2024屆江蘇省南京市、鹽城市高三上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題1.（）A.5 B. C.1 D.7【答案】D【解析】，故選:D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，解得，即，而，所以.故選：B3.已知，，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，則，但是，不是充分條件，當時，因為，，所以，即，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以是必要條件，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，令，，，所以是偶函數(shù)，故A正確；對于B，令，，，所以是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，，，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，令，，，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：A.5.從4位男同學、5位女同學中選出3位同學，男女生都要有的選法有（）A.140種 B.44種 C.70種 D.252種【答案】C【解析】利用間接法可得男女生都要有的選法種數(shù)為.故選：C.6.已知反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為x軸和y軸，兩條漸近線的夾角為，將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，由此可求得其離心率為.已知函數(shù)的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線和y軸，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象位于上方，由于和y軸是漸近線，所以兩條漸近線之間的夾角，故，不妨將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),則可得到其焦點在軸上的雙曲線，且兩條漸近線之間的夾角，因此其中一條漸近線的傾斜角為，因此，進而可得故選：C.7.已知直線l與橢圓在第二象限交于，兩點，與軸，軸分別交于，兩點（在橢圓外），若，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)：（，），設(shè)，，聯(lián)立，得，由題意知，所以，，設(shè)的中點為，連接，因為，所以，得，又因為，，所以也是的中點，所以的橫坐標為，從而得，因為交在第二象限，解得，設(shè)直線傾斜角為，得，得，故A正確.故選：A.8.平面向量，，滿足，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，而，因為，所以.故選：B.二、多項選擇題9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要》中明確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測評，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)甲村的評分X和乙村的評分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（）A.X對應(yīng)的正態(tài)曲線比Y對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平B.甲村的平均分低于乙村的平均分C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等D.乙村的高度滿意率比不滿意率大【答案】BCD【解析】A選項，曲線越扁平，說明評分越分散，方差較大，因為，所以Y對應(yīng)正態(tài)曲線比X對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平，A錯誤；B選項，甲村的平均分為70，乙村的平均分為75，故B正確；C選項，因為甲村的平均分為70，由對稱性知，C正確；D選項，因為乙村的平均分為75，由對稱性知，D正確.故選：BCD.10.已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（）A.若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B.，，一定是等比數(shù)列C.若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D.若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列【答案】AC【解析】A選項，設(shè)公比為，故，解得或，若正項數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；B選項，當且為偶數(shù)時，，，均為0，不合要求，B錯誤：C選項，若，則單調(diào)遞增，此時不存在，使對都成立，若，此時，故存在，使得對都成立，此時為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；D選項，由C選項可知，，故當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，顯然不是等差數(shù)列，D錯誤.故選：AC.11.設(shè)M，N，P為函數(shù)圖象上三點，其中，，，已知M，N是函數(shù)的圖象與x軸相鄰的兩個交點，P是圖象在M，N之間的最高點，若，的面積是，M點的坐標是，則（）A. B.C. D.函數(shù)在M，N間的圖象上存在點Q，使得【答案】BCD【解析】，而，故，，，A錯誤、B正確；，（），而，故，C正確；顯然，函數(shù)的圖象有一部分位于以為直徑的圓內(nèi)，當位于以為直徑的圓內(nèi)時，，D正確，故選:BCD.12.在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（）A.⊥ B.C. D.點O不可能在平面內(nèi)【答案】AC【解析】A選項，四棱錐的外接球為為頂點的球，而四點共面，故這四點必共圓，又，故為直徑，⊥，A正確：B選項，由A可知，四點共圓，又，為直徑，若四邊形為正方形，此時，，B錯誤；C選項，因為平面，所以球心到兩點的距離相等，即球心在的垂直平分線上，故到平面距離為到平面距離的一半，故，C正確；D選項，當四邊形為正方形時，連接，相交于點，則⊥平面，結(jié)合球心在的垂直平分線上，此時為中點，點O在平面上，D錯誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.滿足的函數(shù)可以為______.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】可令，滿足要求.故答案為：.（答案不唯一）14.的值為______.【答案】-2【解析】故答案為：-2.15.