2024-2025學(xué)年浙江省衢州市五校聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則集合可用列舉法表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，所以.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，故x<1是的必要不充分條件.故選：B.3.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C.或 D.不存在【答案】A【解析】由是冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不符合題意，所以.故選：A.4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可知是由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得只需使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減即可，易知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以可得，即；即的取值范圍是.故選：D.6.若，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，則，則，，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故選：B.7.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)．已知函數(shù)，則下列函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，即，對(duì)于A，令，則，又，因此可得，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，令，則，又，則，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，又，則，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，，則，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：A.8.若且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，對(duì)于A，當(dāng)，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上增函數(shù)，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，D對(duì).故選：BCD.10.若關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.的解集為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】AC【解析】由題可得是方程的兩個(gè)根，，對(duì)于A，不等式化為，解得，故A正確；對(duì)于B，，令，又，則在單調(diào)遞減，則，即，沒有最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，沒有最小值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.定義：如果關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“和諧方程”．下列命題正確的是（）A.方程是“和諧方程”B.若關(guān)于的方程是“和諧方程”，則C.若關(guān)于的方程是“和諧方程”，則的函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是和D.若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是“和諧方程”【答案】BCD【解析】由，則方程的兩根為，又，則方程不是“和諧方程”，故A錯(cuò)誤；若關(guān)于的方程是“和諧方程”，設(shè)，又，，解得，或，，故B正確；若關(guān)于的方程是“和諧方程”，設(shè)，又，，，則，即，又，解得方程的兩根為，即的函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是和，故C正確；點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，則關(guān)于的方程，解得方程的兩根為，又，即關(guān)于的方程是“和諧方程”，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】因?yàn)槿Q量詞命題否定是特稱（存在）量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”，13.______．【答案】【解析】.14.已知函數(shù)，關(guān)于的方程恰有2個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖，由，即，即或，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有2個(gè)不同的解，結(jié)合圖象可知，時(shí)有2個(gè)不同的解，所以無解或，則或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：共77分．解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）判斷是否為集合中的元素，并說明理由；（2）若全集，求，．解：（1）不是集合中的元素，理由如下：由可得，解得或，所以，或，因此，.（2）且，所以，或，又因?yàn)?，?16.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1），，，．（2）若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)任意，恒成立，即，即，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，則在上最大值小于，．17.某市為迎接國(guó)慶游客，出臺(tái)了一系列政策.已知該市最多能容納游客35萬人，每萬名游客平均可創(chuàng)造160萬元的經(jīng)濟(jì)效益.已知該市維持旅游市場(chǎng)的成本分為固定成本和流動(dòng)成本兩部分，其中固定成本為300萬元/年，每接待萬名游客需要投入的流動(dòng)成本為（單位：萬元），當(dāng)游客人數(shù)不超過14萬人時(shí)，；當(dāng)游客人數(shù)超過14萬人時(shí)，．（1）寫出該市旅游凈收入（萬元）關(guān)于游客人數(shù)（萬人）的函數(shù)解析式；（注：旅游凈收入旅游收入固定成本流動(dòng)成本）；（2）當(dāng)游客人數(shù)達(dá)到多少萬人時(shí)，該市的旅游凈收入能達(dá)到最大？解：（1）根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.（2）當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取得最大值1250，即為使該市旅游凈收入達(dá)到最大，游客人數(shù)應(yīng)為9萬人．18.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍．解：（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，所以，即，解得，此時(shí)，滿足，即為奇函數(shù)，故的值為．（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：由（1）知，，且，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即函?shù)在上單調(diào)遞減，即為上的減函數(shù)．（3）由，則，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得成立，所以，解得．所以的取值范圍為．19.設(shè)，用x表示不超過的最大整數(shù)，則y=x稱為取整函數(shù)，例如，，．取整函數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最先使用的，所以也稱高斯函數(shù)．