA的值最小，此時(shí)PA＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值為．故答案為：．17．（角平分線與將軍飲馬）如圖，BD是Rt△ABC的角平分線，點(diǎn)F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，已知AC＝2，AE＝2﹣2，∠ABC＝30°，則：（1）BE＝．（2）AF+EF的最小值是．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC＝2AC＝4，由勾股定理得到AB＝＝＝2，于是得到結(jié)論；（2）作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)A′落在BC上，求得A′B＝AB＝2，連接A′E交BD于F，則此時(shí)AF+EF的值最小且等于A′E，過E作EH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AE＝2﹣2，∴BE＝2；故答案為：2；（2）作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A′，∵BD是Rt△ABC的角平分線，∴點(diǎn)A′落在BC上，∴A′B＝AB＝2，連接A′E交BD于F，則此時(shí)AF+EF的值最小且等于A′E，過E作EH⊥BC于H，∴EH＝BE＝1，BH＝＝，∴A′H＝，∴BH＝A′H，∴A′E＝BE＝2，∴AF+EF的最小值是2，故答案為：2．18．（折疊與直角三角形分類討論）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)D在AB上，連結(jié)CD，將△ADC沿CD折疊，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為E，CE交AB于點(diǎn)F，△DEF為直角三角形，則CF＝．【分析】分兩種情況討論，當(dāng)∠EFD＝90°時(shí)和當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，然后利用折疊的性質(zhì)和含30°角的直角三角形三邊關(guān)系求解．【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，∠B＝60°，由折疊得，∠E＝∠A＝30°，①如圖1，當(dāng)∠EFD＝90°時(shí)，∠BFC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝×2＝1，CF＝BF＝；②如圖2，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，∵∠E＝30°，∴∠EFD＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等邊三角形，∴CF＝BC＝2，綜上所述，當(dāng)△BFC為直角三角形時(shí)，CF＝2或．故答案為：2或．三．解答題（共8小題）19．（“兩定一動(dòng)”型等腰三角形分類討論）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，CD＝，AD＝；（請(qǐng)直接寫出答案）（2）當(dāng)△CBD是直角三角形時(shí)，t＝；（請(qǐng)直接寫出答案）（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是等腰三角形？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)CD＝速度×?xí)r間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD＝AC﹣CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）分①∠CDB＝90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算；②∠CBD＝90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可得解；（3）分①CD＝BD時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE＝BE，從而得到CD＝AD；②CD＝BC時(shí)，CD＝6；③BD＝BC時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD＝2CF，再由（2）的結(jié)論解答．【解答】解：（1）t＝2時(shí)，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；（2）①∠CDB＝90°時(shí)，S△ABC＝AC?BD＝AB?BC，即×10?BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，t＝10÷1＝10秒，綜上所述，t＝3.6或10秒；故答案為：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BD時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則CE＝BE，∴CD＝AD＝AC＝×10＝5，t＝5÷1＝5；②CD＝BC時(shí)，CD＝6，t＝6÷1＝6；③BD＝BC時(shí)，如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，綜上所述，t＝5秒或6秒或7.2秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．20．（直角三角形判定與角度轉(zhuǎn)化）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠HAC＝30°，∠ACD＝α，點(diǎn)D是線段AH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)E，連接DE交BC于點(diǎn)F．（1）連接BE，求證：△ACD≌△BCE；（2）當(dāng)α＝15°時(shí)，判斷△BEF是什么三角形？并說明理由．（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△BEF是銳角三角形時(shí)，求α的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理證明△ACD≌△BCE；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠CEB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC，用α表示出∠BEF，根據(jù)銳角的概念列式計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝15°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∴△BEF是直角三角形；（3）解：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝150°﹣α，∠CBE＝∠CAD＝30°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣α﹣45°＝105°﹣α，由題意得：105°﹣α＜90°，180°﹣30°﹣（105°﹣α）＜90°，解得：15°＜α＜45°．