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知點F為拋物線C：（）的焦點，從點F出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點反射后，反射光線經(jīng)過點，若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：相切，則p的值是______.【答案】【解析】當時，，故入射光線經(jīng)過和，，故入射光線的方程為，化簡得，圓心，半徑為，所以，而，故，，解得.故答案為：16.若數(shù)列滿足，（），則______.【答案】3268【解析】由題意可得，作差得，故，故答案為：3268.四、解答題17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求的前50項和.解：（1）由，得（），兩式相減得：（），即（），當時，，得，所以（），故是首項為，公比為的等比數(shù)列.從而.（2）由（1）得.所以18.在平行六面體中，底面為正方形，，，側(cè)面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.（1）證明：因為底面為正方形，所以，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：因為，，連接，則為正三角形，取中點，則，由平面及平面，得，又，所以底面，過點作交于，如圖以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量，所以令，則，可得平面的法向量.所以，故直線和平面所成角的正弦值為.19.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大?。唬?）若點D在邊AC上，BD平分，，求BD長的最大值.解：（1）因為，由正弦定理得，由得，所以，即.因為，所以.又，所以.因為，所以.（2）由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，從而，當且僅當取等號.則，當且僅當取等號，則長的最大值為3.20.春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、B、C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A中獎概率是，項目B和C中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、C三個項目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目.已知某顧客中獎了，求他參加的是A項目的概率.解：（1）設(shè)一位顧客獲得元獎券，則的可能取值為100，50，0，，，，所以每位顧客獲得獎券金額的期望是（元）（2）設(shè)“該顧客中獎”為事件，參加項目A，，分別記為事件，，，則，所以，即已知某顧客中獎了，則他參加的是A項目的概率是.21.已知函數(shù)（）.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象與x軸相切，求證：.（1）解：當時，，，所以，又當時，恒成立所以在上單調(diào)遞增，所以當時，；當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：，設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，則即，即所以，設(shè)，則在上單調(diào)遞增且圖象不間斷，又，，所以，由得，又因為，所以，則，所以，即.而在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，得證.22.已知雙曲線C：（，）的兩個焦點是，，頂點，點M是雙曲線C上一個動點，且的最小值是.（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)點P是y軸上異于C的頂點和坐標原點O的一個定點，直線l過點P且平行于x軸，直線m過點P且與雙曲線C交于B，D兩點，直線AB，AD分別與直線l交于G，H兩點.若O，A，G，H四點共圓，求點P的坐標.解：（1）（法一）已知雙曲線方程是（，），由頂點得，所以，設(shè)點，，，，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為，所以，所以，，故雙曲線：.（法二）.當且僅當時取等號，故的最小值為，所以，所以，，故雙曲線：.（2）（法一）設(shè)點，，，則直線：，設(shè)直線的方程為，，設(shè)點，，聯(lián)立，消去得，其中，，，（*），設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以或，故直線的斜率與直線的斜率滿足.因為直線的方程是，所以，所以，且，所以，將（*）代入，整理得到，解得或（舍），所以.（法二）同法一可知直線的斜率與直線的斜率滿足，又，則，所以，設(shè)直線的方程是，將點代入直線，得到①，又雙曲線的方程可化為，由，得，設(shè)，則，直線和直線的斜率是該方程的兩個根，所以，所以②，聯(lián)立①②，得到，所以.江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題1.（）A.5 B. C.1 D.7【答案】D【解析】，故選:D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，解得，即，而，所以.故選：B3.已知，，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，則，但是，不是充分條件，當時，因為，，所以，即，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以是必要條件，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，令，，，所以是偶函數(shù)，故A正確；對于B，令，，，所以是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，，，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，令，，，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：A.5.從4位男同學、5位女同學中選出3位同學，男女生都要有的選法有（）A.140種 B.44種 C.70種 D.252種【答案】C【解析】利用間接法可得男女生都要有的選法種數(shù)為.故選：C.6.已知反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為x軸和y軸，兩條漸近線的夾角為，將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，由此可求得其離心率為.已知函數(shù)的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線和y軸，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象位于上方，由于和y軸是漸近線，所以兩條漸近線之間的夾角，故，不妨將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),則可得到其焦點在軸上的雙曲線，且兩條漸近線之間的夾角，因此其中一條漸近線的傾斜角為，因此，進而可得故選：C.7.