該函數(shù)具有以下性質(zhì)：①y=x的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋虎谌我鈱?shí)數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即x=x+x0≤x<1，其中x為（1）若，求關(guān)于的方程的解；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）①，此時(shí)，，則方程可化為，解得，符合題意．②，此時(shí)，，則方程可化為，解得，符合題意．③，此時(shí)，，則方程可化為，解得，符合題意．綜上所述，若，關(guān)于的方程的解為或或．（2）①，此時(shí)，，，此時(shí)不等式恒成立．②，此時(shí)，，則不等式可化為，解得，又，．③，此時(shí)，，則不等式可化，解得，又，．④，此時(shí)，，，此時(shí)不等式無解．綜上所述，關(guān)于的不等式的解集為．（3）①，此時(shí)，則不等式可化為，整理得：在上恒成立，設(shè)，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，．②，此時(shí)，則不等式可化為，整理得：在上恒成立，設(shè)，，令，，則，，且，則，又，則，，，，故在上單調(diào)遞減．即在上單調(diào)遞減．，．又，綜上所述，．浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則集合可用列舉法表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，故x<1是的必要不充分條件.故選：B.3.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C.或 D.不存在【答案】A【解析】由是冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不符合題意，所以.故選：A.4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可知是由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得只需使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減即可，易知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以可得，即；即的取值范圍是.故選：D.6.若，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，則，則，，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故選：B.7.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)．已知函數(shù)，則下列函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，即，對(duì)于A，令，則，又，因此可得，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，令，則，又，則，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，又，則，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，，則，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：A.8.若且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，對(duì)于A，當(dāng)，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上增函數(shù)，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，D對(duì).故選：BCD.10.若關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.的解集為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】AC【解析】由題可得是方程的兩個(gè)根，，對(duì)于A，不等式化為，解得，故A正確；對(duì)于B，，令，又，則在單調(diào)遞減，則，即，沒有最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，沒有最小值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.定義：如果關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“和諧方程”．下列命題正確的是（）A.方程是“和諧方程”B.若關(guān)于的方程是“和諧方程”，則C.若關(guān)于的方程是“和諧方程”，則的函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是和D.若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是“和諧方程”【答案】BCD【解析】由，則方程的兩根為，又，則方程不是“和諧方程”，故A錯(cuò)誤；若關(guān)于的方程是“和諧方程”，設(shè)，又，，解得，或，，故B正確；若關(guān)于的方程是“和諧方程”，設(shè)，又，，，則，即，又，解得方程的兩根為，即的函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是和，故C正確；點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，則關(guān)于的方程，解得方程的兩根為，又，即關(guān)于的方程是“和諧方程”，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】因?yàn)槿Q量詞命題否定是特稱（存在）量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”，13.______．【答案】【解析】.14.已知函數(shù)，關(guān)于的方程恰有2個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖，由，即，即或，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有2個(gè)不同的解，結(jié)合圖象可知，時(shí)有2個(gè)不同的解，所以無解或，則或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：共77分．解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）判斷是否為集合中的元素，并說明理由；（2）若全集，求，．解：（1）不是集合中的元素，理由如下：由可得，解得或，所以，或，因此，.（2）且，所以，或，又因?yàn)?，?16.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1），，，．（2）若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)任意，恒成立，即，即，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，則在上最大值小于，．17.某市為迎接國(guó)慶游客，出臺(tái)了一系列政策.已知該市最多能容納游客35萬人，每萬名游客平均可創(chuàng)造160萬元的經(jīng)濟(jì)效益.已知該市維持旅游市場(chǎng)的成本分為固定成本和流動(dòng)成本兩部分，其中固定成本為300萬元/年，每接待萬名游客需要投入的流動(dòng)成本為（單位：萬元），當(dāng)游客人數(shù)不超過14萬人時(shí)，；當(dāng)游客人數(shù)超過14萬人時(shí)，．（1）寫出該市旅游凈收入（萬元）關(guān)于游客人數(shù)（萬人）的函數(shù)解析式；（注：旅游凈收入旅游收入固定成本流動(dòng)成本）；（2）當(dāng)游客人數(shù)達(dá)到多少萬人時(shí)，該市的旅游凈收入能達(dá)到最大？解：（1）根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.（2）當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取得最大值1250，即為使該市旅游凈收入達(dá)到最大，游客人數(shù)應(yīng)為9萬人．18.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍．