2024屆遼寧省縣級重點高中協(xié)作體高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即，故，由，即，故，則.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：.3.已知拋物線的焦點為，則點到拋物線的準(zhǔn)線的距離是（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即點到拋物線的準(zhǔn)線的距離是1.故選：C.4.在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比是（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公比是，則.因為，所以，則，解得或（舍去）.故選：B5.已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長為，從而該圓錐的側(cè)面積.表面積，故.故選：A.6.甲?乙相約從同一地點同時出發(fā)，同向圍著一個周長是200米的圓形跑道跑步，甲每秒鐘跑2.5米，乙每秒跑3.5米，則“甲?乙相遇”是“甲?乙都跑了400秒”的（）A充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為乙每秒比甲每秒多跑1米，所以當(dāng)甲?乙都跑了200秒時，乙比甲多跑了200米，甲?乙第一次相遇.當(dāng)甲?乙都跑了400秒時，乙比甲多跑了400米，甲?乙再次相遇.所以“甲?乙相遇”是“甲?乙都跑了400秒”的必要不充分條件.故選：C.7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.20 B.10 C.21 D.11【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，令，則，兩式相加得所以，即.故選：C.8.已知點是雙曲線的上焦點，是下支上的一點，點是圓上一點，則的最小值是（）A.7 B.6 C.5 D.【答案】B【解析】由圓可化為，則，半徑為1，因為是的下焦點，則，由雙曲線定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，取得最小值，即的最小值是.故選：B.二?多選題9.已知直線與圓，則（）A.直線的傾斜角是B.圓的半徑是4C.直線與圓相交D.圓上的點到直線的距離的最大值是7【答案】BCD【解析】直線，即，斜率為，則傾斜角是，錯誤；圓，即，圓心為，半徑為4，正確；圓心到直線的距離，則直線與圓相交，故正確；圓上點到直線的距離的最大值為，則正確.故選：BCD.10.已知甲運動員的投籃命中率是0.8，乙運動員的投籃命中率是0.9，甲?乙投籃互不影響.若兩人各投籃一次，則（）A.都沒有命中的概率是0.02B.都命中的概率是0.72C.至少一人命中的概率是0.94D.恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】都沒有命中的概率為，正確；都命中的概率為，正確；至少一人命中的概率為，錯誤；恰有一人命中的概率為，錯誤.故選：.11.已知函數(shù)恰有5個零點，則的值可能為（）A.4 B.5 C. D.【答案】BC【解析】由，得.函數(shù)在上的零點個數(shù)為2，又因為函數(shù)恰有5個零點，所以函數(shù)在上的零點個數(shù)為3.由，得，則，解得.故選：BC.12.如圖，在棱長為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長為【答案】BCD【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因為，所以與平面不垂直，則A錯誤．設(shè)異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因為，所以點到平面的距離是，則C正確．分別在棱上取點M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數(shù)據(jù)可得，則平面截正方體所得圖形的周長為，故D正確．故選：BCD三?填空題13.向量，，若，則__________.【答案】6【解析】由已知，所以，可得，解得.故答案為：6.14.5名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績分別為，若這5名學(xué)生成績的第60百分位數(shù)為111，則__________.【答案】112【解析】由，將成績從小到大排列，得第60百分位數(shù)為第三個成績和第四個成績的平均數(shù)，所以，解得.故答案為：11215.已知點是函數(shù)圖象上的任意一點，直線，則點到直線的距離的最小值是__________.【答案】【解析】因為，所以.令，得，則，故點到直線的距離.故答案為：16.已知函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù).當(dāng)在上為單調(diào)遞增函數(shù)時，則，解得；當(dāng)在上為單調(diào)遞減函數(shù)時，則，解得.綜上，的取值范圍為.故答案為：.四?解答題17.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.解：（1）因為，所以，所以.因為，所以.（2）因為，所以.因為，所以，則.故的面積18.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是棱的中點.（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接.因為四邊形是菱形，所以，因為平面，且平面，所以，因為平面，且，所以平面因平面，所以（2）解：記，連接，因為四邊形是菱形，所以，因為平面，且平面，所以，因為分別是的中點，所以，所以，所以兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故.設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為19.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10顆板栗中隨機(jī)抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量≥70克）的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）因為，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，則由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．（2）由題意可得．當(dāng)時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因為不等式恒成立，所以，解得．當(dāng)時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．21.已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.