已知直線l與橢圓在第二象限交于，兩點，與軸，軸分別交于，兩點（在橢圓外），若，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)：（，），設(shè)，，聯(lián)立，得，由題意知，所以，，設(shè)的中點為，連接，因為，所以，得，又因為，，所以也是的中點，所以的橫坐標為，從而得，因為交在第二象限，解得，設(shè)直線傾斜角為，得，得，故A正確.故選：A.8.平面向量，，滿足，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，而，因為，所以.故選：B.二、多項選擇題9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要》中明確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測評，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)甲村的評分X和乙村的評分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（）A.X對應(yīng)的正態(tài)曲線比Y對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平B.甲村的平均分低于乙村的平均分C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等D.乙村的高度滿意率比不滿意率大【答案】BCD【解析】A選項，曲線越扁平，說明評分越分散，方差較大，因為，所以Y對應(yīng)正態(tài)曲線比X對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平，A錯誤；B選項，甲村的平均分為70，乙村的平均分為75，故B正確；C選項，因為甲村的平均分為70，由對稱性知，C正確；D選項，因為乙村的平均分為75，由對稱性知，D正確.故選：BCD.10.已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（）A.若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B.，，一定是等比數(shù)列C.若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D.若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列【答案】AC【解析】A選項，設(shè)公比為，故，解得或，若正項數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；B選項，當且為偶數(shù)時，，，均為0，不合要求，B錯誤：C選項，若，則單調(diào)遞增，此時不存在，使對都成立，若，此時，故存在，使得對都成立，此時為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；D選項，由C選項可知，，故當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，顯然不是等差數(shù)列，D錯誤.故選：AC.11.設(shè)M，N，P為函數(shù)圖象上三點，其中，，，已知M，N是函數(shù)的圖象與x軸相鄰的兩個交點，P是圖象在M，N之間的最高點，若，的面積是，M點的坐標是，則（）A. B.C. D.函數(shù)在M，N間的圖象上存在點Q，使得【答案】BCD【解析】，而，故，，，A錯誤、B正確；，（），而，故，C正確；顯然，函數(shù)的圖象有一部分位于以為直徑的圓內(nèi)，當位于以為直徑的圓內(nèi)時，，D正確，故選:BCD.12.在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（）A.⊥ B.C. D.點O不可能在平面內(nèi)【答案】AC【解析】A選項，四棱錐的外接球為為頂點的球，而四點共面，故這四點必共圓，又，故為直徑，⊥，A正確：B選項，由A可知，四點共圓，又，為直徑，若四邊形為正方形，此時，，B錯誤；C選項，因為平面，所以球心到兩點的距離相等，即球心在的垂直平分線上，故到平面距離為到平面距離的一半，故，C正確；D選項，當四邊形為正方形時，連接，相交于點，則⊥平面，結(jié)合球心在的垂直平分線上，此時為中點，點O在平面上，D錯誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.滿足的函數(shù)可以為______.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】可令，滿足要求.故答案為：.（答案不唯一）14.的值為______.【答案】-2【解析】故答案為：-2.15.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知點F為拋物線C：（）的焦點，從點F出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點反射后，反射光線經(jīng)過點，若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：相切，則p的值是______.【答案】【解析】當時，，故入射光線經(jīng)過和，，故入射光線的方程為，化簡得，圓心，半徑為，所以，而，故，，解得.故答案為：16.若數(shù)列滿足，（），則______.【答案】3268【解析】由題意可得，作差得，故，故答案為：3268.四、解答題17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求的前50項和.解：（1）由，得（），兩式相減得：（），即（），當時，，得，所以（），故是首項為，公比為的等比數(shù)列.從而.（2）由（1）得.所以18.在平行六面體中，底面為正方形，，，側(cè)面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.（1）證明：因為底面為正方形，所以，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：因為，，連接，則為正三角形，取中點，則，由平面及平面，得，又，所以底面，過點作交于，如圖以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量，所以令，則，可得平面的法向量.所以，故直線和平面所成角的正弦值為.19.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大??；（2）若點D在邊AC上，BD平分，，求BD長的最大值.解：（1）因為，由正弦定理得，由得，所以，即.因為，所以.又，所以.因為，所以.（2）由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，從而，當且僅當取等號.則，當且僅當取等號，則長的最大值為3.20.春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、B、C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A中獎概率是，項目B和C中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、C三個項目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三