21．（操作類等腰三角形分類討論）我們數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)書本第64頁作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形．你能辦到嗎？請(qǐng)畫出示意圖說明理由．小明在做此題時(shí)發(fā)現(xiàn)有多種剪法，圖1為其中一種方法示意圖．定義：如果我們用n條線段將一個(gè)三角形分成n+1個(gè)等腰三角形，我們把這種分法叫做這個(gè)三角形的n+1等分線圖．顯然，如圖1所示的剪法是這個(gè)三角形的3等分線圖．（1）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，請(qǐng)你畫出一個(gè)這個(gè)△ABC的4等分線的示意圖．（2）請(qǐng)你探究：如圖3，邊長(zhǎng)為1的正三角形是否具有4等分線圖．若無，請(qǐng)說明理由；若有，請(qǐng)畫出所有符合條件的這個(gè)正三角形的4等分線圖（若兩種方法分得的三角形分別成4對(duì)全等三角形，則視為一種．）【分析】（1）取三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，并連接，即可畫出一個(gè)這個(gè)△ABC的4等分線的示意圖；（2）①如圖，取三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，得4個(gè)等邊三角形；②作CF⊥AB于點(diǎn)F，取CA和CB的中點(diǎn)D，E，連接DF，EF，得△ADF和△BEF是等邊三角形，△CDF和△CEF是底角為30°的等腰三角形；③如圖，在CA上取點(diǎn)E，在CB上取點(diǎn)F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中點(diǎn)D，連接DA，DB，△AEF是等邊三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．【解答】解：（1）如圖2，取三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，并連接，得4個(gè)等腰三角形；（2）①如圖，取三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，得4個(gè)等邊三角形；②如圖，作CF⊥AB于點(diǎn)F，取CA和CB的中點(diǎn)D，E，連接DF，EF，得△ADF和△BEF是等邊三角形，△CDF和△CEF是底角為30°的等腰三角形；③如圖，在CA上取點(diǎn)E，在CB上取點(diǎn)F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中點(diǎn)D，連接DA，DB，所以△AEF是等邊三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．22．（特殊三角形與方程思想）如圖，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q，P關(guān)于直線BC對(duì)稱，QD⊥AB于點(diǎn)D，DQ與BC交于點(diǎn)E，連結(jié)DP，設(shè)AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的長(zhǎng)，并用含m的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，若AP＝PD，求CP的長(zhǎng)；（3）連結(jié)PE，若∠A＝60°，△PCE與△PDE的面積之比為1：2，求m的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根據(jù)對(duì)稱性PQ＝2PC，可得結(jié)論；（2）證明PA＝PQ，構(gòu)建方程求出m即可．（3）證明DE＝EQ，設(shè)DE＝EQ＝x，根據(jù)BC＝5，構(gòu)建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得結(jié)論．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q關(guān)于BC對(duì)稱，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）當(dāng)AP＝PD時(shí)，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴PA＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，設(shè)DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB?＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ?＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．23．（特殊三角形動(dòng)點(diǎn)問題）如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動(dòng)，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為O′．（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是；（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出OP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）接BP，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）分P在x軸的正半軸和負(fù)半軸：①當(dāng)P在x軸的正半軸時(shí)，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；②當(dāng)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，同理可得結(jié)論；（3）分4種情況：分別以P、B、Q三點(diǎn)所成的角為頂角討論：①當(dāng)BQ＝QP時(shí)，如圖2，P與O重合，②當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖3，③當(dāng)PB＝PQ時(shí)，如圖4，此時(shí)Q與C重合；④當(dāng)PB＝BQ時(shí)，如圖5，此時(shí)Q與A重合，則P與A關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)圖形和等腰三角形的性質(zhì)可計(jì)算OP的長(zhǎng)．【解答】解：（1）連接BP，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB?h＝AP?OB，∴h＝OB＝4，即點(diǎn)P到直線AB的距離是4，故答案為：4；（2）存在兩種情況：①如圖1，當(dāng)P在x軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，則OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折疊得：