解：（1）因為，所以，兩式相減可得，因為，，所以，所以，所以，，，，是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，，，，，是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，則，，故；（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，綜上.22.動點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，點的軌跡為.（1）求的方程，并說明是什么曲線；（2）若過的直線與交于兩點，點是上一點，的最大值為，最小值為，且成等比數(shù)列，求的方程.解：（1）設(shè)點，根據(jù)題意可得，化簡得，即.故曲線是焦點在軸上橢圓.（2）由題可知，所以，當(dāng)垂直于軸時，，此時不成等比數(shù)列，故的斜率存在.如圖所示：設(shè)的方程為，則，所以.聯(lián)立整理得，則，因為成等比數(shù)列，所以，即，可得，所以，解得，因此的方程為.遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即，故，由，即，故，則.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：.3.已知拋物線的焦點為，則點到拋物線的準(zhǔn)線的距離是（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即點到拋物線的準(zhǔn)線的距離是1.故選：C.4.在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比是（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公比是，則.因為，所以，則，解得或（舍去）.故選：B5.已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長為，從而該圓錐的側(cè)面積.表面積，故.故選：A.6.甲?乙相約從同一地點同時出發(fā)，同向圍著一個周長是200米的圓形跑道跑步，甲每秒鐘跑2.5米，乙每秒跑3.5米，則“甲?乙相遇”是“甲?乙都跑了400秒”的（）A充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為乙每秒比甲每秒多跑1米，所以當(dāng)甲?乙都跑了200秒時，乙比甲多跑了200米，甲?乙第一次相遇.當(dāng)甲?乙都跑了400秒時，乙比甲多跑了400米，甲?乙再次相遇.所以“甲?乙相遇”是“甲?乙都跑了400秒”的必要不充分條件.故選：C.7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.20 B.10 C.21 D.11【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，令，則，兩式相加得所以，即.故選：C.8.已知點是雙曲線的上焦點，是下支上的一點，點是圓上一點，則的最小值是（）A.7 B.6 C.5 D.【答案】B【解析】由圓可化為，則，半徑為1，因為是的下焦點，則，由雙曲線定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，取得最小值，即的最小值是.故選：B.二?多選題9.已知直線與圓，則（）A.直線的傾斜角是B.圓的半徑是4C.直線與圓相交D.圓上的點到直線的距離的最大值是7【答案】BCD【解析】直線，即，斜率為，則傾斜角是，錯誤；圓，即，圓心為，半徑為4，正確；圓心到直線的距離，則直線與圓相交，故正確；圓上點到直線的距離的最大值為，則正確.故選：BCD.10.已知甲運動員的投籃命中率是0.8，乙運動員的投籃命中率是0.9，甲?乙投籃互不影響.若兩人各投籃一次，則（）A.都沒有命中的概率是0.02B.都命中的概率是0.72C.至少一人命中的概率是0.94D.恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】都沒有命中的概率為，正確；都命中的概率為，正確；至少一人命中的概率為，錯誤；恰有一人命中的概率為，錯誤.故選：.11.已知函數(shù)恰有5個零點，則的值可能為（）A.4 B.5 C. D.【答案】BC【解析】由，得.函數(shù)在上的零點個數(shù)為2，又因為函數(shù)恰有5個零點，所以函數(shù)在上的零點個數(shù)為3.由，得，則，解得.故選：BC.12.如圖，在棱長為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長為【答案】BCD【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因為，所以與平面不垂直，則A錯誤．設(shè)異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因為，所以點到平面的距離是，則C正確．分別在棱上取點M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數(shù)據(jù)可得，則平面截正方體所得圖形的周長為，故D正確．故選：BCD三?填空題13.向量，，若，則__________.【答案】6【解析】由已知，所以，可得，解得.故答案為：6.14.5名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績分別為，若這5名學(xué)生成績的第60百分位數(shù)為111，則__________.【答案】112【解析】由，將成績從小到大排列，得第60百分位數(shù)為第三個成績和第四個成績的平均數(shù)，所以，解得.故答案為：11215.已知點是函數(shù)圖象上的任意一點，直線，則點到直線的距離的最小值是__________.【答案】【解析】因為，所以.令，得，則，故點到直線的距離.故答案為：16.已知函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù).當(dāng)在上為單調(diào)遞增函數(shù)時，則，解得；當(dāng)在上為單調(diào)遞減函數(shù)時，則，解得.綜上，的取值范圍為.故答案為：.四?解答題17.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.解：（1）因為，所以，所以.因為，所以.（2）因為，所以.因為，所以，則.故的面積18.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是棱的中點.（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接.因為四邊形是菱形，所以，因為平面，且平面，所以，因為平面，且，所以平面因平面，所以（2）解：記，連接，因為四邊形是菱形，所以，因為平面，且平面，所以，因為分別是的中點，所以，所以，所以兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故.設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為19.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10顆板栗中隨機(jī)抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量